《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布8节.ppt

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1、2023/5/25,1,二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的.,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,第6节 边缘分布,2023/5/25,2,一、二维离散型R.v.的边缘分布,X的边缘分布,Y的边缘分布,2023/5/25,3,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求随机变量X与Y的边缘概率函数。,2023/5/25,4,二、二维连续随机变量的边缘分布,=P(Xx,-Y+),2023/5/25,5,=P(-X+,Yy),2023/5/25,6,设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,例2,解：

2、,求X与Y的边缘概率密度,2023/5/25,7,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,例3,解：,求X与Y的边缘概率密度,y,o,x+y=3/2,G,1(,1),1/2 3/2,2023/5/25,8,小结：二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：,边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。,难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。,2023/5/25,9,一、离散随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维离散随机变量，其分布律为,(X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘概率函数分别为：,P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.,第七节 条件分布

3、,2023/5/25,10,由条件概率公式,定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，,在Y=yj 条件下X 的条件分布律,(1)若PY=yj 0,则,自然地引出如下定理：,(2)若PX=xi0,则,在 X=xi 条件下Y 的条件分布律,2023/5/25,11,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X=xi|Y=yj 0；,即条件分布律是分布律。,2023/5/25,12,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。,2023/5/25,13,设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下,例1,求(2)随机变量Y在X=1条件下的条件分

4、布。,解：,则Y在X=1条件下的条件分布为,2023/5/25,14,(2)若X的边缘概率密度fX(x)0,且在点x处连续,则Y在X=x条件下的条件概率密度,定理 设二维连续随机变量（X,Y）的联合概率密度f(x,y)在点（x,y)处连续。(1)若Y的边缘概率密度fY(y)0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度,二、连续随机变量的条件分布,2023/5/25,15,连续随机变量的条件分布推导,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于,所以应在 P y Yy+y0时,考虑X x的条件概率,2023/5/25,16,2023/5/25,17,称为在条件Y=y下X的条件分布函数.,随机变

5、量X在Y=y的条件下的条件密度函数,注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似,随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数,2023/5/25,18,由 所围成的区域上服从,设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.现设(X,Y)在,例2,解：,均匀分布.求条件概率密度,3,2023/5/25,19,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,第8节 相互独立的随机变量,定义 设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y有P(Xx,Y y)=P(Xx)P(Y y)即 F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称X，Y相互独

6、立。,2023/5/25,20,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.,在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,2023/5/25,21,例1,解：由联合概率分布的性质知0,0,且,2/3+=1,即+=1/3,由X,Y相互独立,有,2023/5/25,22,例2 已知二维随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，D为x轴,y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。,解:（X,Y）的密度函数为,2023/5/25,23,例3 某种保险丝的寿命(以100小时计)X服从参数为3的指数分布。（1）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1,X2设X1,X2相互独立，求X1,X2的联合概率密度；（2）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的寿命为X1+X2，求概率P(X1+X21).,解:X1,X2相互独立,故X1,X2的联合概率密度:,2023/5/25,24,习题二(P72)：17,19(1),20,21,22,23,作业,