静定结构的内力计算.ppt

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1、第七章 静定结构的内力计算,内容提要本章介绍静定结构的内力分析和计算。静定结构内力分析的基本方法是截面法，利用截面法求出控制截面上的内力值，再利用内力变化规律，最后绘出结构的内力图。静定结构的内力计算是静定结构位移计算和超静定结构内力计算的基础。,7.1 多跨静定梁,7.2 静定平面刚架,7.3 静定平面桁架,7.4 静定平面组合结构,本章内容,7.5 三铰拱,小结,7.1 多跨静定梁,多跨静定梁是由单跨静定梁通过铰加以适当联结而成的结构。多跨静定梁一般要跨越几个相连的跨度，它是工程中广泛使用的一种结构形式，最常见的有公路桥梁和房屋中的檩条梁等。,桥梁,檩条梁,7.1.1 多跨静定梁的几何组成

2、,多跨静定梁有两种基本组成形式：第一种是无铰跨和双铰跨交替出现；第二种是第一跨无中间铰，其余各跨各有一个中间铰。,桥梁,檩条梁,桥梁的计算简图,檩条梁的计算简图,就几何组成而言，多跨静定梁的各个部分可分为基本部分和附属部分。,在桥梁中，AB梁由三根支座链杆与基础相联结，是几何不变体系，能独立承受荷载，称为基本部分。CD梁在竖向荷载作用下能独立维持平衡，故在竖向荷载作用下CD梁也可看作基本部分。而BC梁则必须依靠AB梁和CD梁的支承才能承受荷载并维持平衡，称为附属部分。,在檩条梁中，AB梁是基本部分，而BC梁、CD梁则是附属部分。为清晰起见，可将它们的支承关系分别用图表示，这样的图形称为层次图。

3、,7.1.2 多跨静定梁的内力计算,通过层次图可以看出力的传递过程。因为基本部分直接与基础相联结，所以当荷载作用于基本部分时，仅基本部分受力，附属部分不受力；当荷载作用于附属部分时，由于附属部分与基本部分相联结，故基本部分也受力。,因此，多跨静定梁的约束反力计算顺序应该是先计算附属部分，再计算基本部分。即从附属程度最高的部分算起，求出附属部分的约束反力后，将其反向加于基本部分即为基本部分的荷载，再计算基本部分的约束反力。当求出每一段梁的约束反力后，其内力计算和内力图的绘制就与单跨静定梁一样，最后将各段梁的内力图连在一起即为多跨静定梁的内力图。,【例7.1】绘制图（a）所示多跨静定梁的内力图。,

4、【解】1)绘制层次图。,梁ABC固定在基础上，是基本部分；梁CDE固定在梁ABC上，是第一级附属部分；梁EF固定在梁CDE上，是第二级附属部分。根据上述分析，多跨静定梁由三个层次构成。,2)求约束反力。在计算时，先计算EF梁，再计算CDE梁，最后计算ABC梁。,FAy,FBy,FCy,FCy,FDy,FEy,FEy,FFy,取EF为隔离体，由平衡方程求得EF梁的约束反力为 FFy=4.5kN，FEy=4.5kN,FEy,FFy,将FFy的反作用力作为荷载加在CDE 梁的E处，由平衡方程求得CDE 梁的约束反力为 FDy=10.5kN，FCy=4kN,FCy,FDy,FEy,再将FCy的反作用力

5、作为荷载加在ABC 梁上，由平衡方程求得ABC 梁的约束反力为 FBy=15kN，FAy=9kN,FAy,FBy,FCy,3)绘制内力图。各段梁的约束反力求出后，可以根据图(c)计算各控制截面上的内力，并逐段绘制内力图(此处将计算过程略去)。最后将各段梁的内力图连接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图图(d，e)。,A,D,C,B,E,F,27,6,8,6.75,5.06,(d)M 图(kNm),A,D,C,B,E,F,11,4,6,4.5,4.5,(e)FS 图(kN),11,4,6,4.5,9,9,7.1.3 多跨静定梁的受力特征,上图是多跨相互独立的系列简支梁及其在均布荷载q的作用下的弯矩

6、图，下图是一相同跨度、相同荷载作用下的多跨静定梁及其弯矩图。比较两个弯矩图可以看出，系列简支梁的最大弯矩大于多跨静定梁的最大弯矩。因而，系列简支梁虽然结构较简单，但多跨静定梁的承载能力大于系列简支梁，在同荷载的情况下可节省材料。,系列简支梁的弯矩图,多跨静定梁的弯矩图,7.2 静定平面刚架,7.2.1 概述,1.刚架的特点 刚架是由直杆组成的具有刚性结点的结构。,在刚架中的刚结点处，刚结在一起的各杆不能发生相对移动和转动，变形前后各杆的夹角保持不变，故刚结点可以承受和传递弯矩。由于存在刚结点，使刚架中的杆件较少，内部空间较大，比较容易制作，所以在工程中得到广泛应用。,2.刚架的分类 静定平面刚

7、架主要有以下四种类型：（1）悬臂刚架,悬臂刚架一般由一个构件用固定端支座与基础连接而成。,站台雨篷,（2）简支刚架,简支刚架一般由一个构件用固定铰支座和活动铰支座与基础连接，或用三根既不全平行、又不全交于一点的链杆与基础连接而成。简支刚架常见的有门式的和T形的两种。,渡槽的槽身,（3）三铰刚架,三铰刚架一般由两个构件用铰连接，底部用两个固定铰支座与基础连接而成。,屋架,（4）组合刚架,组合刚架通常是由上述三种刚架中的某一种作为基本部分，再按几何不变体系的组成规则连接相应的附属部分组合而成。,组合刚架,7.2.2 静定平面刚架的内力计算,在一般情况下，刚架中各杆的内力有弯矩、剪力和轴力。,静定平

8、面刚架内力计算的一般步骤是:先由整体或部分的平衡条件，求出支座反力和铰结点处的约束力，然后可面对杆件，即使杆件在面前横放，按单跨静定梁的内力计算法则和内力图的绘制方法，逐杆绘制内力图，最后将各杆的内力图连在一起，即得整个刚架的内力图。,在刚架的内力计算中，弯矩可自行规定正负，但须注明受拉的一侧，弯矩图绘在杆的受拉一侧。剪力和轴力的正负号规定同前，即剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势时为正，反之为负；轴力以拉力为正，压力为负。剪力图和轴力图可绘在杆的任一侧，但须标明正负号。,为了使杆件内力表达得清晰，在内力符号的右下方以两个下标注明内力所属的截面。第一个下标表示该内力所属杆端的截面；第二个下标表示

9、杆段的另一端截面。例如，杆段AB的A端的弯矩和剪力分别用MAB、FSAB表示；而B端的的弯矩和剪力分别用MBA、FSBA表示。,【例7.2】绘制图（a）所示悬臂刚架的内力图。,【解】悬臂刚架可不计算支座反力，直接计算内力。1)求各控制截面上的内力。取每个杆件的两端为控制截面，从自由端开始，根据荷载情况按单跨静定梁的内力计算法则，可得各控制截面上的内力为,MDC=0 MCD=40kN4m10kN/m4m2m=240kNm(上侧受拉),MCA=MCD=240kNm(左侧受拉)MAC=40kN4m10kN/m4m2m40kN2m=320kNm(左侧受拉),FSDC=40kNFSCD=40kN10kN

10、/m4m=80kNFSCA=0 FSAC=40kNFNDC=FNCD=0FNCA=40kN10kN/m4m=80kN FNAC=80kN,2)绘制内力图。由区段叠加法绘制弯矩图。在CD段，将控制截面上的弯矩值竖标按比例标出并用虚线连接，以此虚线为基线，叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。在AC段，以连接控制截面上的弯矩值竖标的虚线为基线，叠加上相应简支梁在跨中点受集中荷载作用下的弯矩图。,20,40,(b)M 图(kNm),由控制截面上的剪力值，并利用q、FS和M三者的微分关系绘制该刚架的剪力图。在CD段，有均布荷载作用，剪力图是一条斜直线，用直线连接两控制截面上剪力值的竖标即是该段的剪

11、力图。,(c)FS 图(kN),在AC段，因无均布荷载作用，剪力图应是与轴线平行的直线，在集中力作用的B点处剪力图出现突变，突变值等于40kN。,(c)FS 图(kN),由于各杆均无沿杆轴方向的荷载，所以各杆轴力为常数。根据求出的控制截面上轴力值直接绘出轴力图。,(d)FN 图(kN),【例7.3】绘制图（a）所示简支刚架的内力图。,A,【解】1)求支座反力。,A,由刚架整体的平衡方程，可得支座反力为 FAx=60 kN,FAy=16 kN,FB=76 kN 2)求控制截面上的内力。将刚架分为AC、CE、CD和DB四段，取每段杆的两端为控制截面。这些截面上的内力为,MAC=0MCA=60kN4

12、m10kN/m4m2m=160kNm（右侧受拉）MEC=0 MCE=20kN2m=40 kNm（左侧受拉）MCD=60kN3m+76kN5m=200 kNm（下侧受拉）MDC=MDB=76kN2m=152 kNm（下侧受拉）,MBD=0FSAC=60kN FSCA=60kN10kN/m4m=20 kNFSCE=FSEC=20 kN FSCD=FSDC=60kN76kN=16 kNFSDB=FSBD=76kN FNAC=FNCA=16kNFNCE=FNEC=FNCD=FNDC=FNDB=FNBD=0,3)绘制内力图。根据以上求得的各控制截面上的内力，绘出刚架的内力图如图(bd)所示。,(b)M

13、图(kNm),(d)FN 图(kN),(c)FS 图(kN),E,C,B,A,E,C,B,A,D,7.3 静定平面桁架,7.3.1 概述,1桁架的特点梁和刚架在承受荷载时，主要产生弯曲内力，截面上的应力分布是不均匀的，构件的材料不能得到充分的利用。,桁架是由直杆组成，全部由铰结点联结而成的结构。在结点荷载作用下，桁架各杆的内力只有轴力，截面上应力分布是均匀的，充分发挥了材料的作用。桁架是大跨度结构中应用得非常广泛的一种，如民用房屋和工业厂房中的屋架、托架，大跨度的铁路和公路桥梁，起重设备中的塔架，以及建筑施工中的支架等。,为了便于计算，通常对工程实际中平面桁架的计算简图作如下假设：（1）桁架的

14、结点都是光滑的理想铰。（2）各杆的轴线都是直线，且在同一平面内，并通过铰的中心。（3）荷载和支座反力都作用于结点上，并位于桁架的平面内。,符合上述假设的桁架称为理想桁架，理想桁架中各杆的内力只有轴力。工程实际中的桁架与理想桁架有着较大的差别。,(a),(b),例如，在图（a）所示的钢屋架图（b）为其计算简图中，各杆是通过焊接、铆接而联结在一起的，结点具有很大的刚性，不完全符合理想铰的情况。此外，各杆的轴线不可能绝对平直，各杆的轴线也不可能完全交于一点，荷载也不可能绝对地作用于结点上。因此，实际桁架中的各杆不可能只承受轴力。,通常把根据计算简图求出的内力称为主内力，把由于实际情况与理想情况不完全

15、相符而产生的附加内力称为次内力。理论分析和实测表明，在一般情况下次内力可忽略不计。本书仅讨论主内力的计算。,在图(a)、(b)中，桁架上、下边缘的杆件分别称为上弦杆和下弦杆，上、下弦杆之间的杆件称为腹杆，腹杆又分为竖杆和斜杆。弦杆相邻两结点之间的水平距离d称为节间长度，两支座之间的水平距离l称为跨度，桁架最高点至支座连线的垂直距离h称为桁高。,2.桁架的分类 按桁架的几何组成规律可把平面静定桁架分为以下三类：（1）简单桁架 由基础或一个铰接三角形开始，依次增加二元体而组成的桁架称为简单桁架。,（2）联合桁架 由几个简单桁架按照几何不变体系的组成规则，联合组成的桁架称为联合桁架。,I,II,（3

16、）复杂桁架凡不按上述两种方式组成的桁架均称为复杂桁架。,此外，桁架还可以按其外形分为平行弦桁架、抛物线形桁架、三角形桁架、梯形桁架等。,平行弦桁架,抛物线形桁架,三角形桁架,梯形桁架,7.3.2 平面静定桁架的内力计算,1.内力计算的方法平面静定桁架的内力计算的方法通常有结点法和截面法。,结点法是截取桁架的一个结点为隔离体，利用该结点的静力平衡方程来计算截断杆的轴力。由于作用于桁架任一结点上的各力（包括荷载、支座反力和杆件的轴力）构成了一个平面汇交力系，而该力系只能列出两个独立的平衡方程，因此所取结点的未知力数目不能超过两个。,结点法适用于简单桁架的内力计算。一般先从未知力不超过两个的结点开始

17、，依次计算，就可以求出桁架中各杆的轴力。,截面法是用一截面(平面或曲面)截取桁架的某一部分(两个结点以上)为隔离体，利用该部分的静力平衡方程来计算截断杆的轴力。由于隔离体所受的力通常构成平面一般力系，而一个平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程，因此用截面法截断的杆件数目一般不应超过三根。,截面法适用于求桁架中某些指定杆件的轴力。另外，联合桁架必须先用截面法求出联系杆的轴力，然后与简单桁架一样用结点法求各杆的轴力。一般地，在桁架的内力计算中，往往是结点法和截面法联合加以应用。,在桁架的内力计算中，一般先假定各杆的轴力为拉力，若计算的结果为负值，则该杆的轴力为压力。此外，为避免求解联立方程，应恰

18、当地选取矩心和投影轴，尽可能使一个平衡方程中只包含一个未知力。,2.零杆的判定 桁架中有时会出现轴力为零的杆件，称为零杆。在计算内力之前，如果能把零杆找出，将会使计算得到简化。,通常在下列几种情况中会出现零杆：(1)不共线的两杆组成的结点上无荷载作用时，该两杆均为零杆。,(2)不共线的两杆组成的结点上有荷载作用时，若荷载与其中一杆共线，则另一杆必为零杆。,(3)三杆组成的结点上无荷载作用时，若其中有两杆共线，则另一杆必为零杆，且共线的两杆内力相等。,3.比例关系的应用在列平衡方程时，经常要将桁架中斜杆的轴力FN分解成水平分力FNx和竖向分力FNy。FN、FNx、FNy构成一个三角形，杆件AB的

19、长度l及其在水平方向的投影长度lx和竖直方向的投影长度ly也构成了一个三角形。,由于两个三角形相似，因而存在如下的比例关系：,应用上述比例关系，可以避免计算斜杆的倾角及其三角函数，以减少工作量。,【例7.4】求图（a）所示桁架各杆的内力。,【解】1)求支座反力。,由整体的平衡方程，可得支座反力为 FAx=0 FAy=40 kN FB=40 kN,2)求各杆的内力。在计算之前先找出零杆。由对结点C、G的分析，可知杆CD、GH为零杆。,此桁架为对称桁架，只要计算其中一半杆件的内力即可，现计算左半部分。,取结点A为隔离体图(b)，由Y=0得,FNADy=10kN40kN=30kN,FNADy,FNA

20、D,FNADx,FNAC,利用比例关系，得,由X=0得 FNAC=FNADx=60kN,FNADy,FNAD,FNADx,FNAC,取结点C为隔离体图(c)，由X=0 得 FNCF=FNAC=60 kN,FNCF,FNAC=60kN,FNCD=0,取结点D为隔离体图(d)，列出平衡方程,FNADx=-60kN,FNADy=-30kN,FNDEy,FNAD,FNDE,FNDEx,FNDF,FNDx,FNDy,X=0 FNDEx+FNDFx+60kN=0 Y=0 FNDEyFNDFy+30kN20kN=0 利用比例关系，得 FNDEx=2FNDEy FNDFx=2FNDFy 代入平衡方程，得 2F

21、NDEy+2FNDFy+60kN=0 FNDEyFNDFy+10kN=0 解得 FNDEx=40kN，FNDEy=20kN，FNDE=44.7kN FNDFx=20kN，FNDFy=10kN，FNDF=44.7kN,FNADx=-60kN,FNADy=-30kN,FNDEy,FNAD,FNDy,取结点E为隔离体图(e)，由结构的对称性有 FNEHy=FNDEy=20kN由Y=0得 FNEF=220kN20kN=20kN,FNDEy=-20kN,FNDEy=-20kN,FNEHy=-20kN,FNEHx,FNEH,FNDE,FNEF,内力计算完成后，将各杆的轴力标在图上，图中轴力的单位为kN。,

22、【例7.5】求图（a）所示桁架中杆 a、b、c、d 的内力。,【解】1)求支座反力。,由整体平衡方程，可得支座反力为 FAx=0，FAy=50 kN，FB=30 kN,2)求杆a、b、c 的内力。,I,I,用截面截取桁架的左半部分为隔离体，列平衡方程,FNa,FNb,FNbx,FNby,FNc,MD=0 FNc(4m)20kN3m50kN3m=0得 FNc=52.5 kNMF=0 FNa(4m)+20kN3m+20kN6m50kN9m=0得 FNa=67.5kN,3m,3m,2m,2m,Fx=0 FNa+FNbx+FNc=0得 FNbx=FNaFNc=15kN,利用比例关系，得,3m,3m,2

23、m,2m,联合应用结点法和截面法计算杆d的内力较为方便。先取结点E为隔离体，由平衡方程X=0，得 FNCE=FNc=52.5kN,FNc,FNCE,再用截面截取桁架的左半部分为隔离体，列平衡方程,II,II,FNdy,FNd,FNCE=52.5kN,FNdx,利用比例关系，得,MD=0 FNdx4m+52.5kN4m50kN3m=0得 FNdx=15kN,FNdy,FNd,FNCE=52.5kN,FNdx,3m,4m,用截面法计算桁架内力所截断的杆件一般不应超过三根。当被截断的杆件超过三根时，其中某根杆件的轴力也可选取适当的平衡方程求出。,I,I,对图示桁架，欲求杆ED的轴力，可用截面将桁架截

24、开，在被截断的五根杆件中，除杆ED外，其余四杆均汇交于结点C，由力矩方程MC=0即可求得FNED。,I,I,对图示复杂桁架，欲求杆CB的轴力，可用截面将桁架截开，在被截断的四根杆件中，除杆CB外，其余三杆互相平行，选取y轴与此三杆垂直，由投影方程Y=0即可求得FNCB。,7.3.3 梁式桁架受力性能的比较,在竖向荷载作用下，支座处不产生水平反力的桁架称为梁式桁架。常见的梁式桁架有平行弦桁架、三角形桁架、梯形桁架、抛物线形桁架和折线形桁架等。,桁架的外形对桁架中各杆的受力情况有很大的影响。为了便于比较，给出了同跨度、同荷载的五种常用桁架的内力数值。并对上述几种桁架的受力性能进行对比分析，以便合理

25、选用。,1平行弦桁架,平行弦桁架的内力分布不均匀，弦杆的轴力由两端向中间递增，腹杆的轴力则由两端向中间递减。为节省材料，各节间的杆件应该采用与其轴力相应的不同的截面，但这样将会增加各结点拼接的困难。,在实用上，平行弦桁架通常仍采用相同的截面，并常用于轻型桁架，此时材料的浪费不至太大，如厂房中跨度在12m以上的吊车梁。平行弦桁架的优点是杆件与结点的构造划一，有利于标准化制作和施工，在铁路桥梁中常被采用。,2三角形桁架,三角形桁架的内力分布也不均匀，弦杆的轴力由两端向中间递减，腹杆的轴力则由两端向中间递增。,三角形桁架,l=6h,h,三角形桁架两端结点处弦杆的轴力最大，而夹角又很小，制作困难。但其

26、两斜面外形符合屋顶构造的要求，故三角形桁架只在屋盖结构中采用。,3梯形桁架,梯形桁架的受力性能介于平行弦桁架和三角形桁架之间，弦杆的轴力变化不大，腹杆的轴力由两端向中间递减。,梯形桁架,l=6h,h/2,h,梯形桁架的构造较简单，施工也较方便，常用于钢结构厂房的屋盖。,4抛物线形桁架,抛物线形桁架的内力分布比较均匀，上、下弦杆的轴力几乎相等，腹杆的轴力等于零。,抛物线形桁架,l=6h,h,抛物线形桁架的受力性能较好，但这种桁架的上弦杆在每一结点处均需转折，结点构造复杂，施工麻烦，因此只有在大跨度结构中才会被采用，如2430m的屋架和100300m的桥梁。,5折线形桁架,折线形桁架是抛物线形桁架

27、的改进型，其受力性能与抛物线形桁架相类似，而制作、施工比抛物线形桁架方便得多，它是目前钢筋混凝土屋架中经常采用的一种形式，在中等跨度（1824m）的厂房屋架中使用得最多。,h,h/2,l=6h,h,折线形桁架,7.4 静定平面组合结构,在工程实际中，经常会遇到一种结构，这种结构中一部分杆件只受轴力作用，属于链杆，而另一部分杆件除受轴力作用外还承受弯矩和剪力，属于梁式杆。这种由链杆和梁式杆混合组成的结构通常称为组合结构。,7.4.1 组合结构的概念,在组合结构中，利用链杆的受力特点，能较充分地利用材料，并从加劲的角度出发，改善了梁式杆的受力状态，因而组合结构广泛应用于较大跨度的建筑物。,下撑式五

28、角形屋架图(a)的上弦杆由钢筋混凝土制成，主要承受弯矩，下弦杆和腹杆由型钢制成，主要承受轴力。其计算简图如图(b)所示。,图示为静定组合式拱桥的计算简图，它是由若干根链杆组成的链杆拱与加劲梁用竖向链杆联结而成的组合结构。,组合结构的内力计算，一般是在求出支座反力后，先计算链杆的轴力，其计算方法与平面桁架内力计算相似，可用截面法和结点法；然后再计算梁式杆的内力，最后绘制结构的内力图。,7.4.2 组合结构的内力计算,【例7.6】计算图(a)所示组合结构的内力，并绘制梁式杆的内力图。,【解】此结构为一下撑式组合屋架。其中杆AC、CB为梁式杆，杆AD、DF、DE、EG、EB为链杆。因为荷载和结构都是

29、对称的，所以支座反力和内力也是对称的，故可只计算半个结构上的内力。1)求支座反力。,由对称性，支座反力为 FAx=0，FBy=FAy=40kN,2)计算链杆的内力。,用截面从C处截断结构，取左半部分为隔离体,I,I,10kN/m,FCx,FCy,FNDE,由平衡方程,得,X=0 FNDEFCx=0得 FCx=FNDE=40kN,Y=0 FAy10kN/m4m+FCy=0 得 FCy=0,10kN/m,FCx,FCy,FNDE,2m,2m,取结点D为隔离体，由平衡方程 X=0，得,FNDAx=40kN,2m,2m,利用比例关系，得,由平衡方程 Y=0，得 FNDF=FNDAy=40kN,FNDA

30、y=40kN,3)计算梁式杆内力。,将链杆内力的反作用力作为荷载作用在梁式杆上，取杆AFC为隔离体。,FCx,FCy,FNDE,10kN/m,2m,2m,以A、F、C为控制截面，控制截面上的内力为 MAF=0 MFA=MFC=20kNm（上侧受拉）MCF=0 FSAF=0 FSFA=20kN FSFC=20kN FSCF=0 FNAC=FNCA=40kN,2m,2m,4)绘制梁式杆的内力图。,根据梁式杆内力计算的结果，可以绘出梁式杆的内力图。,M图（kNm）,FS图（kN）,FN图（kN）,7.5 三铰拱,1.拱的特点拱是由曲杆组成的在竖向荷载作用下支座处产生水平推力的结构。水平推力是指拱两个

31、支座处指向拱内部的水平反力。在竖向荷载作用下有无水平推力，是拱式结构和梁式结构的主要区别。,7.5.1 概述,在拱结构中，由于水平推力的存在，拱横截面上的弯矩比相应简支梁对应截面上的弯矩小得多，并且可使拱横截面上的内力以轴向压力为主。这样，拱可以用抗压强度较高而抗拉强度较低的砖、石和混凝土等材料来制造。,拱结构在房屋建筑、桥梁建筑和水利建筑工程中得到广泛应用。例如在桥梁工程中，拱桥是最基本的桥型之一；又如屋面承重结构。,在拱结构中，由于水平推力的存在，使得拱对其基础的要求较高，若基础不能承受水平推力，可用一根拉杆来代替水平支座链杆承受拱的推力，如图（a）所示。这种拱称为拉杆拱。,图（a）,为增

32、加拱下的净空，拉杆拱的拉杆位置可适当提高,如图（b）所示；也可以将拉杆做成折线形，并用吊杆悬挂，如图（c）所示。,图（b）,图（c）,2.拱的分类 按铰的多少，拱可以分为无铰拱图(a)、两铰拱图(b)和三铰拱图(c)。无铰拱和两铰拱属超静定结构，三铰拱属静定结构。,图（a）,图（b）,图（c）,按拱轴线的曲线形状，拱又可以分为抛物线拱、圆弧拱和悬链线拱等。,3.拱的各部分名称拱与基础的联结处称为拱趾或拱脚。拱轴线的最高点称为拱顶。拱顶到两拱趾连线的高度f称为拱高。两个拱趾间的水平距离l称为拱跨。,拱高与拱跨的比值f/l称为高跨比。高跨比是影响拱的受力性能的重要的几何参数,现以图(a)所示三铰拱

33、为例说明内力计算过程。该拱的两支座在同一水平线上，且只承受竖向荷载。,7.5.2 三铰拱的内力计算,1.求支座反力,取拱整体为隔离体,由平衡方程MB=0，得,由MA=0，得,由Y=0，得 FAx=FBx=Fx（c）,（a）,（b）,2.求任一截面K上的内力,再取左半个拱为隔离体,由平衡方程MC=0，得,（d）,由平衡方程MC=0，得,（d）,与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图(b)所示，其支座反力为,同时，可以计算出相应简支梁C截面上的弯矩为,（e）,（f）,比较以上诸式，可得三铰拱的支座反力与相应简支梁的支座反力之间的关系为,（*）,利用上式，可以借助相应简支梁的支座反力和内力的计算结果来

34、求三铰拱的支座反力。由上式可以看出，只受竖向荷载作用的三铰拱，两固定铰支座的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力Fx等于相应简支梁截面C处的弯矩 与拱高f 的比值。当荷载与拱跨不变时 为定值，水平反力与拱高f 成反比。若f0，则Fx，此时三个铰共线，成为瞬变体系。,借助其相应简支梁的内力计算结果，来求拱的任一截面K上的内力。取三铰拱的K截面以左部分为隔离体图(c)。设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴的夹角为K。K截面上的内力有弯矩MK、剪力FSK和轴力FNK。,规定弯矩以使拱内侧纤维受拉为正，反之为负；剪力以使隔离体产生顺时针转动趋势时为正，反之为负；轴力以压力为正，拉力为

35、负（在隔离体图上将内力均按正向画出）。,利用平衡方程，可以求出拱的任意截面K上的内力为,（g）,在相应简支梁上取图(d)所示隔离体。,利用平衡方程，可以求出相应简支梁K截面上的内力为,（h）,利用式（h）与式（*），式（g）可写为,（*）,式（*）即为三铰拱任意截面K上的内力计算公式。计算时要注意内力的正负号规定和夹角K的取值，在左半拱时K取正值，在右半拱时K取负值。,由式（*）可以看出，由于水平支座反力Fx的存在，三铰拱任意截面K上的弯矩和剪力均小于其相应简支梁的弯矩和剪力，并且存在着使截面受压的轴力。通常轴力较大，为主要内力。,3.绘制内力图,一般情况下，三铰拱的内力图均为曲线图形。为了简

36、便起见，在绘制三铰拱的内力图时，通常沿跨长或沿拱轴线选取若干个截面，求出这些截面上的内力值。然后以拱轴线的水平投影为基线，在基线上把所求截面上的内力值按比例标出，用曲线相连，绘出内力图。,【例7.7】求图(a)所示三铰拱截面D和E上的内力。己知拱轴线方程为。,【解】1)计算相应简支梁的有关数据。,其支座反力为,简支梁截面C处的弯矩为,三铰拱的相应简支梁如图(b)所示。,100kN,10kN/m,FBy=100kN,0,0,FAy=100kN,FAx=0,0,2)计算三铰拱的支座反力。,由公式，三铰拱的支座反力为,计算所需有关数据为,3)计算D截面上的内力。,由三铰拱的内力计算公式，算得D截面上

37、的内力为,4)计算E截面上的内力。,计算所需有关数据为,由三铰拱的内力计算公式，算得E截面上的内力为,在一般情况下，三铰拱任意截面上受弯矩、剪力和轴力的作用，截面上的正应力分布是不均匀的。若能使拱的所有截面上的弯矩都为零（剪力也为零），则截面上仅受轴向压力的作用，各截面都处于均匀受压状态，材料能得到充分的利用，设计成这样的拱是最经济的。,7.5.3 合理拱轴的概念,在给定荷载作用下，可以通过调整拱轴线的形状来达到这一目的。若拱的所有截面上的弯矩都为零，则这样的拱轴线就称为在该荷载作用下的合理拱轴。,下面讨论合理拱轴的确定。,三铰拱任意截面上的弯矩为,令其等于零，得,当拱所受的荷载为已知时，只要

38、求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以水平推力(水平支座反力)Fx，便可得到合理拱轴方程。,【例7.8】求图（a）所示三铰拱在竖向均布荷载q 作用下的合理拱轴。,【解】绘出拱的相应简支梁如图(b)所示，其弯矩方程为,由三铰拱的支座反力计算公式，拱的水平推力(水平支座反力)为,利用公式，可求得合理拱轴的方程为,在满跨的竖向均布荷载作用下，对称三铰拱的合理拱轴为二次抛物线。这就是工程中拱轴线常采用抛物线的原因。,三铰拱的合理拱轴只是对一种给定荷载而言的，在不同的荷载作用下有不同的合理拱轴。,对称三铰拱在径向均布荷载的作用下，其合理拱轴为圆弧线图（a）；在拱上填土（填土表面为水平）的重力作用下，其合理拱

39、轴为悬链线图（b）。,图（a）,图（b）,小结,1.多跨静定梁多跨静定梁是由单跨静定梁通过铰加以适当连接而成的结构。多跨静定梁的约束反力计算顺序应该是先计算附属部分，再计算基本部分。当求出每一段梁的约束反力后，其内力计算和内力图的绘制就与单跨静定梁一样，最后将各段梁的内力图连在一起即为多跨静定梁的内力图。,2.静定平面刚架刚架是由直杆组成的具有刚性结点的结构。静定平面刚架内力计算的一般步骤是先由整体或部分的平衡条件，求出支座反力和铰结点处的约束力，然后可面对杆件，即使杆件在面前横放，按单跨静定梁的内力计算法则和内力图的绘制方法，逐杆绘制内力图，最后将各杆的内力图连在一起，即得整个刚架的内力图。

40、,3.静定平面桁架桁架是由直杆组成，全部由铰结点连接而成的结构。平面静定桁架的内力计算的方法通常有结点法和截面法。,结点法是截取桁架的一个结点为隔离体，利用该结点的静力平衡方程来计算截断杆的轴力。截面法是用一截面(平面或曲面)截取桁架的某一部分(两个结点以上)为隔离体，利用该部分的静力平衡方程来计算截断杆的轴力。,4.静定平面组合结构由链杆和梁式杆混合组成的结构通常称为组合结构。组合结构的内力计算，一般是在求出支座反力后，先计算链杆的轴力，其计算方法与平面桁架内力计算相似，可用截面法和结点法；然后再计算梁式杆的内力，最后绘制结构的内力图。,5.三铰拱（1）拱是由曲杆组成的在竖向荷载作用下支座处产生水平推力的结构。,三铰拱任意截面K上的内力计算公式：,K K截面的法线与x 轴的夹角；在左半拱 时K取正值，在右半拱时K取负值；Fx 水平反力。等于相应简支梁C截面上的 弯矩 与拱高 f 的比值。,式中：,、相应简支梁K截面上的剪力和弯矩；yK K截面形心的y坐标；,（2）在绘制三铰拱的内力图时，通常沿跨长或沿拱轴线选取若干个截面，求出这些截面上的内力值。然后以拱轴线的水平投影为基线，在基线上把所求截面上的内力值按比例标出，用曲线相连，绘出内力图。,（3）若拱的所有截面上的弯矩都为零，则这样的拱轴线就称为在该荷载作用下的合理拱轴。合理拱轴的方程为,