西北工大计算方法第一章.ppt

《西北工大计算方法第一章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《西北工大计算方法第一章.ppt（42页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、教 材：李信真，车刚明，欧阳洁，封建湖，计算方法，西北工业大学出版社,作 业：计算方法作业集（A、B）,参考书：1、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001.2、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.,课时数：32,第一章 绪 论,内容提要 1.1 计算方法的任务与特点 1.2 误差知识 1.3 选用算法时应遵循的原则,1.1计算方法的任务与特点,提出实际问题 辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系，即得到数学模型。建立数学模型 模型的适定性:数学

2、模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的)以及对相关数据的连续依赖性统称为模型的适定性.,科学与工程计算过程：,提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。,数值问题举例,是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。,设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法算法。算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次

3、序的完整而准确的描述。,算法分类:分类方法1：若算法包含有一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）,算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是数值分析研究的第二个任务。一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。,算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护）。这

4、是数值分析研究的第三个任务。,算法应用状态,计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性，以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。,科学与工程计算过程小结,提出实际问题建立数学模型提出数值问题设计可靠、高效的算法程序设计、上机实践计算结果计算结果的可视化 在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学

5、研究三大基本手段之一。,鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：函数的插值和曲线拟合数值积分和数值微分线性方程组求解、非线性方程（组）求解代数特征值问题常微分方程数值解法,本课程主要内容,本课程的学习方法,尽管本课程所讲算法是很有限的，但许多初学者可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。在此，我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。1、认识对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。2、注重各章节所研究算法的提出，搞清楚问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的正确性。3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理

6、和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。5、认真进行数值计算的训练。,1.2 误差知识,内容提要：误差的来源及其分类误差的度量误差的传播,一、误差来源及其分类,1)模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。,2）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。,在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。,3）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而

7、导致的。,例如：,4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。如利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：,二、误差的度量,绝对误差相对误差有效数字度量间的关系,1.绝对误差,绝对误差定义：准确值减近似值,绝对误差限：,2.相对误差,Remark:绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不

8、同真值近似程度的好坏。,3.有效数字,为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。,有效数：当x*准确到末位，即n=p，则称x*为有效数。举例：x=,x1*=3.141,x2*=3.142,3位有效数字，非有效数,4位有效数字，有效数,Remark1:有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。Remark2:对真值进行四舍五入得到有效数。Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。Remark4:从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数

9、。例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。,4.误差度量间的联系,绝对误差与相对误差,绝对误差与有效数字,相对误差与有效数字,定理证明,证毕,Remark1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。2、仅从 并不能保证x*一定具有n位有效数字。如 设其近似值a=0.484，其相对误差为：我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为,例题,解：,三、数值运算的误差估计,概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播。误差传播的表现：算法本身可能有截断误差；初始数据在计算机内的

10、浮点表示一般有舍入误差；每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差；误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长；运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算。,初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。研究方法：泰勒（Taylor）方法 n元函数,复习泰勒公式,泰勒公式分析初值误差传播,相对误差：,进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：,二元函数算术运算误差传播规律,绝对误差限,相对误差限,1.3 选用算法应遵循的原则,简化计算步骤以减少运算次数。,例1,例

11、2 秦九韶算法,例,尽量避免相近的数相减 例 x=52.127 x*=52.129 四位有效数字 y=52.123 y*=52.121 四位有效数字 A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位有效数字结论：避免相近数相减,合理安排量级相差很大的数之间的运算次序,尽可能避免大数“吃掉”小数。,一些避免相近数相减示例当|x|1时,当|x|1时,尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。,当a,b中有近似值时，由,若，则 可能很大。当a,b都是准确值时，由于 很大，会使其它较小的数加不到 中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。,选用数值稳定性好的算法。

12、,定义：一个算法,如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制,或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果,则称该算法是数值稳定的,否则称其为数值不稳定.,例：计算如下积分近似值的两种方案比较,方法1：,方法1计算结果,方法一结果分析,方法一分析：计算结果表明,舍入误差的传播近似依5的幂次进行增长,因而是一种不稳定的方法。,方法二：,由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的近似可由下面式子得到：,方法2计算结果,总之,除了算法的正确性之外,在算法设计中至少还应:,1 尽量避免两个相近的近似数相减;2 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序,防止大数吃掉小数;3 尽可能避免绝对值很小的数做分母;4 防止出现溢出;5 简化计算步骤以减少运算次数;6 选用数值稳定性好的算法.,