等比数列前n项和一.ppt

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1、2.5 等比数列的前n项和(一),海南省洋浦中学 周丽宇,从前，有个贪婪的地主，总是剥削他的佃农，有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到了春播时节了。你到地里干一个月（30天）的活，先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，地主家也没有多少余粮啊。”农夫说：“这样吧，工钱不要了，我每天给你一袋米（40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒，第三天四粒，第四天八粒以后每天给我的大米数是前一天的2倍。你看如何？”地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8粒居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他多少袋米啊。哈哈，我赚大发了。地主就马

2、上同农夫进行了签字画押。,问题引入,求等比数列的前30项的和。,(二)问题探究,问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？,问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？,问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？（1000粒米约40克）,4030=1200（斤）,问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？,现在我们一起来寻找答案。,米粒的总数为:,问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？,问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？,问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式,时间很长，太麻烦了。,(二)问题探究,问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？

3、,根据式，如何构造另一个式子？,把这两个式子怎么样？,等差数列求和公式的推导,+得：,倒序相加,(三)方法回顾,的目的：出现相等的项，从而化简,等比数列的前n项和公式,解析1：找个具体的等比数列来检验,问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。,?,(四)类比探究,每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!,所以,解析2：一般地，对于等比数列，因为：,问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。,?,等比数列的前n项和公式,(四)类比探究,无法化简,问题1：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?请大家动手试试。,?,反思

4、：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘此方法的本质（求和的根本目的）。,问题2：求和的根本目的是什么？,答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。,改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示。,等比数列的前n项和公式,(四)类比探究,问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有,问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？,后项=前项公比,相同的项,问题5：如何构造式子？,将式子的两边都乘以,问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？,相减,等比数列的前n项和公式,(四)类比探究,-得：,问

5、题7：要求出，是否可以把上式两边同除以？,当 时，除以 得：,当 时，,注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！,等比数列的前n项和公式,(四)类比探究,当 q=1 时，,当q1时，,则,探究成果：,等比数列的前n项和公式,(四)类比探究,等差数列,方法小结：,课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？,联想我们所学过的知识，即类比，挖掘其方法的（求和的根本目的是），结合等比数列自身的来构造式子，再把两式，这种求和方法叫做,求和方法,本质,消项,特征,相减,错位相减,(四)类比探究,问题1：还有其它的推导方法吗？,问题2：根据式的特点，能否建立一个关于 的方程？若能，就可从

6、方程中解出,问题3：式的左边是,要建立一个关于 的方程,那就要将式的右边也用含 的式子来表示。,问题4：观察式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式，是否可考虑将之提出来？,(五)方程探究,等比数列的前n项和公式,问题5：括号里面的，与式右边对照，少了哪一项？,问题6：括号里面的，怎样用含 的式子表示？,从这个方程解出,问题7：这样就得到了一个什么方程？,问题8：解方程时要注意对进行。,一元一次方程,未知量的系数,讨论,(五)方程探究,等比数列的前n项和公式,移项，得：,当 q=1 时，,当q1时，,(五)方程探究,等比数列的前n项和公式,(建立方程),用 表示,注意：方程法是一种重要的数学思

7、想方法！,一部分项提公因式,过程小结：,解方程,根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式后，可将其用含的式子表示出来，从而建立关于的方程，解此方程即可。,课后思考：对和式的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？,(五)方程探究,(六)熟悉理解等比数列前n项和公式,当q1时，,当q1时，,思考1：根据公式，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？,思考2：能否将Sn和用a1,q,an来表示？,思考3：什么时候用公式,什么时候用公式?,例1.求下列等比数列前8项的和,(七)公式的应用,思考：能否用公式求？,答：可以。但要先求出公比 和,解题思路：求出公比 后用公式求,变式

8、1 判断正误：,反思总结:,用公式前，先弄清楚数列的首项、公比、项数n,(七)公式的应用,在等比数列中，已知 中的三个，可求另外两个。,变式2 填空：,反思总结:,如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。,(七)公式的应用,96,189,5,15.5,-4,76.5,1,1.5,-6,5,知三求二,(八)问题解决,问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？,问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？,问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？（1000粒米约40克）,4030=1200（斤）,地主中计,米粒的总数为:,智慧来源于积极思考！,启示：这个故事告诉我们,不贪图眼前小利，把目光放长远！,(八)问题解决,学会理性思考，学好数学！,(九)课堂小结,1.一个公式：,2.两种方法：,3.三种数学思想：,这节课我们主要学到了什么？,错位相减,解方程,类比,方程,分类讨论,2.课外思考题：,(十)作业布置,(2)请从等比数列定义的两种形式出发，分别用不同的方法推导出等比数列前n项和的公式:,形式,形式,(1)求数列 的前n项和,1.必做题：P611、2、3,