第七章非线性系统的分析.ppt

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1、自 动 控 制 理 论,方 炜,安徽工业大学 电气信息学院,第七章 非线性系统的分析,安徽工业大学电气信息学院,本章的主要内容,1,2,描述函数法,3,典型非线性特性的描述函数,4,非线性系统的基本概念,二阶线性和非线性系统的相平面分析,非线性系统的谐波平衡法分析,5,安徽工业大学电气信息学院,7-1 非线性系统的基本概念,一、非线性系统基本概念,系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况（1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控制目的，人为引进的非线性。非线性系统与线性系统的区别1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参数，而

2、和系统的初始状态无关。非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。,安徽工业大学电气信息学院,2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收 敛（稳定）。非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来 处理各种非线性问题。,安徽工业大学电气信息学院,线性控制系统

3、：由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微分方程描述。,非线性控制系统：系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由非线性微分方程描述。,非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。,本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。,安徽工业大学电气信息学院,二、典型非线性特性,特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。,放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。,1、饱和特性,饱和特性对系统性能的影响（1）使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。（2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降,安徽工业大学电气信

4、息学院,2、死区特性,（不灵敏区特性）,特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。,测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等等。,死区特性对系统性能的影响：（1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。（2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向,安徽工业大学电气信息学院,3、间隙特性,输入输出之间具有多值关系,齿轮传动中的齿隙,液压传动中的油隙,间隙特性对系统性能的影响：间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏,安徽工业大学电气信息学院,4、继电器特性,理想继电器,具有饱和死区的单值继电器,具

5、有滞环的继电器,具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性,安徽工业大学电气信息学院,具有死区和滞环的继电器的数学表达式,安徽工业大学电气信息学院,继电器特性对系统性能的影响带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果,安徽工业大学电气信息学院,三、非线性系统的特点,、系统的稳定性,、系统的自持振荡,、频率响应畸变,、系统共振,系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。,产生某一固定振幅和频率的振荡,输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振荡等。,不会产生线性系

6、统那样的共振现象,安徽工业大学电气信息学院,四、非线性系统的分析方法,1、相平面法 时域方法2、描述函数法 频域方法,安徽工业大学电气信息学院,7-2 相平面分析法,相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。,相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函数。,用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S)必须是二阶。,安徽工业大学电气信息学院,描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方程描述：,以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。,当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动轨迹称为相

7、平面轨迹，简称相轨迹。,相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是平衡点。,安徽工业大学电气信息学院,线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在 平面中，绘制 随时间t 变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是。奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。,一、线性二阶系统奇点的类型,安徽工业大学电气信息学院,1、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。,安徽工业大学电气信息学院,2、欠阻尼运动系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于原点。奇点

8、称为稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,3、过阻尼运动系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。,安徽工业大学电气信息学院,4、系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,5、系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。,安徽工业大学电气信息学院,6、是对称于原点的实轴系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。,安徽工业大学电气信息学院,二、非线性系统的相平面分析借助Matlab等软

9、件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。例1：有死区继电器非线性的系统框图如下,系统线性部分的传递函数，该二阶系统的无阻尼自然振荡角频率，阻尼比，根据前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。,安徽工业大学电气信息学院,继电器的输入输出关系为在 平面，根据继电器的非线性特性，可分为三个区域，设初始状态，绘制相轨迹如图所示，(设r=3)根据系统的相轨迹，可对系统的性能分析如下：,安徽工业大学电气信息学院,2、相轨迹最后没有到达原点，即，说明系统在阶跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。系统线性部分的传递函数表明，系统是型系统，对阶跃响应的稳态误差应为0，可见死区继电器非线性对

10、稳态精度的影响。,1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定焦点。e是单调衰减的。,安徽工业大学电气信息学院,例2：非线性系统框图如下,其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节的输入输出关系为,安徽工业大学电气信息学院,根据上述关系，可将 平面分为二个区域。分别绘制初始状态分别为 和 的两条相轨迹。,从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对于此系统，通过减少继电器回

11、环的宽度a，可减小振荡。,安徽工业大学电气信息学院,描述函数是非线性特性的一种线性近似表示。用描述函数后，非线性系统可近似视为线性系统，用线性系统理论去分析，甚至设计。,7-3 非线性特性的一种线性近似表示描述函数,考虑一非线性环节N，其输入为x(t)，输出为n(t)。描述函数法：找出一个线性函数 y(t)去逼近n(t)，并且要求按照均方误差最小的准则衡量，这种逼近是最佳的。,一、描述函数的基本概念,安徽工业大学电气信息学院,针对一任意非线性系统，设输入 x=Xsint，输出为n(t)，则可以将n(t)表示为傅立叶级数形式：,如果非线性环节N 的特性是对称的，则A0=0。,安徽工业大学电气信息

12、学院,非线性特性的线性化表示方法：以输出n(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为,一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。,安徽工业大学电气信息学院,描述函数：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。,输入：x(t)=Xsint,输出的基波分量：,描述函数：,描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。,安徽工业大学电气信息学院,二、典型非线性特性的描述函数1、死区非线性的描述函数,安徽工业大学电气信息学院,2、理想继电器非线性的描述函数,安徽工业大学电气信息学院,系统开环部分可

13、分离为：非线性环节N(A)线性部分G(s),非线性特性的描述函数表示了正弦输入信号作用下，输出信号的基波分量与输入信号之间在幅值和相位上的相互关系，也就是包含有等效增益及等效相移两方面的信息。,7-4 分析非线性系统的谐波平衡分析法,谐波平衡法：应用描述函数所提供的信息去分析非线性系统的性能。,安徽工业大学电气信息学院,和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。,安徽工业大学电气信息学院,如果满足上式，表示 与 有交点，此时非线性系统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图 在复平面中穿过（1，j 0）点。,将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。,安徽工业大学电气信息学院,一、非线性系统稳定,安徽工业大学电气信息学院,三、非线性系统产生自持振荡,图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。,二、非线性系统不稳定,安徽工业大学电气信息学院,结论：该非线性系统存在自持振荡，振荡频率为，振幅为2.1。,例：,，是与负实轴重合的直线。,