要点梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号.ppt
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1、要点梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号.,7.4 基本不等式:,a0,b0,a=b,基础知识 自主学习,2.几个重要的不等式(1)a2+b2 _(a,bR).(2)_(a,b同号).(3)(a,bR).(4)(a,bR).3.算术平均数与几何平均数 设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均 数为_,基本不等式可叙述为:_ _.,2ab,2,术平均数不小于它们的几何平均数,两个正数的算,4.利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_时,x+y 有最_值是_.(简记:积定和最小)(2)如果和x+
2、y是定值p,那么当且仅当_时,xy有最 _值是_.(简记:和定积最大),x=y,小,x=y,大,基础自测1.下列结论中不正确的是()A.B.C.a2+b22ab D.解析 只有当a、b同号且不为零时 成立,,B,2.已知向量a=(x-1,1),b=则|a+b|的最小 值 是()A.1 B.C.D.2 解析 a+b=|a+b|=,B,3.当x1时,关于函数 下列叙述正确 的是()A.函数f(x)有最小值2 B.函数f(x)有最大值2 C.函数f(x)有最小值3 D.函数f(x)有最大值3 解析 x1,x-10,C,4.已知a0,b0,则a+2b的最小值为()A.B.C.D.14 解析 据题意知,
3、A,5.若00,x(4-3x)=3x(4-3x)当且仅当3x=4-3x,即x=时取得等号.,D,题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】已知x0,y0,z0.求证:由题意,先局部运用基本不等式,再利 用不等式的性质即可得证.,思维启迪,题型分类 深度剖析,证明 x0,y0,z0,当且仅当x=y=z时等号成立.,利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.,探究提高,知能迁移1(1)证明:a4+b4+c4+d44abcd;(2)已知a0,b0,a+b=1,求证:证明(1)a4+
4、b4+c4+d42a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd.原不等式得证.(2)a0,b0,a+b=1,所以原不等式成立.,题型二 利用基本不等式求最值【例2】求下列各题的最值.(1)已知x0,y0,lg x+lg y=1,求 的最 小值;(2)x0,求 的最小值;(3)x3,求 的最大值;(4)xR,求 的最小值.,思维启迪(1)由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本不等式.(2)由x0,是常数,故可直接利用基本不等式.(3)由于 不是常数,故需变形.又x-30,故需变号.(4)虽然(常数),但利用基本不等式时,等号取不到,所以利用函数的单调性.,解(
5、1)方法一 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.方法二 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得 当且仅当 即x=2,y=5时等号成立.,(2)x0,等号成立的条件是 即x=2,f(x)的最小值是12.(3)x0,当且仅当 即x=1时,等号成立.故f(x)的最大值为-1.,(4)令sin2x+1=t,则t1,2,故 任取t1,t21,2且t1t2,t1t2且t1,t21,2,t1-t20,t1t2-50,故g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2),g(t)在1,2上是减函数,f(x)min=等号成立的条件是sin2x+1
6、=2.sin x=1,故f(x)的最小值是 利用基本不等式求最值问题,基本方法是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注意元的范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”的技巧,特别要注意等号能否取到.,探究提高,知能迁移2(1)已知x0,y0,且 求x+y 的最小值;(2)已知x 求函数 的最大值;(3)若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.,解(1)x0,y0,当且仅当 时,上式等号成立,x=4,y=12时,(x+y)min=16.,(2)x0,-2+3=1,当且仅当 即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.,(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy
7、,当且仅当 即x=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当x=12,y=6时,x+y取最小值18.,题型三 利用基本不等式解应用题【例3】(12分)某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求 出最低总造价.,思维启迪 设污水处理池的
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