信号的描述方法.ppt

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1、,第3章 信号的描述方法,3.1 信号的分类3.2 信号的时域描述3.3信号的频域描述3.4 随机信号的描述,返回,在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态与运动等特征方面的信息。被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特定信息，而不是全部信息。为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式，本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。,3.1 信号的分类,信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为确定性信号和非确定性信号、连续信号和离散信号、能量信号和功率信号等。,3.1.1 分类方法一

2、：确定性信号和随机信号,1.确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。,m,x(t),0,x(t),f0,A,t,k,周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。,周期：满足上式的最小T 值。频率：周期的倒数，f=1/T，单位：（Hz 赫兹）圆频率/角频率：频率乘以2 f,即=2 f=2/T 实际应用中，n 通常取为正整数。,数学表达：,信号的分类,T0=2/0=1/f0,(a)周期信号之-正弦信号：,这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。,（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组

3、成，叠加后存在公共周期。,x(t)=Asin0.5 t+Asin t+Asin2 t,(b)周期信号之-复杂周期信号,(a)非周期信号之-准周期信号,非周期信号 能用明确的数学关系进行描述，但又不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。它分为准周期信号和瞬态信号两类。,也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期（本质上不属于周期信号）。,是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。,(b)非周期信号之-瞬态信号,2.随机性信号：,不能准确预测信号未来瞬时值，也无法用准确数学关系式来描述的信号，称为随机信号，也称不确定性信号。,特点：非确定性信号。具有不重复性（

4、在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。采用概率和统计的方法进行描述。,t,0,x(t),3.1.2 分类法二：连续信号和离散信号,若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。若独立变量取离散值，则称为离散信号。,分类法三：能量信号和功率信号,如周期信号、准周期信号、随机信号等。,信号的瞬时功率：,信号能量：,能量（有限）信号：,功率（有限）信号：信号在有限区间（t1,t2）上的平均功率：,如各类瞬变信号。,信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。优点：形象、直观。缺点：不能

5、明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。,信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法。,3.2 信号的时域描述,信号的频域描述应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。,信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息相同；时域描述与频域描述各有用武之地；将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析；采用频谱图描述信号，需要同时给出

6、幅值谱(amplitude spectrun)和相位谱(phase spectrum)。,3.2.1 时域信号的合成与分解,1.稳态分量与交变分量；信号可以分解为稳态分量与交变分量之和，如图所示。即,2.偶分量与奇分量；信号可以分解为偶分量与奇分量之和，如图所示。即偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原点对称。信号分解为奇、偶分量之和,3.实部分量与虚部分量；对于瞬时值为复数的信号可分解为实、虚两部分之和，即4.正交函数分量,信号,可以用正交函数集来表示，即,各分量正交的条件为,各分量的系数,满足正交条件的函数集有：三角函数、复指数函数等。,常用统计参数：均值、均方值和方差。,均值(mean)反映信

7、号的静态分量，即常值分量：,均方值(mean square)反映信号的能量或强度：,3.2.2 信号的统计特征参数,方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：,三者关系,狄里赫利（Dirichet）条件：信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。信号（函数）在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。信号（函数）在一个周期内，信号绝对可积，即,3.3.1 周期信号的频域描述（1）三角函数展开式（傅里叶级数法）,3.3 信号的频域描述,其中,则可以展开为,傅里叶系数,式中,进一步，可以改写为,例：求方波信号的频域描述（傅里叶级数法）,T0,T0,T02,T02,0,

8、t,x(t),解：信号x(t)为奇函数，在一个周期内对奇函数积分结果为0，故有：,，,4A,4A3,4A5,0,A(),0,30,50,0,0,30,50,(),/2,幅值谱,相位谱,周期方波信号的时、频域描述,（2）复指数展开式,所以：,欧拉公式,令：,(n=0,1,2,）,信号的描述,其中：,故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为：,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图：|Cn|-实频谱图：CnR-虚频谱图：CnI-相频谱图：n-,信号的描述,例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解：,C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,3,）,C-1=j/2，C1=-

9、j/2，Cn=0（n=0,2,3,）,单边幅频谱,单边幅频谱,双边幅频谱,双边幅频谱,几点结论,复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+），三角函数形式的频谱为单边谱（从 0 到+）。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。,综上所述，周期信号频谱的特点如下：周期信号的频谱是离散谱；每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；复杂周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高

10、的谐波分量。,信号的描述,3.3.2 非周期信号的频域描述,瞬变信号例参见下页,频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是周期信号。当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号（属非周期信号）。一般非周期信号是指瞬变信号。,非周期信号,准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱,瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零,（1）傅里叶变换（非傅里叶级数）,非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近，变为连续谱。,谱线长度：,此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分

11、解，其所含总能量应当不变。无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在。,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中：,T0时，=0 0，n0，Cn0。但 CnT0 存在：,信号的描述,Cn表示n0（即）处的频谱值，而 反映了单位频带的频谱值（0为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密度(spectrum density)函数，简称频谱函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况。若以 的值为高、以间隔0为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于=n0频率处的频谱值Cn(n0)。,信号的描述,信号的描述,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,以,代入得

12、,记为：,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值的量纲。为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。,例：矩形窗函数的频谱（属非周期、瞬态信号，区别方波）,W(f)中 T 称为窗宽，,森克函数，通常称窗函数,W(f)函数只有实部，没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。sinc是偶函数，在n（n=1,2,）处其值为0。,信号的描述,非周期信号频谱的特点,基频无限小，包含了从 0 的所有频率分量。,频谱连续。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X

13、()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,（2）傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t)x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),线性叠加,X1(f)X2(f),x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性

14、 质,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j w复频域分析：拉普拉斯变换,自变量为 S=+j wZ域分析：Z 变换，自变量为z,频域、复频域、Z域的关系,补充预备知识：,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函数，则 ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f),对称性：,证明：互换 t 和 f从而：X(t)x(-f),尺度改变性,证明：,（k 0）

15、,（k 0）,综上所述,时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k 1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。,尺度改变性质举例,证明：若 t0为常数 则,时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱,时移性,(c)时移的时域矩形窗(d)图(c)对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例,（a）时域矩形窗,图（a）对应的幅频和相频特性曲线,0,0,0,0,0,0,例：求三个窗函数的频谱。,对于矩形窗函数w(t),问题描述为求w(t-)+w(t)+w(t+)的频谱,根据时移性质,频移特性,若f0为常数,证明,卷积特性,证明：函数x(t)与y(t)的卷积定义为,同理可得,微分特性,证明：

16、,同理：,傅里叶的两个最主要的贡献,周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点,3.3.3 几种典型信号的频谱,单位脉冲函数(函数)的频谱 1.函数定义,且其面积（强度）：,2.函数的性质,采样性,函数与其他函数的卷积示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t)(t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t)(t t 0),-t0,t0,-t0,t0,3.函数的频谱,对(t)取傅里叶变换,函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱

17、”。,函数是偶函数，即，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对,（各频率成分分别移相2ft0）,(t t0),(f)（单位脉冲谱线）,1（幅值为1的直流量）,1（均匀频谱密度函数）,(t)（单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,单位脉冲函数的时、频域关系,3.3.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱,（1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱,（2）常值函数(又称直流量)的频谱,幅值为1的常值函数的频谱为 f=0处的函数。,当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为函数。,(3)单位阶跃函数的频谱 单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数

18、a 0时的极限形式。,单位阶跃函数及其频谱,（4）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数,正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：,（5）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱,Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数,（fs=1/Ts）,因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故,从而,所以,即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。,（6）指数(exponent)函数的频谱,双边指数衰减函数,其傅里叶变换为,单边指数衰减函数及其频谱,（7）符号(si

19、gn)函数及其频谱,符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a 0时的极限形式，即：,随机信号是非确定性信号随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述相关概念 随机现象：产生随机信号的物理现象 样本(sample)函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数 随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即 x(t)=x1(t)，x2(t)，xi(t)，

20、,3.4 随机信号的频域描述,随机变量：随机过程在某一时刻t1的取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程 x(t)，随机过程在任何时刻的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；否则，则为非平稳随机过程。,各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过程是各态历经的（遍历性）。各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足够

21、长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理。一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无限长的时间记录。,随机过程的样本函数,随机信号的主要统计特征,描述各态历经随机信号的主要特征参数有：幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等时间域：自相关函数、互相关函数频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等,3.4.1 概率密度函数,概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。,随机信号 的时间历程，幅值落在 区间的总时间为，当观测时间T 趋于无穷大时，概率记为,定义概率密度函数,概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。在实际应用中，当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直方图来估计p(x)。,如果知道信号的概率密度函数，则,3.4.2 典型信号的概率密度函数,正态（高斯）噪声,例：周期性三角波的傅里叶级数,解：,信号的描述,因此，有：,信号的描述,