信号与系统的时域分析.ppt

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1、第三章信号与系统的时域分析,本章主要内容:,1.用 表示，由卷积积分求得LTI 系统的响应。,3.在对信号进行时域分解的情况下，研究LTI系统的性质。,2.用 表示，由卷积和求得LTI系统的响应。,则由系统的线性特性有：,问题的焦点是如何将信号分解成单元信号的线性组合。,1.研究信号的分解：以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；2.如何得到 LTI 系统对基本单元信号的响应。,1.尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。,3.1 信号的时域分解:(Decomposition

2、of Signals in Time-Domain),一.用 表示连续时间信号:,采用数学中讨论积分的思想。,定义：,则有：,第 个矩形可表示为：这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号，即：,表明：任何连续时间信号 都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。,二.用 表示离散时间信号:,对任何离散时间信号，如果每次从其中取出一个点，就可以将整个信号拆开来。,于是有：,表明：任何信号 都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。,每次取出的一个点都可以表示成不同加权、不同位置的单位脉冲。,3.2 连续时间LTI系统的时域分析：(Continuous-time LTI System Analy

3、sis in Time-Domain),一.卷积积分:（The convolution integral）,如果一个线性系统对 的响应为，则该系统对 的响应可表示为：,若，则,若系统是时不变的，即：,于是系统对任意输入 的响应可表示为：,这表明，LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分（The convolution integral）。,二.卷积积分的计算:,卷积积分的计算有图解法、解析法和数值解法。,运算过程的实质：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量 移动。,对每一个 的值，将 和 对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。,通过

4、图形帮助确定积分区间和积分上下限往往是很有用的。,1.解析法：,例1.,2.图解法：,例2.,三.卷积积分的性质:,1.交换律：,表明:一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应，与另一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应相同。,2.分配律：,表明:两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于各个子系统的单位冲激响应之和。,3.结合律:,表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。,由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。,产生以上结论的前提条件：,系统必须是LTI系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。,4.卷积还

5、有如下性质：,卷积积分满足微分、积分及时移特性：,若，则,若，则,恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：,与 和 的卷积：,一.卷积和:（Convolution sum）,如果一个线性系统对 的响应是，由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：,这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum）。,二.卷积和的计算:,卷积和的计算有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。,运算过程：,将一个信号 不动，另一个信号反转成，再随参变量 移位。在每个 值的情况下，将 与 对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得到 时刻的

6、。,例1.,例2.,时，,时，,时，,时，,时，,通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上、下限是很有用的。,例3.列表法:,分析卷积和的过程，可以发现：,与 所有的各点都要遍乘一次；,优点：计算非常简单。,缺点：只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出 的封闭表达式。,三.卷积和的性质:,卷积和与卷积积分一样，也满足交换律、结合律、分配律。同时，也满足时移、差分及求和特性。,从系统的观点也可以对这些性质作出相同的物理解释。这些解释也有相同的条件限制。,信号与、的卷积和也有类似的结果：,3.4 LTI系统的性质:(The Properties

7、 of LTI Systems),1.记忆性：,LTI系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。,根据，如果系统是无记忆的，则在任何时刻，都只能和 时刻的输入有关，即和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：,即：,无记忆系统的单位脉冲响应为:,此时，当 时是恒等系统。,如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。,2.可逆性：,如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且该逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。,例如：延时器是可逆的LTI系统，其，其逆系统是，显然有：,累加器

8、是可逆的LTI系统，其，其逆系统是，显然也有：,因此有：,3.因果性：,单位脉冲/冲激响应因果，是LTI系统具有因果性的充分必要条件。,4.稳定性：,可知，,对连续时间系统，相应有,这是LTI系统稳定的充分必要条件。,5.LTI系统的单位阶跃响应：,在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生的响应。即:,单位阶跃响应与单位冲激响应的关系:,单位阶跃响应可以通过实验测得。,3.5 LTI系统的微分和差分方程描述:(The LTI Systems Described by Differential and Difference Equations),一.连

9、续时间LTI系统的微分方程描述:,可以用线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）描述相当广泛的一类连续时间LTI系统。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程。,均为常数,求解该微分方程，通常是求出一个特解 和通解，于是,通解 是齐次方程 的解。,特解 是与输入 同类型的函数；,要确定系数，需要有一组条件，称为附加条件。,仅从确定待定系数 的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。,当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入零输出的特性。,系统在

10、没有输入即 时，微分方程就蜕变成齐次方程。因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，即所有的 都为零。这就要求确定待定系数所需的一组附加条件的值必须全部为零，即具有零附加条件，LCCDE才能描述线性系统。,当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不变的。,如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述（方程具有零初始条件），就称该系统初始是静止的或最初是松弛的。,这组条件是：,如果LCCDE具有一组非零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。,二.离散时间LTI系统的差分方程描述:,一般的线性常系数差分方程（LCCDE）可表示为：,与微分方

11、程一样，它的解法也可以通过求出一个特解 和通解即齐次解 来进行，其过程与解微分方程一样。,要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件。同样地，当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。,无论微分方程还是差分方程，由于其特解都与输入信号具有相同的函数形式，也就是说它是完全由输入决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应。,增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。零输入响应与输入信号无关，因此属于自然响应。,零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包

12、含有一部分自然响应。,线性常系数差分方程还可以采用迭代的方法求解，将方程改写为：,依此类推可求出所有 时的解。,若将方程改写为：,则可由 求得，进而由 和 求得，依此可推出 时的解。,由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程（recursive equation）。,FIR与IIR系统：,显然，为有限长序列，此时方程描述的系统称为FIR(Finite Impulse Response)系统。,若 时，不全为零，则方程为递推型，为无限长，称为IIR(Infinite Impulse Response)系统。,LTI系统的方框图表示：,系统分析的一个重要目的是为了设计并实现满足要求的系统

13、，其实质就是完成系统模型所包括的各种运算。利用基本运算单元来表示系统模型的运算功能，就形成了系统的模拟框图。它有助于系统的分析、模拟仿真、设计与实现。,由 可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位。,令,则,可得图：,直接型,将其级联起来，就成为LCCDE 描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能。显然，作为两个级联的系统，可以调换其级联的次序，并将移位单元合并，得到：,直接型,但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，工程上通常使用积分器而不用微分器。,由 看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。,对此积分方程完全按照前面差分方程的办法即可有：,将方程两边同时积分N 次，即可得到一个积分方程：,直接型,直接型,通过交换级联次序，合并积分器可得直接型：,不同的结构会在设计和实现一个系统时带来不同的影响：如在系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异。,3.6 小结（Summary）,本章主要讨论了以下内容：,1.信号的时域分解:,2.LTI系统的时域分析卷积积分与卷积和;,3.LTI系统的描述方法：用 或 描述LTI系统；用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统；,4.LTI系统的特性与 的关系：记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；系统级联、并联时，与各子系统的关 系。,用系统方框图描述系统（等同于LCCDE 描述）。,