信号与系统教案第8章.ppt

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1、2023/5/24,第八章 系统状态变量分析,8.1 状态变量与状态方程一、状态变量与状态方程二、动态方程的一般形式8.2 状态方程的建立一、电路状态方程的列写二、由输入-输出方程建立状态方程 8.3 离散系统状态方程的建立8.4 连续系统状态方程的解8.5 离散系统状态方程的解,点击目录，进入相关章节,2023/5/24,第八章 系统状态变量分析,前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点：（1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。,本章将介绍的内

2、部法状态变量法是用n个状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。（2）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,8.1 状态变量与状态方程,一、状态与状态变量的概念,从一个电路系统实例引入,以u(t)和iC(t)为输出,若还想了解内部三个变量uC(t),iL1(t),iL2(t)的变化情况。,这时可列出方程,a,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。

3、,若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据tt0时的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在tt0时的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。,系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：,一组代数方程,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,状态与状态变量的定义,系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最少的一组数值，已知这组数值和tt0时系统的激励，就能完全确定tt0时系统的全部工作情况。,状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。,对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)

4、、xn(t)表示。,说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；,（2）状态变量应线性独立；,（3）状态变量的选择并不是唯一的。,在初始时刻的值称为初始状态。,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,二、状态方程和输出方程,在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，一般分两步进行：（1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；（2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。,状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系。,而描述输出与状态变量和激励之间关系的

5、一组代数方程称为输出方程。,通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,对于一般的n阶多输入-多输出LTI连续系统，如图。,其状态方程和输出方程为,2023/5/24,8.1 状态变量与状态方程,写成矩阵形式：,状态方程,输出方程,其中A为nn方阵，称为系统矩阵，B为np矩阵，称为控制矩阵，C为qn矩阵，称为输出矩阵，D为qp矩阵,对离散系统，类似,状态方程,输出方程,状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,8.2 连续系统状态方程的建立,一、由电路图直接建立状态方程,

6、首先选择状态变量。通常选电容电压和电感电流为状态变量。必须保证所选状态变量为独立的电容电压和独立的电感电流。,四种非独立的电路结构,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,状态方程的建立：,根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。,由于,为使方程中含有状态变量uC的一阶导数，可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；,为使方程中含有状态变量iL的一阶导数，可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。,对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。,对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。,2023/5/24,8.2 连续系统状态方

7、程的建立,由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：,（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；（2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式；（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。,解,选状态变量x1(t)=iL(

8、t),x2(t)=uC(t),L 1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t),a,C 2(t)+iR2(t)=x1(t),消去 iR2(t),列右网孔KVL方程：,R2iR2(t)+uS2(t)-x2(t)=0,代入整理得,输出方程：,uR1(t)=R1x1(t),2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,二、由输入-输出方程建立状态方程,这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输出方程。,具体方法：（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状

9、态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,例1 某系统的微分方程为 y(t)+3 y(t)+2y(t)=2 f(t)+8 f(t)试求该系统的状态方程和输出方程。,解由微分方程不难写出其系统函数,方法一：画出直接形式的信号流图,设状态变量x1(t)、x2(t),x1,x2,由后一个积分器，有,由前一个积分器，有,系统输出端，有 y(t)=8 x1+2 x2,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,方法二：,画出串联形式的信号流图,设状态变量x1(t)、x2(t),x2,x1,设中间

10、变量 y1(t),y1,系统输出端，有 y(t)=2 x2,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,方法三：,画出并联形式的信号流图,设状态变量x1(t)、x2(t),x1,x2,系统输出端，有 y(t)=6x1-4 x2,可见H(s)相同的系统，状态变量的选择并不唯一。,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。,解 对三个一阶系统,其中，y2=f-x3,输出方程 y1(t)=x2y2(t)=-x3+f,2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,三、由状态方程列输入-输出方程,例3 已知某系统

11、的动态方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。,解法一 由输出方程得,y(t)=x1(t),y(t)=x1(t)=4 x1(t)+x2(t)+f(t),y(t)=4 x1(t)+x2(t)+f(t),=44 x1(t)+x2(t)+f(t)+3 x1(t)+f(t)+f(t),=13 x1(t)4x2(t)3 f(t)+f(t),y+a y+by=(13 4a+b)x1+(4+a)x2+f(t)+(a3)f(t),a=4，b=3,y+4 y+3y=f(t)+f(t),2023/5/24,8.2 连续系统状态方程的建立,解法二 对方程取拉氏变换，零状态。,2023/5/24,8.2

12、连续系统状态方程的建立,y+4 y+3y=f(t)+f(t),2023/5/24,8.3 离散系统状态方程的建立,8.3 离散系统状态方程的建立,与连续系统类似，具体方法为：,（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。,2023/5/24,8.3 离散系统状态方程的建立,例1：某离散系统的差分方程为 y(k)+2y(k 1)y(k 2)=f(k 1)f(k 2)列出其动态方程。,解：不难写出系统函数,画信号流图：,设状态变量x1(k)，x2(

13、k)：,x1,x2,x1(k+1)=x2(k)：,x2(k+1),x2(k+1)=x1(k)2x2(k)+f(k)：,输出方程,y(k)=x1(k)+x2(k),2023/5/24,8.3 离散系统状态方程的建立,例2 某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。,解 p1(k)=2x1(k)+2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k),2023/5/24,8.3 离散系统状态方程的建立,2023/5/24,8.4 连续状态方程的求解,8.4 连续系统状态

14、方程的求解,状态方程和输出方程的一般形式为,用拉普拉斯变换法求解状态方程,sX(s)-x(0-)=A X(s)+BF(s),(sI-A)X(s)=x(0-)+BF(s),X(s)=(sI-A)-1x(0-)+(sI-A)-1BF(s)=(s)x(0-)+(s)BF(s),式中(s)=(sI-A)-1常称为预解矩阵。,Y(s)=CX(s)+DF(s),Yx(s)=C(s)x(0-),Yf(s)=C(s)B+D F(s),H(s)=C(s)B+D,(s)的极点就是H(s)的极点.即|sI-A|=0的根。,=C(s)x(0-)+C(s)B+D F(s),2023/5/24,8.4 连续状态方程的求解

15、,例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为,解,X(s)=(s)x(0-)+BF(s),起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入f(t)=(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。,2023/5/24,8.4 连续状态方程的求解,y(t)=1 1x(t)+f(t)=,=(t)+6e-2t(t),由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。,H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。|sI-A|=(s+2)(s+3),2023/5/24,8.5 离散状态方程的求解,8.5 离散系统状态方程的求解,用Z变换法求解状态方程,取单边z变换:,zX(z)-zx(0)=AX(z)+

16、BF(z),Y(z)=CX(z)+DF(z),X(z)=(zI-A)-1zx(0)+(zI-A)-1BF(z),设(z)=(zI-A)-1 z,X(z)=(z)x(0)+z-1(z)BF(z),Y(z)=C(z)x(0)+Cz-1(z)B+DF(z),yx(k)=Z-1C(z)x(0)，yf(k)=Z-1(Cz-1(z)B+D)F(z),H(z)=Cz-1(z)B+D,(z)的极点就是H(z)的极点.即|zI-A|=0的根。,2023/5/24,8.5 离散状态方程的求解,例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为,初始状态为,，激励f(k)=(k)。求状态方程的解和系统的输出。,解(z)=zI-A-1z=,X(z)=(z)x(0)+z-1BF(z)=,2023/5/24,8.5 离散状态方程的求解,2023/5/24,