偏微分方程定解问题.ppt

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1、第一章 偏微分方程定解问题,(1)偏微分方程,有一个未知多元函数,是未知变量；,如果能够得到如下关系式：,为,的各阶偏导数。,上述关系式就称为偏微分方程。,为书写方便，通常记,1.1 三个典型方程的导出,(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶。,(3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程,(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项,场位方程（拉普拉斯方程）：,热传导方程：,波动方程：,琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡,热传导中的

2、温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动,空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布,导出,“翻译”,导出步骤:i)确定物理量u；ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用；iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量u，把这种影响用算式表达出来。,如何导出？,一、弦的横振动,一根弦在内部张力作用之下处于平衡位置，某个微小扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移。,著名二胡演奏家宋飞,演奏弦乐器(如提琴、二胡)的人用弓在弦上来回拉动。弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动。实际上，振动总是传播到整根弦，弦的各处都振

3、动起来。人们力求用数学方法研究这种弦振动传播现象。,一、波动方程的推导,理想化假设：,(1)均匀常数；(2)柔软任意弯曲，没有抵抗弯曲的力，张力沿弦 的切线方向；(3)弹性抵抗拉伸的张力满足胡克定律；(4)细截面情况不考虑。可看作无粗细的线；(5)微小横振动绝对位移和相对位移都很小。,建立坐标系：确立未知函数,牛顿运动定律：F=ma,微元分析法：取微元x,x+dx，t时刻,(1),(2),T1,T2,u方向：,x方向：,张力沿切线：,由(1)得:,（T 与 x 无关）,胡克定律,每个时刻都有：ds dx，长度ds不随时间而变化：,T=T1=常数,代入(2),-理想弦的振动方程（第一个偏微分方程

4、）,其中：,一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足,二维波动方程或膜振动方程（鼓）,三维波动方程或声波方程,波动方程,弹性介质的振动方程统称为波动方程。均匀弦的微小横振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程，弹性介质中声波的传播是三维波动方程。,3、考虑其他因素,T的近似问题：微小、横振动(绝对位移不远小于1)。T为常数的假设不成立。如：习题5 弦在粘稠的液体中振动，阻尼必须考虑，在建立方程时需加上阻尼项即。,4、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围，则需建立新的模型。,P45 习题6 均匀杆的纵振动(1).纵振

5、动与纵波的机理一张力和杆(介质)(2).均匀杆的纵振动同横向振动，除杆的振动位移在纵向外，仍然采用微元法.,建立坐标系：以杆的中轴线为x轴。,微元分析法：取微元x,x+dx，即杆上B段。,牛顿运动定律：t时刻 F=ma,均匀杆形变产生的应力与应变满足胡克定律。,相对伸长量：,原长：dx,t时刻长度(现长)：,左端位移,右端位移,相对伸长量,其中：,B小段分别受邻段A和C的拉力F1和 F2。,二、热传导方程的推导,起源：19世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题 时提出。,物理模型：空间某个介质或静止流体内温度分布不均 匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。,理想化假设：,介质均匀,常数,各向同性,

6、c,k均为常数,未知函数：,温度,取定坐标系,微元分析法,微元 dv=dxdydz,t,t+dt时间段,物理定律：,1、能量守恒,2、傅里叶热传导定律,热传导系数,热流密度矢量,傅立叶热传导定律：在物体内部，在垂直于导热方向上，两个相距为h，面积为S，温度分别为T1、T2的平行平面，在t秒内，从一个平面传到另一个平面的热量Q，满足下式：,式中Q/t定义为传热速率，定义为该物质的导热系数，亦称热导率，“-”号表示热量向低温的方向传递。,翻译：对微元应用物理定律,dt时间内温度升高所需热量,考虑内部有热源放出热量,热源密度,带入方程,(1),(2),或写为：,或写为：,扩散方程,又称为扩散方程,说

7、明：,1、推导过程回顾,2、考虑其他因素,c,k的近似问题：各向同性。一阶偏导数也可能存在，变系数,3、比较,考虑稳恒情况，,泊松(场位)方程,若f(x,y,z)=0,Laplace方程,发展（演化）方程,三、静电场的场位方程,物理模型：真空中的电荷分布(x,y,z)，求：电场E(x,y,z),整体考虑：,取定坐标系,任取区域v,物理定律：,1、高斯定律：通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数。,高斯公式,(1),散度积分,2、法拉第定律：静电场绕任意闭路的电动势为0,无旋场一定有势函数,令：,斯托克斯公式,(2),把(2)带入(1),上式为泊松方程（场位方程）,常

8、系数的线性偏微分方程,KdV方程,变系数的线性偏微分方程,非线性偏微分方程,薛定谔波动方程,上面三个方程是物理学中最常遇到的偏微分方程，每一个都描写了多种具体的物理过程，尽管过程的物理背景不同，但其数学表达式完全一致，这三个方程是历史上最早系统研究的方程，也是本课程的重点。,一、通解和特解,1.2 定解问题及其适定性,古典解：如果能找到函数 u，使上面方程在区域V中成为恒(广义解)等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。(其中 必须满足函数，在V内u 的各阶偏导数也连续。),例1：,例2：,通解：m阶偏微分方程含有m个任意函数的解。,特解：不含任意函数或任意常数的解。,通过定解条件确定了解中的任

9、意函数后得到的解。,解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意函数的解。,对于一般偏微分方程，找通解非常困难。根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解常常有意义。,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,二、泛定方程和定解条件,泛定方程：反映系统内部作用导出的偏微分方程。,定解条件：确定运动的制约条件。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,不含初始条件，只含边界条件,A、波动方程的初始条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,初始条件：

10、给出未知函数u及其关于某个自变量t的若干阶偏导数在同一点t=t0的值。,如：k阶的偏微分方程，初始条件即为：,特别地：端点固定在平衡位置。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、波动方程的边界条件,：两端运动已知 x1,x2,：端点受力已知。以左端为例,第类齐次边界条件,如果弦的左端x=x1点受横向外力F1(t)。取微元x1,x1+dx,分析u0方向受力。,第类边界条件,u0方向,忽略一阶无穷小量，令dx趋于0，得边界条件,第类边界条件,第类齐次边界条件,：端点弹性支承,如果弦的左端x=x1点弹性系数为k 的弹簧的支承取微元x1,x1+dx,分析u0方向受力。,u0方向,忽略一阶无穷小量，令

11、dx趋于0，得边界条件,第类边界条件,第类齐次边界条件,综合：,左端点,右端点,记忆：法边界的外法向,特别地：边界温度保持为零（放在冰里）。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,B、热传导方程的边界条件,：边界温度已知,：边界热流密度已知,特别地：边界绝热。,：与外界自由热交换,微元分析法：在边界面上(x,y,z)处取一小微元ds,厚度基本上没有，在t,t+dt内,从物体内部流入面元ds的热量,根据牛顿冷却定律：单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即,热交换系数,外界的温度,从外部流入面元的热量,考虑面元ds的厚度趋于零，即：热量不能在面元上积累。,统一式,非

12、齐次项,2、边界条件描述系统在边界上的状况,C、场位方程的边界条件,：边界上电位已知,：边界上的电荷面密度已知,*边界条件和初始条件的比较,例如：弦振动方程，x1 xx2,给出了边界上的情况,给出同一时刻的情况,常用的：边界接地。,3、衔接条件,有时在研究的物理系统中由于某种原因在某些部分发生了突变，那么在突变点就要给出不同的条件。,例1：一根杆由两段不同材料的杆连接而成，则连接点两边的总振动 需满足不同方程,连接点条件：,例2：静电场中，在两种电介质的交界面S上，电位应连续：,交界面不带自由电荷时，电位移矢量D的法向分量也应连续：,例3：一根长为l的弦，两端固定于x=0和x=l,在距离坐标原

13、点为b的位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有,初始位移如图所示：,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,定解问题的适定性,如果一个定界问题的解是存在、唯一和稳定的，则称此定界问题是适定的。,三、定解问题及其适定性,混合问题(有界弦),解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。,一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。,不适

14、定性,1917年阿达玛曾给出著名例子。初始条件,唯一解，但不稳定。,4 本节重点：利用特征线求通解，然后用定解条件定特解。,2 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。,3 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,1.4 通解法和行波法,1 研究对象：一阶线性偏微分方程，一维波动方程。,一、一阶线性偏微分方程的通解,思路：把偏微分 方程降阶,-右行波,通常，绝大多数的方程不能直接分解降阶，且降阶后也不能积分出通解，通常需要作变量代换，化简为可求解形式。,一阶线性偏微分方程的一般形式：,n=2,方程(1)变为,方

15、程(4)的解,任取的，须保证,法向量,切向量,dx，dy与a，b平行，成比例,整体反过来考虑同样成立。则得定理(1.4.1),常微分方程(4)称为一阶线性偏微分方程(3)的特征方程，其积分 曲线 称为方程(1)的特征曲线。,1、n=2，齐次,讨论：,讨论：,2、n=2，非齐次,右行波解,3、推广，n2,一阶线性偏微分方程的一般形式：,变量代换目的是：使得B中大部分为0，可将方程化简为：,=0,考虑简单的情况(C=F=0)，则一般方程,n-1个一阶常微分方程组，则特征曲线也为n-1个。,作变量代换：,1.3 二阶线性偏微分方程的分类和标准型,一般形式：,1.3.1 特征方程和特征线,考虑两个自变

16、量的情况：u=u(x,y),其中二阶导项系数,为了化简(1.3.5)中的二阶偏导数，若选取(x,y)、(x,y)是一阶线性偏微分方程,的解，则A11A22至少有一个为0。则上式的求解归结为下式求解,式(1.3.2)的特征方程,其中，(1.3.9)式为方程(1.3.2)的特征方程，其积分曲线为方程的特征曲线。,1.3.2 方程的分类、化简和标准型,特征方程(1.3.9)式的解取决于它的判别式,且方程经过变量代换后得到的新方程类型不变，即判别式符号不变。,此时，特征方程可分解为两个一阶常微分方程。设a110.,解得两族特征曲线,作变量代换,则J 0，A120，A11=A22=0。得新方程：,若再作

17、变量代换,可得方程,方程(1.3.12)和(1.3.13)都称为双曲型方程的标准型。,此时，特征方程只能分解为一个一阶常微分方程。设a110.,解得一族特征曲线,作变量代换,则A220，A11=0。且由,新方程为,称方程(1.3.14)为抛物型方程的标准型。,此时，特征方程只能在复数域内分解为两个一阶方程。设a110.,此时不存在实特征线，(1.3.9)的隐式通解为,为避免引入复变量，作代换,则J 0，A12=0，A11=A22 0。可得新方程,称方程(1.3.15)为椭圆型方程的标准型。,二阶线性偏微分方程按照它的判别式可分为三类：,时，方程称为双曲型;,时，方程称为抛物型;,时，方程称为椭

18、圆型;,三类典型方程,例6、求方程的通解,例1.3.1、空气动力学中的特里科米方程，求其标准型。,一维波动方程的定解问题,无界弦的自由振动,无界弦的强迫振动,半无界弦的自由振动,半无界弦的强迫振动,三维波动方程的定解问题,二维波动方程的定解问题,球对称情形,一般情形,球面平均法,行波法,降维法,有限弦的振动问题,1.4.3、波动方程的求解,1、达朗贝尔公式的推导,一维波动方程,称为一维波动方程的行波解，f，g由定解条件给出。,一、行波法,例1.4.6、求无限长弦的自由振动，其数学模型是一维波动方程的初值问题。,则初值问题的解为,此式称为达朗贝尔公式。,稳定性证明,2、达朗贝尔公式的适定性,故只

19、要初始条件的误差足够小，解的误差可控制在一定范围内。即达朗贝尔公式给出的解是稳定解。由此可见，一维波动方程的初值问题是适定的。,结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。,3、达朗贝尔解的物理意义,b.只有初始速度时：,a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波,特征线,特征变换,行波法又叫特征线法,4 相关概念,5、达朗贝尔公式的应用,例1,解：由达朗贝尔公式,(1).无界弦的自由振动,特征边值问题（Goursat问题）,解：通解,(2).无界弦的强迫振动,(3).半无界弦的自由振动,即一端 x=0 固定的振

20、动。,希望能利用达朗贝尔公式来求解,为此，我们作奇延拓，将(x),(x)从x0延拓到x0。再利用达朗贝尔公式求解。,作辅助函数,为了得到半无界问题的解，只须限制,当,时，,当,时，,例,当,当,求三维波动方程的球面对称解,解：由初始条件的球对称性，可未知函数,代入初始条件，即得特解。,发散波,会聚波,线性偏微分方程可以看成是一个线性算符作用在函数上的结果。,u(x,y,z,t),L u=f(x,y,z,t)L u=0,若L u1=0,L u2=0 则L c1u1+c2u2=0,若L u1=f,L u2=0 则L u1+u2=f,即：L c1u1+c2u2=c1Lu1+c2Lu2,1.5 叠加原

21、理和齐次化原理,1.线性叠加原理,(1)有限叠加原理 设满足线性方程（或线性定解条件）那么这些解的线性组合必满足方程（或定解条件）：(2)级数叠加原理 设满足线性方程（或线性定解条件）且级数收敛，并满足算子中出现的偏导数与求和记号交换次序所需要的条件，那么满足线性方程（或定解条件）,(3)积分叠加原理 设满足线性方程（或线性定解条件）其中，x表示自变量组；r为参数组，rV。且积分收敛，并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件，那么满足方程（或定解条件）特别地，当满足齐次方程（或齐次定解条件）时，也满足此齐次方程（或齐次定解条件）。,利用叠加原理将问题进行分解：,(2).无界弦的强迫振

22、动,利用齐次化原理，若 满足：,则：,令：,从而原问题的解为,解：由上面结果,齐次化原理（Duhamel原理）,齐次化原理的证明,需要用到参变量积分的求导,2、齐次化原理,复习：一阶线性常微分方程的通解,1、齐次方程,通解,2、非齐次方程,先求齐次方程的解,将(2)、(3)式代入(1),则，通解,常数变易法,复合函数求导法则,一阶常微分方程的一般形式:F(x,y,y)=0(1)如果一阶常微分方程为:g(y)dy=f(x)dx(2)常微分方程写成一端只含有y的函数和dy,另一端只含有x的函数和dx,那么原方程称为可分离变量的微分方程.把(2)式两端同时积分:g(y)dy=f(x)dx 设G(y)

23、,F(x)分别为g(y),f(x)的原函数,则:G(Y)=F(x)+C(3)隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解.隐式通解:(3)式中含有任意常数,因此(3)式为微分方程(2)的隐式通解.,隐式通解,正交曲面坐标系,平面极坐标（r，）,三维,二维,柱坐标（r，,z）,三维,球坐标（r，,）,其中：,-理想弦的振动方程。,推广 二维、三维波动方程,非齐次,齐次,齐次,非齐次,一般地说，设已知一个函数f1(z)在区域D1中解析，如果在与D1有重叠部分D12的另一区域D2内，存在解析函数f2(z)，且在D12中f1(z)f2(z),则f2(z)称为f1(z)在D2中的解析延拓；同样，f1(z)称为f1(z)在D1中的解析延拓。,定解问题的叠加原理,说明：非齐次线性偏微分方程的定解问题可以分解成几个定解问题的叠加，只要这些定解问题的微分方程与定解条件的线性叠加恰好是原来的微分方程与定解条件就可以。,令T=t-，则,由达朗贝尔公式得：,