偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用.ppt

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1、淘花/百度专用,1,偏微分方程教程第七章 Fourier变换及其应用,淘花/百度专用,2,偏微分方程教程第七章 Fourier变换及其应用,第七章 Fourier变换及其应用 Fourier变换在线性偏微分方程,特别是常系数线性偏微分方程的研究中十分重要.它对求解各种数学物理方程具有普遍意义.这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识及其运算性质.最后利用Fourier变换及其逆变换求解某些典型数学物理方程的定解问题.,淘花/百度专用,3,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,1 Fourier 变换及其性质在学习常微分方程的求解时,我们介绍过Laplace变换,它将一个

2、常系数的线性常微分方程的求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施Laplace变换的逆运算.那么是否有其它形式的积分变换,能将常系数的线性偏微分方程,特别是三类典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们下面将要介绍的Fourier变换,淘花/百度专用,4,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,1.1Fourier变换 定义 7.1 若,则对任意的,积分有意义,我们称它为的Fourier变换,或记为定理 7.1(Fourier积分定理)若,则,(1.1),(1.2),淘花/百度专用,5,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,证：由于,因此含参变量的积分 对一致

3、收敛,且为的连续函数.从而有,(1.3),淘花/百度专用,6,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,现在分别讨论当 时的极限.易知 同理可证另一方面,我们有其中是的连续函数,(1.4),(1.5),淘花/百度专用,7,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,现在任给,首先取,足够大，使得当,时,.其次再固定,取,充分大,由黎曼-勒贝格,(Riemann-Lebesgue)引理,有,此外,当,充分大时,有,将它们代入(1.3)立即可得当,时,定理证毕.,淘花/百度专用,8,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,公式(1.2)称为反演公式.左端的积分表示取C

4、auchy主值.由此所定义的变换称为Fourier逆变换,记为,因此(1.2)亦可写成,即一个属于,的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身,注:在以后应用Fourier变换的反演公式求解问题时,我们先不必深究上述定理的条件是否满足,而是直接应用它导出问题的形式解,然后再通过直接验证,以确定这个形式解就是“真解”.,淘花/百度专用,9,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,性质 7.1(线性性质)若,则对任意常数,性质 7.2(平移性质)若,，则对任意常数a,有,(1.6),(1.7),1.2.基本性质 在运用Fourier变换

5、求解定解问题之前,我们先介绍Fourier变换的一些基本性质.,，有,淘花/百度专用,10,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,性质 7.3(对称性质)若,则,(1.8),以上三条性质的证明均可由Fourier变换及其逆变换的定义直接推出.请读者自己完成.,性质 7.4(微商性质)若,则,(1.9),淘花/百度专用,11,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,证:由假设,知,事实上,由,则,因为,故有,(1.10),又因,由反证法亦知,即(1.10)成立.由(1.10),利用分部积分公式,有,淘花/百度专用,12,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用

6、,推论 7.1 若,则,(1.11),，,注：这个性质表明微商运算经Fourier变换后转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系数的常微分方程简化为函数方程,也可把偏微分方程简化为常微分方程.正由于这个原因,Fourier变换成为解常系数线性偏微分方程的重要工具.,淘花/百度专用,13,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,性质 7.5(乘多项式)若,则,证：由于,故,的连续可微,是,由此即知(1.12)成立.,(1.12),函数,且有,淘花/百度专用,14,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,推论 7.2 若,则,(1.13),性质 7.6(伸缩性质)

7、若,为非零常数,则,(1.14),淘花/百度专用,15,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,证：不失一般性,设,.由定义7.1,有,淘花/百度专用,16,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,性质 7.7(卷积性质)若,则,且有,证：由富比尼(Fubini)定理,有,故,(1.15),(1.16),淘花/百度专用,17,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,再由Fubini定理,性质 7.8(Plancherel定理)设,则,(1.17),淘花/百度专用,18,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,1.3.几个例子,下面我们通过几个例子

8、说明如何利用Fourier变换的定义及基本性质来求一些具体函数的Fourier变换.,例 1 设,求,.,例 2 设,求,.,.,.,淘花/百度专用,19,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,解：由定义7.1,知,例 3 设,求,解：由于,由性质 7.1,性质7.6可得,例 4 求高斯(Gauss)函数,的Fourier变换,.,淘花/百度专用,20,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,对积分,应用Cauchy定理改变积分路径,则有,解：由定义7.1,得,(如图7-1),并令,淘花/百度专用,21,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,图7-1,于

9、是可得,淘花/百度专用,22,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,例 5 设,求,解：由性质7.6,有,淘花/百度专用,23,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,1.4.高维空间的Fourier变换,为了求解高维空间的常系数线性偏微分方程,我们还需介绍高维空间的Fourier变换.,定义 7.2 设,那么积分,有意义,称为,的Fourier变换,记为,.,淘花/百度专用,24,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,定理 7.2 若,则有,其中,表示函数,的Fourier逆变换.,容易证明关于一维Fourier变换的性质7.1-7.7,对于高维Fourier变换仍然成立.此外，根据Fourier变换的定义7.2,我们还有下面的结论:,淘花/百度专用,25,偏微分方程教程 第七章 Fourier变换及其应用,性质 7.9 若,其中,则有,例 6 求函数,的Fourier变换,.,解：利用性质7.9及例5的结果,有,(1.18),