偏导与微分总复习.ppt

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1、1极限与连续2偏导与微分3多元微分学的应用,第九章要点,1极限与连续,2)证明极限不存在：用两种不同的趋近方式得到两个不,3)连续与间断,4)有界闭区域上连续函数的性质,同的极限，则函数在该点的极限不存在,1)求极限,2偏导与微分,2)高阶偏导,1)偏导的定义,的二阶偏导,3)复合函数的偏导,全导数 设函数，,为可微函数，则,复合求导 设函数，,为可微函数，则,4)方向导数与梯度,二元函数的方向导数,三元函数的方向导数,其中 或 为单位向量,梯度,注：梯度方向为方向导数取最大值的方向,或者,(1)微分的定义,5)全微分,全微分,并且,(2)可微的条件：有连续偏导，则 可微，,偏导连续,可微,连

2、续,可偏导,(3)关系,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,6)隐函数、隐函数组求导,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还可求隐函数的,两边对 x 求偏导,同样可得,则,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,1)近似计算,2)几何应用,3多元微分学的应用,几何应用,曲线切线(法平面),曲面切平面(法线),曲线：参数方程情形,切线：,法平面：,一般方程情形,切线：,法平面：,则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：,一般方程 若，,曲面：,面上，则相应的切平面：,法线：,曲面方程：，点 在该曲,3)极值问题,必

3、要性：可导的极值点是驻点,充分性：,则,时，极小值；,时，极大值；,时不能确定；,时 非极值,(1)无条件极值,(2)条件极值,方法：,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,构造Lagrange函数,单条件极值 求函数 在条件 下的,条件极值,解方程组,方法：,解方程组,构造Lagrange函数,两条件极值 求函数 在条件，,下的条件极值,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,例1 求极限,解 令，则,所以 不存在,解,例2 设，,求,解,例3 设，其中 有连续偏导，求,例4 设 由 确定，求,解 令，则,因此,解 由复合函数的导数公式，得,例5 设，,求,在方程组 两端对 求导，得,上式中的第一式乘，第二式乘，两式相减，得,上式中的第一式乘，第二式乘，两式相加，得,同理可得,因此,例6 设 是曲面 在点,向导数,解 令，则,处的外法向量，求 在点 处沿 的方,取外法线方向，故,又，,所以,，故,例7,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,P131 题17,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,