信号与系统卷积分析法.ppt

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1、1,信号与系统(Signal&system)教师：徐昌彪,2005-3-1,电路基础教学部,2,第二章 卷积分析法2.1 冲激函数和冲激响应2.2 任意波形信号的分解和卷积积分2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定2.4 卷积的运算性质2.5 冲激响应的一般计算方法,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,3,2.1 冲激函数与冲激响应2.1.1 冲激函数2.1.2 冲激函数的性质2.1.3 冲激响应,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,(t)=,且,4,2.1.1 冲激函数(1)工程定义,0 t 0 t=0(1),(t),+(t)dt=1,0电路基础教学部,t,2005年3

2、月1日10时14分,5,2.1.1 冲激函数(1)物理意义,i(t),K(t=0),1V,C=1F,uc,i(t)=(t),uc(0-)=0,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,6,2.1.2 冲激函数的性质(1)抽样性质(t)(t)=(0)(t),一般,(t)(t)dt=(0)(t)(t t0)=(t0)(t t0)(t)(t t0)dt=(t0),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,0,7,2.1.2 冲激函数的性质(2),例：求以下各式的值e 2 t(t)(1 e 2 t)(t)(t 2 1)(t 2)(t+2)(t+1),(t)3(t 2)(t+1),2 sin

3、(3 t)(t+1)dt,32,0,e t(t 1)dt,0,5,0,(t 2)(t+2)dt,4,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,t,0,8,2.1.2 冲激函数的性质(3)(t)(t t0)=(t0)(t t0),(t)(t t0)dt=(t0)(t)(t t0)dt=(t0)U(t t0),t 2t1(t)(t t,)dt=(t0)U(t 2 t0)U(t1 t0),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,9,2.1.2 冲激函数的性质(4)(t)与U(t)的关系,(t)=,dU(t)dt,(t t0)=,dU(t t0)dt,tU(t)=(t)dt例：如图所示信

4、号，求 f(t)f(t),tU(t t0)=(t t0)dtf(t),21-1 0 1 2,t,1-1 0,(1)(3),1,2,(1),t,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,t0,10,2.1.2 冲激函数的性质(5)(t)是偶函数(t)的展缩性,(at)=,1|a|,(t),(at t0)=,1|a|,(t)a,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,11,2.1.2 冲激函数的性质(6),例：求以下各式的值e 2 t(t)(1 e 2 t)(1 t)(2t 2 1)(2t 2)(t+2)(2t+1),(t)(1 e 2)(t 1)0.5(t+1)0.75(t+0.5

5、),2 sin(3 t)(2t+1)dt,34,0,e t(2t 1)dt,0.5e 0.5,5,0,(t 2)(2t+2)dt电路基础教学部,0,2005年3月1日10时14分,1 t0 t0,1 t0,t,1 t0 t0,t 2,1 t0 t0 t0,12,2.1.2 冲激函数的性质(7),(t)(at t0)=,()(t)|a|a a,(t)(at t0)dt=|a|(a)(t)(at t0)dt=|a|(a)U(t a)t1(t)(at t0)dt=|a|(a)U(t 2 a)U(t1 a),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,t,13,2.1.2 冲激函数的性质(8)冲激

6、偶函数(t),(t)=,d(t)dt,(t)是奇函数(t)(t)=(0)(t)(0)(t)(t)(t t0)=(t0)(t t0)(t0)(t t0),(t)(t)dt=(0)(t)(t t0)dt=(t0),()(t0)d=(t0)(t t0)(t0)U(t t0),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,3,t,t,14,2.1.2 冲激函数的性质(9),例：求以下各式的值e 2 t(t)(t 2 1)(t 2),(t)2(t)3(t 2)4(t 2),2 sin(3 t)(t 1)dt,()(t0)d,(t0)(t t0)(t0)U(t t0),(at t0),1a|a|电路基础

7、教学部,(t 0)a,2005年3月1日10时14分,15,2.1.3 冲激响应(1)单位冲激响应（Unit impulse response）含义单位冲激函数(t)激励下系统的零状态响应，简称冲激响应，用h(t)表示。,(t)x(t)h(t)的求解直接法间接法,零状态系统h(t)电路基础教学部,h(t)y(t)2005年3月1日10时14分,4,4,16,2.1.3 冲激响应(2)直接法求解h(t)举例,RC,duC(t)dt,+uC(t)=us,R=2,RC,dh(t)dt,+h(t)=(t),us,C=2F,uc,dh(t)dtt 0+,+h(t)=(t),dh(t)dt,+h(t)=0

8、,h(t)=Ke t/4,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,0+,1 t/4,1 t/4,17,2.1.3 冲激响应(3)0+dh(t)0+0+0 4 dt dt+0 h(t)dt=0(t)dt,0+4h(t)|0+0 h(t)dt=1h(t)为有限值h(0+)=1/4,4h(0+)h(0)=1h(0)=0,h(t)=e4,t 0+,h(t)=e U(t)4,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,1 t/4 1 t/4,t/4,18,2.1.3 冲激响应(4)间接求解h(t)举例（针对线性时不变系统）,U(t),rU(t),(t)=对上例,dU(t)dt,h(t)=,d

9、rU(t)dtus,R=2C=2F,uc,rU(t)=(1 e t/4)U(t),h(t)=,drU(t)dt,=(1 e)(t)+e U(t)=e U(t)4 4电路基础教学部2005年3月1日10时14分,19,2.2 任意波形信号的分解和卷积积分2.2.1 任意波形信号的分解卷积积分（Convolution integral）,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,20,2.2.1 任意波形信号的分解(1)如图示,x(t),g(t),L,L,L,1/,0,2,3 4,n,t,/2,0/2 t,x(t),x(n)gn=,(t n),x(t)=lim 0,x(n)gn=,(t n)

10、,d g(t)(t)n g(t n)(t),x(t)=x()(t)d,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,21,2.2.1 任意波形信号的分解(2)x(t)=x()(t)d上式说明了任意波形信号 x(t)可以表示为具有强度为 x()d 的冲激信号 x()d(t)的积分，也就是说，任意波形信号可以分解为连续的冲激信号之和。,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,22,2.2.2 卷积积分(1),对线性时不变系统：,g(t)h(t),x(t)=lim 0,x(n)gn=,(t n)y(t)=lim 0,x(n)h(t n)n=,y(t)=x()h(t)dy(t)=x(t)*h

11、(t)卷积积分,x(t),h(t),y(t)=x(t)*h(t)=x()h(t)d电路基础教学部2005年3月1日10时14分,23,2.2.2 卷积积分(2)例：如图示电路，求零状态响应uC(t)。,解：(1)求h(t),R=1,单位阶跃响应rU(t)=(1 e t)U(t),x(t)=1V,C=1F,uC(t),h(t)=rU(t)=e t U(t)(2)求零状态响应uC(t)=x(t)*h(t)=1*e t U(t)=1 e(t)U(t)dt=e(t)d=1,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,24,2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定2.3.1 卷积的图解2.3.2 卷积积

12、分限的确定,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,25,2.3.1 卷积的图解(1)y(t)=x(t)*h(t)=x()h(t)d按如下步骤进行：（1）改换变量：x(t)x()，h(t)h()（2）折叠：h()h(-)（3）时移：h(-)h(t-)（4）相乘：x()h(t-)（5）积分：x()h(t-)曲线下的面积,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,x(t),x(),26,2.3.1 卷积的图解(2),例：求y(t)=x(t)*h(t)2 h(t),（1）x(t)x()，h(t)h()2 h(),-0.5 0 0.5,t,0.50,1,2,t,-0.5 0 0.5,0.

13、50,1,2,（2）h()h(-)h(-),（3）h(-)h(t-)h(t-),（4）x()h(t-)x()h(t-),-2-1 0,0.5,0.5t-2 t-1 0,t-2 t-1-0.5 0 0.5,t-1-0.5,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,1,t,27,2.3.1 卷积的图解(3),x()h(t-)-0.5 0 0.5-0.5t-10.5,x()h(t-)-0.5 0 0.50.5t-11.5,x()h(t-)-0.5 0 0.5t-20.5,（5）x()h(t-)曲线下的面积,y(t),t-10.5 y(t)=0,-0.5t-10.5,y(t)=t-0.5,0.5

14、t-11.5,y(t)=2.5-t电路基础教学部,0 0.5 1.5 2.52005年3月1日10时14分,28,2.3.1 卷积的图解(4)结论等宽方波卷积的结果是三角波三角波的宽度是方波宽度的2倍三角波的高度是两方波完全重叠时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积不等宽方波卷积的结果是梯形波梯形波上边的宽度是两方波宽度之差梯形波的高度是宽度较小的方波完全包含于宽度较大的方波时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积y(t)=x(t)*h(t)的最小截止横坐标等于x(t)和h(t)的最小截止横坐标相加，y(t)的最大截止横坐标等于x(t)和h(t)的最大截止横坐标相加,电路基础教学部,2005年3月1日1

15、0时14分,29,2.3.1 卷积的图解(5)例：若y(t)=x(t)*h(t)，求y(1),2,x(t),2,h(t),0,2,t,0,4,t,解：依题意作右图示：y(1)=0.5,2,x()h(1-),-3,0,1 2,t,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,30,2.3.1 卷积的图解(6)对上例，请完成y(t)=x(t)*h(t)。x()h(t-)2,0,2,t60t22t44t6,y(t)=0y(t)=0.5t2y(t)=2t-2y(t)=2t-0.5t2+6,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,31,2.3.2 卷积积分限的确定(1)法（一）：通过作图确定积

16、分限，如上面的图解法法（二）：利用阶跃信号确定积分限对上例：x(t)=2U(t)U(t 2)h(t)=0.5tU(t)U(t 4),y(t)=x(t)*h(t)=x()h(t)d,=2U()U(2)0.5(t)U(t)U(t 4)d=U()(t)U(t)d U()(t)U(t 4)d U(2)(t)U(t)d+U(2)(t)U(t 4)d,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,32,2.3.2 卷积积分限的确定(2),等式右端第一项,t 的定义域(上限大于下限),tU()(t)U(t)d=0(t)d U(t)=0.5t 2U(t)等式右端第二项为 U()(t)U(t 4)d,=0,t

17、 4,(t)d U(t 4)=(0.5t 2+8)U(t 4),等式右端第三项为 U(2)(t)U(t)dt=2(t)d U(t 2)=(0.5t 2+2t 2)U(t 2),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,33,2.3.2 卷积积分限的确定(3)等式右端第四项为U(2)(t)U(t 4)d,=2,t 4,(t)d U(t 6)=(0.5t 2 2t 6)U(t 6),从而y(t)=0.5t 2U(t)+(0.5t 2+8)U(t 4)+(0.5t 2+2t 2)U(t 2)+(0.5t 2 2t 6)U(t 6)注意：定义域的确定。,电路基础教学部,2005年3月1日10时1

18、4分,34,2.4 卷积的运算性质(3)2.4.1 含有冲激函数的卷积2.4.2 卷积的运算性质,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,35,2.4.1 含有冲激函数的卷积x(t)*(t)=x(t)x(t)*(t t0)=x(t t0)x(t)*(t)=x(t)x(t)*(t t0)=x(t t0),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,36,2.4.2 卷积的运算性质(1)卷积代数交换律x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配律x(t)*h1(t)+h2(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)结合律x(t)*h1(t)*h2(t)=x(t)*h1(t)*h2(

19、t),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,37,2.4.2 卷积的运算性质(2)卷积微积分设 y(t)=x(t)*h(t)则 y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(t)y(1)(t)=x(1)(t)*h(t)=x(t)*h(1)(t)y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(1)(t)=x(1)(t)*h(t)=x(t)*h(2)(t)=x(2)(t)*h(t)My(i+j)(t)=x(i)(t)*h(j)(t)注意：上述性质成立的条件是：x(t)和h(t)为可积函数。,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,t,38,2.4.2 卷积的运算性质(3)例：求y(t)

20、=x(t)*h(t),2,x(t),0.5,h(t),y(t),-0.5 0 0.5,t,0,1,2,t,1,(2),x(t),0.5,h(-1)(t),0 0.5 1.5-1,2.5,-0.5 0 0.5 t(2),0,1,2,t,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,39,2.5 冲激响应的一般计算方法(1)时域卷积法将激励信号分解为(t)信号之和；x(t)=x()d(t)=x(t)*(t)每一(t)的响应,(t)h(t),(t)h(t),系统的零状态响应：y(t)=x(t)*h(t),x(t),h(t),y(t)=x(t)*h(t)=x()h(t)d电路基础教学部2005年3月

21、1日10时14分,b,c a t,c a t,40,2.5 冲激响应的一般计算方法(2)(1)ay(t)+by(t)=cx(t)ah(t)+bh(t)=c(t)t 0+ah(t)+bh(t)=0 特征根 s=b/a,从而 h(t)=Keh(0)=0,ta,h(0+)=K,又,0,0+,0+ah(t)dt+0 bh(t)dt=c 知 h(0+)=c/a,所以,h(t)=ea,b,b(t 0+)=e U(t)a电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,(*),41,2.5 冲激响应的一般计算方法(3)(2)a2 y(t)+a1 y(t)+a0 y(t)=x(t)a2 h(t)+a1 h(t)

22、+a0 h(t)=(t)t 0+a2 h(t)+a1 h(t)+a0 h(t)=0 特征根 s1,s2从而 h(t)=K 1e s1 t+K 2 e s2 t,又,0,0+,0+0+a2 h(t)dt+0 a1 h(t)dt+0 a0 h(t)dt=1,且 h(t),h(t)不含冲激，为有限值,知,h(0+)=h(0)=0,h(0+)=1/a2,(*),根据式(*)和式(*)即可确定待定系数1，,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,设,则,42,2.5 冲激响应的一般计算方法(4)(3)a2 y(t)+a1 y(t)+a0 y(t)=b1 x(t)+b0 x(t)a2 h(t)+a

23、1 h(t)+a0 h(t)=b1(t)+b0(t)a2 h0(t)+a1 h0(t)+a0 h0(t)=(t)h(t)=b1 h0(t)+b0 h0(t)说明：对高阶微分方程，方法同上。,电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,43,2.5 冲激响应的一般计算方法(5)例：求系统 y(t)+4 y(t)+3 y(t)=x(t)+2 x(t)的 h(t)。解：设 h0(t)+4h0(t)+3h0(t)=(t)t 0+h0(t)+4h0(t)+3h0(t)=0 特征根 s1=-1,s2=3从而 h0(t)=K 1e t+K 2 e 3 t因 h0(0+)=0,h0(0+)=1 知 K 1

24、=0.5,K 2=0.5于是 h0(t)=0.5(e t e 3 t)U(t)所以 h(t)=h0(t)+2h0(t)=0.5(e t+e 3 t)U(t),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,h,44,2.5 冲激响应的一般计算方法(6),例：如图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统,的冲激响应分别为 h1(t)=U(t)，2(t)=U(t 1)。求总的系统的冲激响应 h(t)=?,x(t),h1(t),_,h2(t),y(t),解：根据题意，可得h(t)=(t)*h1(t)(t)*h2(t)=(t)*U(t)(t)*U(t 1)=U(t)*U(t 1)(t)*U(t 1)=(t 1)U(t 1)U(t 1)=(t 2)U(t 1),电路基础教学部,2005年3月1日10时14分,