专题4:韦达定理应用探讨.docx
《专题4:韦达定理应用探讨.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题4:韦达定理应用探讨.docx(32页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、【2013年中考攻略】专题4:韦达定理应用探讨韦达,1540年出生于法国的波亚图,早年学习法律,但他对数学有浓厚的兴趣,常利用业余时间钻研 数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕,带来了代数学理论研究的 重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二 次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。人们为了纪念他在代数学上的功绩,称他为“代数学之父”。韦达定理说的是:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a。0)有二实数根x,x,则x +x = - b,x - x = C。i 2 i 2 a i 2 a这两个式子反映了一元二
2、次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系。其逆命题:如果xx2满 足x +x = - ,x - x =C,那么x,x是一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两个根也成立。12 a 12ai 2韦达定理的应用有一个重要前提,就是一元二次方程必须有解,即根的判别式 =b2-4ac 0。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将 其应用归纳为:不解方程求方程的两根和与两根积;求对称代数式的值;构造一元二次方程; 求方程中待定系数的值;在平面几何中的应用;在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考 的实例探讨其应用。一、不解方程求方程的两根
3、和与两根积:已知一元二次方程,可以直接根据韦达定理求得两根 和与两根积。典型例题:例1: (2012湖北武汉3分)若xx2是一元二次方程x23x+2=0的两根,则x1+x2的值是【】A.2B. 2C. 3D. 1【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=30故选C。例2: ( 2001湖北武汉3分)若xx2是一元二次方程x2+ 4x + 3 = 0的两个根,则xx2的值 是【】A.4.B.3. C, 4. D, 3.【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系。c 3【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系,得x1 - x2 = c
4、 = 3=3。故选B。例3: (2012山东烟台3分)下列一元二次方程两实数根和为-4的是【】A. x2+2x - 4=0 B. x2 - 4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x - 5=0【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为-4,必须方程根的判别式=b2 - 4ac0,且x1+x2= - = - 4。据此逐一作出判断: a-bA. x2+2x - 4=0:=b2 - 4ac=200, x1+x2= - = - 2,所以本选项不合题意;abB. x2 - 4x+4=0:=b2 -
5、4ac=0, x】+x2= - =4,所以本选项不合题意;aC. x2+4x+10=0:=b2 - 4ac= - 280, x】+x2= - = - 4,所以本选项符号题意。a故选D。例4: (2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个 实数根是【】A.-2B. 0 C. 1 D. 2【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系,得x+1=1,解得x=-2。故选A。练习题:1. (2007重庆市3分)已知一元二次方程2x2 3x -1 = 0的两根为x x2,则x*。2.
6、(2005浙江湖州3分)已知一元二次方程x2 + 12x - 7 = 0的两个根为xx2,则x1+x2的值是【】A.-12B. 12C.-7D. 73. (2011广西来宾3分)已知一元二次方程x2+mx - 2=0的两个实数根分别为xx2,则xx2=.4. (2011湖北咸宁3分)若关于x的方程X2 - 2x + m =。的一个根为-1,则另一个根为【】A. -3B. 1C. 1D. 35 (2011云南昆明3分)若x1,x2是一元二次方程2x2 - 7x+4=0的两根,则x1+x2与xx2的值分别是【】7777A、-,-2B、- , 2C、一,2D、一,-22222二、求对称代数式的值:应
7、用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 所谓对称式,即若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变(f(X,y)=f(y,x),则称这个代数式 为完全对称式,如x2+y2,1 + 1等。扩展后,可以视x- y中X与-y对称。x y典型例题:例1: (2012四川攀枝花3分)已知一元二次方程:x2 - 3x-1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+x1x22的值为【】A. - 3B. 3C. - 6D. 6【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。【分析】由一元二次方程:x2-3x-1=0的两个根分别是、x2,根据一元二次方程根与系数的关系得,+x
8、2=3, x1x2=-1,.乂1奴2 + 乂1乂22=乂1乂2 危+乂2)= ( 1) 3= 3。故选 A。例2: (2012山东莱芜3分)已知m、n是方程x2+2&x+1=0的两根,则代数式-Jm2+n2+3mn的值为【】A. 9B. 3C. 3D. 5【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。【分析】,m、n 是方程 x2+2、.J2x+1=0 的两根,.m+n= -22, mn=1。故选C。. % m2 +n2 +3mn=(m+n)2 +mn = *l2、;2 +1=、:8+1=如9=3例3: (2012江苏南通3分)设m、n是一元二次方程x2+3x7 = 0的两个根
9、,则m2+4m+n= 【答案】4。【考点】求代数式的值,一元二次方程的解,一元二次方程根与系数的关系。【分析】.m、n是一元二次方程x2+3x7 = 0的两个根,.*.m 2+3 m7=0,即 m 2+3 m=7; m+n=3。.*.m2+4m+n=(m 2+3 m) + (m+n)=7 3=4。例4 (2012湖北鄂州3分)设土片是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根,且2x1(x2 + 6x2 - 3) + a = 4,【答案】10。【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。【分析】Vx1 x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根,x22+5x23=0, XX2= 3。又V 2x (
10、x2 + 6x 一 3) + a = 4,即 2x (x2 + 5x 一 3 + x ) + a = 4,即 2x (0 + x ) + a = 4。1、22;1、222/2/2乂代2 + a = 4,即 2 (3)+ a = 4 ,解得 a=10。练习题:1. (2012湖南张家界3分)已知m和n是方程2x2 - 5x - 3=0的两根,则-+ =m n2. (2012四川泸州3分)设x , x是一元二次方程x2 - 3x - 1 =0的两个实数根,则x 2 + x 2 + 4x x的121212值为3. (2012山东日照4分)已知xx2是方程2x2+14x16=0的两实数根,那么亳+ 土
11、的值为x1 x24. (2012黑龙江绥化3分)设a, b是方程x2+x2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值为5. (2012黑龙江大庆4分)若方程x2 x-1 = 0的两实根为a、b,求-+ -的值.a b6. (2011湖北荆州、荆门3分)关于x的方程ax2 (3a + 1)x + 2(a +1) = 0有两个不相等的实根xx2, 且有x x x +x = 1 a,则a的值是【】11 22A.1B, 1C. 1 或1D.27. (2011贵州黔东南4分)若a、A、2010B、2011b是一元二次方程x2 2011x +1 = 0的两根,则-+ -的值为【a b八 11C、
12、 2010D、 20118. (2011江苏苏州3分)已知a、b是一元二次方程x2 2x 1 = 0的两个实数根,则代数式(a b)(a + b 2)+ ab 的值等于9. (2011山东德州4分)若x1,x2是方程x 2+ x - 1=0的两个根,则x /+ x 22=.10. (2011广西玉林、防城港6分)已知:xx2是一元二次方程x2-4x +1 = 0的两个实数根.求: (x + x )2 ( + )的值.12 x x三、构造一元二次方程:如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。ab2+b2 - 3a+1 丫典
13、型例题:例 1: (2012湖北随州 4分)设a2 + 2a-1 = 0, b4 -2b2 -1 = 0,且 1 ab耳0,则【答案】-32 o【考点】丰达定理的应用,求代数式的值。【分析】由a2 + 2a-l=0得仕丫虹a j-l=0a a由.b4 -2b2 -1 = 0 得 I 护 I -2b2-1=0,L中为一元二次方程z2 + 2z-1 = 0的两根。 a由丰达定理,得甘=一Laa.(ab2+b2 -3a+lY=b2+- + -3 =,2-1-3,J=-32OL a a 【点评】本题的关禳是构造一元二次方程营+ 2e-1 = 0,利用丰达定理求解;难点是将疽+ 2a-l=0/1 v 形
14、成-a/2-1=0;易错点是忽视条件1 曲蚌口,而把a,b2看作方程z2 + 2z-1 = 0的两根来求解口 a例2: (2012四川内江12分)如果方程X2 + px + q = 0的两个根是x ,x,那么x + x = p,x .x = q,请12121 2根据以上结论,解决下列问题:(1)已知关于X的方程工2 + mx + n = 0,(n。0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;(2)已知a、一一 一 一 一 一一 一 一 a bb 满足 a 2 15a 5= 0, b 2 15 b 5= 0,求一+ 的值;ba(3)已知a、b、c满足a + b + c =
15、0, abc = 16求正数c的最小值。【答案】解:设关于x的方程X2+ mX + n = 0,( n = 0)的两根为气,X2,则有:X + X =-m,x .x = n,且由已知所求方程的两根为4,上1212X X11 x + x-m1111 + = 2 = ,=.。xx x xnx x x x n121 2121 2-m所求方程为x2 -1 x + =0,即 nx2 + mx +1 = 0(n。0)。(2)V a、b 满足a2 - 15a -5 = 0,b2 - 15b-5 = 0,b 是方程x2 15x 5 = 0 的两根。. a + b = 15,ab = 5 。b a 2 + b
16、2(a + b)2 - 2ab (a + b)2152=2 =-2 = -47。-5a. + =b a ababab(3)V a + b + c = 0,abc = 16 且c 0. a + b = -c,ab =。ca、b是一元二次方程x2 -(-c)x +16 = 0(c 0)的两个根,c代简,得 cx2 + c2x +16 = 0(c 0)。又.此方程必有实数根,.此方程的 2 0,即(c2) - 4 c16 0 , c (c3 - 43 ) 0。又. c 0c3 - 43 0。c 4。.正数c的最小值为4。.【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。一11-m1 11
17、【分析】(1)设方程x2 + mx + n = 0,(n。0)的两根为x、x2,得出一 + =,再根据1212这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。(2)根据 a、b 满足a2 - 15a 一5 = 0,b2 - 15b 一5 = 0,得出 a、b 是一元二次方程x2 -15x一5 = 0的两个根,由a + b = 15,ab = -5,即可求出a + b的值。ba(3)根据a + b + c = 0,abc = 16,得出 a + b = -c,ab = ,a、b 是一元二次方程cx2 + c2x +16 = 0 的 c两个根,再根据A0,即可求出c的最小值。例3:
18、 (2012四川宜宾8分)某市政府为落实保障性住房政策,2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设,并规划投入资金逐年增加,到2013年底,将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设.(1) 求到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程);(2) 设(1)中方程的两根分别为x1,x2,且mx12 - 4m2x1x2+mx22的值为12,求m的值.【答案】解:(1)设到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率为x,根据题意得:3+3 (x+1) +3 (x+1) 2=10.5。(2)由(1)得,x2+3x - 0.5=0,由一兀二次方程根与系数的关系得,乂+乂2= -
19、3, 乂1乂2= - 0.5。又.侦乂2 - 4m2x 1 x2+mx22=12 即 m 危+乂2)2 - 2乂乂2- 小奴处=12,即 m9+1 - 4m2 (- 0.5) =12,即 m2+5m - 6=0,解得,m= - 6 或 m=1。【考点】一元二次方程的应用,一元二次方程根与系数的关系。【分析】(1)方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为:2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元,把相关数值代入求得合适的解即可。(2)由(1)得到的一元二次方程,根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程,解之即得m的值。例4: (2012贵州
20、黔西南14分)问题:已知方程x2+x -1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已 知方程根的2倍。解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=y2. v.(y2 y把x=代入已知方程,得 + - 1=02k2)2化简,得:y2+2y - 4=0故所求方程为y2 +2y - 4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求: 把所求方程化成一般形式)(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为: (2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)有两个不等于零的实数根,求一个
21、一元二次方程,使 它的根分别是已知方程的倒数。【答案】解:(1) y2y2=0。(2)设所求方程的根为y,则y= 1 (x病),于是x = 1 (界0)。xy1 . 一、一_ (1 V 1把 x = 一 代入方程ax2+bx+c=0,得a - +b 一 +c=0,yky)y去分母,得a+by+cy2=0。若c=0,有ax2+bx=0,可得有一个解为x=0,与已知不符,不符合题意。Ac0o所求方程为 cy2+by+a=0 (c0)。【考点】一元二次方程的应用。【分析】(1)设所求方程的根为y,则y=-x所以x=-yo把x=y代入已知方程,得y2y2=0。(2)根据所给的材料,设所求方程的根为y,



- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 定理 应用 探讨

链接地址:https://www.31ppt.com/p-4933185.html