专题2：待定系数法应用探讨.docx

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1、【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数（或参数）来表示 这样的结果，这些待确定的系数（或参数），称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定 这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学 教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法； 消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如“已知x2-3=（1-A）x2 +Bx+C，

2、求 A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比 较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，-3）在正比例函 数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，-3）代入即可得到k的 值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已.b2, a - bb2a - b 知一=?，求的值”，解答此题，只需设定一=：=k，则a=3k，b=

3、2k，代入即可求解。这a3a + ba3a + b里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析 式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组

4、），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例（2011云南玉溪3分）若x2 + 6x + k是完全平方式，则k=【】A. 9B.9C. 9D. 3【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设 x2 + 6x + k= (x+A)2，则 x2 + 6x + k=x2 + 2Ax + A，2A=6n A2=kA=3故选A。k=9。练习题:1.（2012江苏南通3分）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于【】A. 64B. 48C. 32D. 162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2 - kx+9是一个完全平方式，则k的值是_3.（2011江苏连云港3分）计算（x+2） 2的

5、结果为x 2+ox+4，则“口”中的数为【 】A. 2B.2C.-4D.44.（2011湖北荆州3分）将代数式x2 + 4x-1化成（x + p）2 + q的形式为【】A. (x - 2)2 + 3B.(x + 2)2 - 4C.(x + 2)2 - 5D,(x + 4)2 + 4二 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题:b5例（2012四川凉山4分）已知一=汀，C.B.【答案】D。【考点】【分析】比例的性质。b 55，.设一=k a 13 a 13a - b 13k - 5k

6、 8k 4=一。 a + b 13k + 5k 18k 9练习题：，则 b=5k故选D。a ba=13k，把a，b的值代入，得，5a-2bab1. （2012北京市5分）已知号=M *。求代数式（a+2b）盘2b） （a 一2b）的值。2. （2011四川巴中3分）若一 =- 2a - b 3贝0 =。a三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3-6x2+11x-6，3x2+ 5xy- 2y2+ x + 9y-4，目前这类考题很少，但不失为一种有效

7、的解题方法)。典型例题：例1 (2012湖北黄石3分)分解因式：x2 + x - 2 =【答案】(x1) (x+2)。【考点】因式分解。【分析】设 x2 + x - 2 = (x + A)(x + B),/ xz x (、A + B=1 / A= -1A=2(x + A)(x + B)= x2 + (A + B)x + A -B , ，解得s或A - B= - 2B=2B= -1x2 + x - 2= (x - 1)(x + 2)。注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例 2：分解因式：3x2 + 5xy 2y2 + x + 9y 4。【答案】(3x y + 4 )(x

8、+ 2y-1)。【考点】因式分解。【分析】 3x2 + 5xy - 2y2 = (3x - y)(x + 2y),.可设 3x2 + 5xy - 2y2 + x + 9y - 4 = (3x - y + a)(x + 2y + b)。*.* (3x - y + a)(x + 2y + b)= 3x2 + 5xy - 2y2 + (a + 3b)x + (2a -b)y + ab ,3x2 + 5xy - 2y2 + x + 9y - 4 = 3x2 + 5xy - 2y2 + (a + 3b)x + (2a - b)y + ab。a + 3b=1 比较两边系数，得2a - b=9。ab= -

9、4 联立，得a=4, b=1。代入式适合。3x2 + 5xy - 2y2 = (3x - y + 4)(x + 2y -1)。练习题：1. (2012四川南充3分)分解因式：x2- 4x -12 =。2. (2012山东潍坊3分)分解因式：x34x212x=。3. (2011贵州黔东南4分)分解因式：必-2x-8 =。四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法， 求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与 常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程， 求出待

10、定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比 例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可y=kx，y=kx+b，y = k的形式x（其中k、b为待定系数，且k尹0）。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c（a、 b、c为待定系数），顶点式y=a （xh） 2+k（a、k、h为待定系数），交点式y=a （x x1）（xx2）（ a、x1、x2为 待定系数）三类形式。根据题意（可以是语句形式，也可以是图象形式），确定出a、b、c、k、x1、x2等待定 系数，求出函数解析式。典型例题：例1 （2012江苏南

11、通3分）无论a取什么实数，点P（a1，2a3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的 点，则（2mn+3）2的佰等于.【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】.由于a不论为何值此点均在直线l上，.令 a=0，则 P1 （ 1，3）；再令 a=1，则 P2 （0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b （k0），-k + b = -3 b = -1(k = 2b = -1直线l的解析式为:y=2x 1。.Q （m， n）是直线 l 上的点，.2m1=n，即 2mn=1。 （2mn+3）2= （1+3） 2=16。例2 （2012山东聊城7分）如图，直线A

12、B与x轴交于点A （1，0），与y轴交于点B （0，-2）.（1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S. =2,求点C的坐标./ BOC【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,.直线 AB 过点 A (1, 0)、点 B (0,-2),k = 2b= - 2k + b = 0 “口b= - 2 ,解得直线AB的解析式为y=2x - 2。(2)设点C的坐标为(x, y),/ S庙 =2,. 1 -2x=2，解得 x=2。BOC2y=2x2 - 2=2。.点C的坐标是(2, 2)。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)设直线AB的解析式

13、为y=kx+b，将点A (1, 0)、点B (0,-2)分别代入解析式即可组成 方程组，从而得到AB的解析式。(2)设点C的坐标为(x, y),根据三角形面积公式以及Saboc=2求出C的横坐标，再代入直线 即可求出y的值，从而得到其坐标。例3 (2012湖南岳阳8分)游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程，排水- -清洗-灌水”中水量y (m3)与时间t (min)之间的函数关系式.(1) 根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y (m3)与时间t (min)的函数解析式；(2) 问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：(1)排水阶段：设解析式为：y=kt+b

14、,b=150025k+b=1000图象经过(0, 1500), (25, 1000),解得：灯-20。.排水阶段解析式为：y=-20t+1500。b=1500清洗阶段：y=0。灌水阶段：设解析式为：y=at+c,图象经过(195, 1000), (95, 0),195a+c=100095a+c=0a=10解得：oA灌水阶段解析式为：y=10t - 950ob= 950（2）V排水阶段解析式为：y=-20t+1500,A令 y=0,即 0= - 20t+1500，解得：t=75。A排水时间为75分钟。清洗时间为：95 - 75=20 （分钟），.根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3,A1

15、500=10t- 950,解得：t=245。故灌水所用时间为:245 - 95=150 （分钟）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水 阶段解析式即可。（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例4 （2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（-1, 2）,则它的解析式是【】1221A . y =B. y =C.y =-D. y =2xxxx【答案】B o【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 k【分析】设

16、反比例函数图象设解析式为y =-,x. k . 2将点（-1, 2）代入y =得，k= - 1x2= - 2。则函数解析式为y =。故选B。xx例5 （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF =2, EF=3,（1）求抛物线所对应的函数解析式;（2）求ABD的面积；将 AOC绕点C逆时针旋转90,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上？请说明理由.【答案】解：(1)7四边形OCEF为矩形，OF=2, EF=3,.点C的坐标为(0, 3),点E的

17、坐标为(2, 3).把 x=0, y=3； x=2, y=3 分别代入 y=x2+bx+c,得b=2c=3c=3，解得4+2b+c=3.,抛物线所对应的函数解析式为y=x2+2x+3。(2)7y=x2+2x+3=(x1)2+4,.抛物线的顶点坐标为D(1, 4)0.AABD中AB边的高为4。令 y=0,得一x2+2x+3=0,解得 x1= 1, x2=3。.AB=3(1)=4。.ABD 的面积=-ix4x4=8o2(3)如图，AAOC绕点C逆时针旋转90, CO落在CE所在的直线上，由(1) (2)可知OA=1, OC=3,.点A对应点G的坐标为(3, 2)o.当 x=3 时，y=32+2x3

18、 + 3 = 02,.点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的 性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函 数的解析式。(2) 根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可 求出 ABD的面积。(3) 根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行 判定即可。例6 (2012江苏无锡2分)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A (2, 1),且经过点B (1, 0),则抛物

19、线的 函数关系式为 .【答案】 y= - x2+4x - 3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】.抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A (2, 1),可设抛物线的解析式为y=a (x - 2) 2+1。又.抛物线 y=a (x-2) 2+1 经过点 B (1, 0),(1, 0)满足 y=a (x - 2) 2+1。,将点 B (1, 0)代入 y=a (x - 2) 2 得，0=a (1-2) 2 即 a=-1。.,抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2+1,即y=-x2+4x-3。例7 (2012浙江宁波12分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A (-

20、 1, 0), B (2, 0),交y 轴于C (0,-2),过A, C画直线.(1) 求二次函数的解析式； (2)点P在x轴正半轴上，且PA=PC,求OP的长;(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.若M在y轴右侧，且 CHMsAOC (点C与点A对应)，求点M的坐标;若。M的半径为4 5，求点M的坐标.【答案】解：(1).二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A (- 1, 0), B (2, 0)设该二次函数的解析式为：y=a (x+1) (x - 2),将 x=0, y= - 2代入，得-2=a (0+1) (0 - 2)，解得 a=1。抛物线的解析式为

21、y= (x+1) (x - 2),即y=x2-x-2。(2) 设 OP=x，则 PC=PA=x+1,在RtAPOC中，由勾股定理，得x2+22= (x+1) 2,3 一 3解得，x=,即 OP=。 22(3) /chmsaoc,.zmch=zcao0(i)如图1,当H在点C下方时，.NMCH=/CAO,CMx 轴，.yM= - 2。.*.x2 - x - 2= - 2,解得 x=0 (舍去)，乂2=1。.M(1,-2)。(ii)如图2,当H在点C上方时，.NMCH=/CAO,PA=PC。由（2）得，M，为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM，的解析式为y=kx - 2,把P （ 3 , 0）

22、的坐标代入，得3k-2=0,解得k=4。2 234.y= X - 2。3.47由 3 x - 2=x2 - x - 2,解得 X=0 （舍去），又2=3。e 4 7 10E匕时 y= x 2=。109）。3 397 .M（，34在x轴上取一点D，如图3，过点D作DEL AC于点E，使DE=m、；5，在 RtAAOC 中，AC= vAO2+CO2 =（12+22 二寸5。VZCOA=ZDEA=90，ZOAC=ZEAD，/.AAEDAAOC，4 v 5.AD DE 叫 AD 5、5 如.=，即一=，解得 AD=2。AC OC（52.D （1，0）或 D （- 3，0）。过点D作DMAC，交抛物线于

23、M，如图 则直线DM的解析式为：y= - 2x+2或y= - 2x - 6。当-2x - 6=x2 - x - 2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，. 一 ,，一-1 而-1+. -17当-2x+2=x2 - x - 2 时，即 x2+x - 4=0，解得 x =， x =。1222.点M的坐标为（-匚17，3+7商） 或（土旦7，3 -而）。22【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求 出a的值，即可得

24、到二次函数解析式。（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在RtAPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根据相似三角形对应角相等可得ZMCH=ZCAO,然后分（i）点H在点C下方时，利用 同位角相等，两直线平行判定CMx轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2,代入抛物 线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点， 求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。在x轴上取一点D，过点D作DEXAC于点E，可以证明人。和左AOC相似，根据相 似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点

25、D在点A的左边与右边两种情况求出OD 的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DMAC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立 求解即可得到点M的坐标。练习题：1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本 y （万元/吨）与生产数量x （吨）的函数关系式如图所示.（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量.（注：总成本=每吨的成本x生产数量）2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数y= -|x + 2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作

26、等腰RtABC，ZBAC=90.求过B、C两点直线的解析式.3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【】A. y=400 b. yC. y。D. y=x4xx400x4. （2012广东佛山8分）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;y随x变化的部分数值规律如下表:x-10123y03430 有序数对(一1, 0), (1, 4), (3, 0)满足 y=ax2+bx+c； 已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图).(2)直接写出二次函数y=ax

27、2+bx+c的三个性质.5. (2012山东莱芜12分)如图，顶点坐标为(2, -1)的抛物线y=ax2+bx+c(a手与y轴交于点C(0, 3), 与x轴交于A、B两点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、人。，求左ACD的面积；(3) 点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使 得以D、E、F为顶点的三角形与 BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由6. (2012山东潍坊11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2, O)、B(2, 0)、C(0,-1)三点，过 坐标原点O的直线y=

28、kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线、 -(1)求抛物线对应二次函数的解析式;(2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切;（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段MN的长.五.待定系数法在求解规律性问题中的应用：近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推 法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 a =a1+（n-1）d = dn + a1-d （其中a1为首项，d为公差，n为正整数）

29、，若将n看成自变量，an看成函数， 则an是关于n的一次函数；若一列数a,a2，.an满足a -a 1= kn + b （其中k,b为常数），则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项an = an2 + bn + c是关 于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以 用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题：例1 （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份189619001904 2012届

30、数123 n表中n的值等于.【答案】30。【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为y=kx+b。将（1，1896），（2，1900）代入，得k+b=1896“口，解得 2k+b=1900k=4b=1892y=4x+1892。检验：（3, 1904）符合。.奥运会的届数与年份之间的关系为y=4x+1892。当 y=2012 时，2012=4x+1892，解得 x=30。/. n=30o例2 （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则 第n个图案中阴影小三角形的个数 一一.Tcx7

31、cTr7 1X 17。）（4）【答案】4n-2o【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影 小三角形10个，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），。设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b，将（1，2），（2, 6）代入，得k+b=2A /2k+b=6，解得k=4b= - 2y=4x-2。检验：（3, 10）符合。.阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x-2。.,.当 x= n 时，y=4n 一 2。.第n个图案中阴影小三角形的个数是4n-2。例3 （2012湖

32、南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3, 9, 19, 33,.就是一 个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2, 4, 6, 8, 10就是一个等差数列，它的公差为2.如 果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数 列1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，.，这是一个公 差为4的等差数列，所以，数列1，3, 9, 19, 33,.是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列1，

33、3, 7, 13,.的第五个数应是 .【答案】21o【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】由已知，二阶等差数列1, 3, 7, 13,与次序之间形成数对（1, 1）,（2, 3）,（3, 7）, （4, 13）。设二阶等差数列与次序之间的关系为y=ax2+bx+c ,a+b+c=1a=1将(1, 1), (2, 3),(3, 7)代入，得 4a+2b+c=3，解得i b= -1。9a+3b+c=7c=1y=x2 x+1。检验：(4,13）符合。.二阶等差数列与次序之间的关系为y=x2-x+1。.当 x= 5 时，y=21。二阶等差数列1, 3, 7,13,的第五个数应是

34、21。例4： （2012贵州桐仁4分）如图，第个图形中一共有1个平行四近形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是（1口 Sj Bm Eli / / -图 图 图 图.A. 54 B. 110 C. 19 D. 109【答案】Da【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。【分析】由图知，图中平行四边形的个数与被序之间形成数对（I, 1），5）, （3, 11）, -o设平行四边形的个数与次序之间的关系为y=ax2+bx+c ,解得b=l c=-la+b+c=l将(L 1), (2, 5), (3, 11)代入，得.4a+2b+c=5

35、 , 9si-3b+c=ll二平行四边形的个数与次序之间的关系为户？+工-1。二当 x= 10 时，y=l 09 第个图形中平行四边形的个数是1叫。故选IX练习题:1. （2012山东济宁6分）问题情境: 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子?第1.个图形第2个图形第3个图形第*图形建立模型:有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函 数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解.解决问题: 根据以上步骤，请你解答“问题情境”.2. （201

36、2江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部 分小正方形的个数是.4. （2012青海省2分）观察下列一组图形:它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有5. （2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:（1）第5个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由.六.待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对 应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对

37、于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待 定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题：FDD2AE6例1 （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，/A=600,将纸片折叠，点A、D分别落在A、D 处，且AD经过B，EF为折痕，当DF 1 CD时，|的值为【】【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长DC与AD，交于点M，.在菱形纸片ABCD中，/A=60AZDCB=ZA=60，ABCD。AAfBDrB DrAZD=180-ZA=120。根据折叠的性质，可得/ADF=/D=120,

38、./FDM=180-/ADF=60。VD,FCD,AZD,FM=90,ZM=90-ZFD,M=30OVZBCM=180-ZBCD=120,.ZCBM=180-ZBCM-ZM=30o.ZCBM=ZMo.BC=CM。设 CF=x, DF=DF=y, 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+yoFM=CM+CF=2x+y, 在 RtADfFM 中，tan/MmanaOD = y =2 ,. x -y。FM 2x + y 32.CD = I =奇。故选AoAB 2 例2 （2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果 =-,BC 3那么tan/DCF的佰是 .【答

39、案】g o2矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。/D = 90。,【考点】翻折变换（折叠问题），翻折对称的性质 【分析】.四边形ABCD是矩形，AB = CD,.将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，CF=BC,AB 2CD 2、几=一 ,. 一 =一 o.设 CD = 2x, CF=3x,BC 3CF 3DF= %CF2 - CD2 = J5x o.tan/DCF=塑=垂=2 oCD 2x 2例3 （2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana=,*/ = ?，根据上述角的余切定义，解下列问题：

40、角a的对边 BC(1) ctan30=（2）如图，已知tanA=；，其中/A为锐角，试求ctanA的值.4【答案】解：(1) ,/RtAABC 中，06=30% .,.BC=iABJ2ABO/. ac = 7ab2 - bc2 = Jab2 -1 ab2 =号AC手朋厂 ctan30= = 4=0 o 巳。1AB2【专点】新定义，含3F角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】（1）根据誓角的直角三角形的性质和勾股定理求出BC和AC与AB的关系，根据余切求解即可。3 根据tanA=-,求出BC和AC,根据余切求解即可。 4例4 （2012江苏镇江11分）等边 ABC的边长为2

41、, P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接3应些=竺=1BC 3a 3.tanA=-4二设 BC=3a, ACM a, W AB=5 aoAP,以AP为边向两侧作等边AAPD和等边 APE，分别与边AB、AC交于点M、N （如图1）。（1）求证：AM=AN； (2)设 BP=x。3若，BM= ，求x的值;8记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H （如图2），当x取何值时，/BAD=15。？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：(1)证明：ABCA

42、PD和AAPE都是等边三角形，Z.AD=AP,ZDAP=ZBAC=60o,ZADM=ZAPN=60ooAZDAM=ZPANo.ADM丝APN (ASA),AM=ANoBM BP(2)易证 BPMsCAP,.=，CP CA3,? BN= 3 , AC=2, CP=2x,.一=-，即 4x2 8x+3=0。82 x 2解得x=L或x=3 o22四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。/ADMAPN,-SADM=SAAPNSAAPM + SAADM = SAADP, , S 四边形 AMPN = SAAPM + SAANP 如图，过点P作PSXAB于点S,过点D作DTLAP于点

43、T,则点T是AP的中点。在 RtBPS 中，./P=600, BP=x, /.PS=BPsin6003x, BS=BPcos600= x。22.AB=2,.AS=ABBC=2 k21 2(S3 . AP = ASH乎=2二x +：x 我2x+4I 2 J. S= - AP-DT = - AP*AP=WaP2 oaadp 2224.S = S四边形AMPN = SAADP = f AP2 = f (2 2x+4)= f (x -1)2 + 343(0 x 2)。当x=1时，S的最小值为& 3 o4连接PG,设DE交AP于点Oo若 ZBAD=150, /DAP =600,.ZPAG =450 o/ APD和 APE都是等边三角形，.AD=DP=AP=PE=EAo .四边形ADPE是菱形。 DO垂直平分APo. GP=AG/APG =ZPAG =45)。Z.ZPGA =900。设 BG=t,在 RtABPG 中，/B=600,BP=2t, PG=3t。 AG=PG= v3t。.3t+t=2，解得 t=：3 1 .BP=2t=2 t3 2。.当 BP= 2 云-2 时，/BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。.四边形 ADPE 是菱形，AOLDE,/ADO=/AEH=300。./BAD=150