专题25 参变分离法解决导数问题.docx

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1、专题25参变分离法解决导数问题一、单选题1.已知函数f (x)=ex-b + ax (a, b e R)，且 f (0) = L 当 x 0 时，f (x) xcos(x -1)恒成立，则 a 的取值范围为()A. 0,+ooB. (1 -e, +8)C. (-8,e)D. (e, +8)【答案】B【分析】由f(0)= e-b =1,可得b = 0，从而f(x) = ex + ax，从而当x 0时，a cos(x -1)-竺恒成立，构造函x数s(x)=竺,x G(0, +8)，可得(x) . =s(1)= e，结合x = 1时，cos(x-1)取得最大值1，从而cos(x-1)的最大值为1-e

2、，只需a 1-e即可.x【详解】由题意，f(0)= e-b =1，解得b = 0，则 f (x) = ex + axe x则当 x 0 时，ex + ax xcos(x 1)，即 a cos(x 1)恒成立，x令 s (x )=二 xe(0, +8)，则 s，(x)= xx 2当xe(0,1)时，s，(x)0所以s(x)在0,1上是减函数，在L+oo是增函数， s (x )min = s (1)= e，又因为当x = 1时，cos(x-1)取得最大值1，所以当x =1时，cos(x-1)-竺取得最大值1-ex所以a 1 -e .故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是

3、将原不等式转化为a cos(x-1)-竺，进而求出 xcos(X-1)-二的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. X2.若函数f (x) = xlnx + ac没有极值点，则实数a的取值范围是()r 1)-,+8r1)r 11r1 )A.B.0,-C.-8 ,D.-,0le Jke Jk e _ke J【答案】C【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解【详解】由题意可得，ff(x) = 1 + lnX + ac = 0没有零点， 或者有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)，1 + ln x即-a =没有交

4、点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.ex/、 1 + ln x八令 g ( x) =，X 0ex1 i 1-ln x -1ex则 g(X)=二令 h(x) = - - ln x -1 则 h(X)在(0, + )上单调递减且 h (1) = 0 X所以当 0 X 0，g(x) 0，g (x)单调递增，当 X 1 时，h(X) v 0，g(x) 1即a -.e e故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值（取值范围）常用的方法：（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角

5、坐标系中画出函数 的图象，利用数形结合的方法求解.3.若函数f（x）=x2 + 4x+blnx在（0,村）上是减函数，则b的取值范围是（）A. (-8,-2B. (-8,-2)C. (-2, +8)D. -2, +8)【答案】A【分析】f （X） = - x 2 + 4 x + b In x在（0, +8）上是减函数等价于f（x） 0在（0,斗8）上恒成立，利用分离参数求解即可.【详解】 f （x） = - x 2 + 4 x + b In x在（0,斗8）上是减函数，所以f（x） 0在（0,斗8）上恒成立，即- bf （x） = -2x + 4 + V 0，即 b -2， b -2故选：A.

6、【点睛】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题利用单 调性求参数的范围的常见方法：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的利用导数转化为不等式f(x)0恒成立问题求参数范围.4.已知函数f (x) = ex-e + x-e ( e为自然对数的底数)， g (x ) = ln x - ax - ea + 4 . 若存在实数x1, x2,使得f (x1)= g(x2)=l,且1 / e，则实数a的最大值为 iA.兰B.C.-2ee

7、 2 + ee【答案】C【分析】)D. 1根据f s1可求得e 。2,利用*)=1得到a=导，将问题转化为心)=宇xee,e2的最大值的求解问题，利用导数求得h(x技 从而求得结果.【详解】f (e) = e0 + e - e = 1， x = e又1=-1nx在e, e2上均为减函数，xey = In x 2 在 e, e2 上单调递减，. y= 1 - 1n e 2 = -2 0，xJ max即h (x) 0)，设g (x)= 坐三(x0)，将问题等价于y = a与g (x)在 Xx(。，+ 8)有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数g (x )的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结

8、合的思想可得选项.【详解】令 f (x)= 0，即 xe-c -j_ = 0，解得 a = 2ln x (x 0 )，设 g (x )= 2ln x (x 0 )xxx所以f (x)在(，+ s)有两个零点等价于y = a与g (x)在(。，+ 8)有两个交点.因为g (x )= 2 (1 - ln x ) = 0 (x 0 ) 得x = e，所以g (x)在(0，e)上单调递增，在(e，+ 8)上单调递减， x 2所以 g (x) = g (e)= e .如图所示，画出g (x)的大致图象。结合图象可知，当0 a Q恒成立，所以g(x)在1, +8)上单调递增，又g=Q 所以当 x G 1,

9、1)时，g (x) V Q，则 f x) V Q ；当 x G 1,+8)时，g (x) Q，则 f (x) Q 所以f (x)在1,1)上单调递减，在1, +8)上单调递增，h11、4 +2 2ln2 2,9 ln29 ln2所以 f (x)min= f (1) = 1，又 f (2)= 5(4 + T)= 15 + T-+ 22七 9ln2 -所以，实数k的取值范围为1,仍+- .故选：B【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象 的交点个数使问题得以解决，属于难题.7.若函数f (x)= 2x + sin x cos x + a

10、cos x在r上单调递增，则实数a的取值范围是()A. -1,1B. -1,3C. -3,3D. -3厂d【答案】A【分析】求导 f(x)= 3 2sin2 x a sin x，由题意可得 f (x ) 0 恒成立，即为 3 - 2sin2 x - a sin x 0，设t = sinx(1 t 1)，即 2t2+at -3 0，分t = 0，0 t 1，-1 t 0 恒成立， 即为 3 - 2sin 2 x - a sin x 0设t = sinx(-1 t 1)，即 2t2+at-3 0当t = 0时，不等式显然成立；当0t 1时，a 一-2t，由y =-一2t在(。，1上单调递减，可得t

11、 =】时，y = -2t取得最小值1，可 ttt得a 1一 3 _33 一当-1 t -2t，由y = - 2t在-10上单调递减，可得t = -1时，y = - 2t取得最小值-1 ttt可得a -1综上可得实数a的取值范围是-11 故选：A.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.，一一一 1 一、一 -8.若关于x的不等式(】+2) XMX豚Mm在区间，e (e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最ee(e - 2)D.e(3 - e)1 2e B. e(e +1)C.大值是()A.- 1【答案】D

12、【分析】先对(a + 2)x x2 + aln x化简，a(x - In x) x2 - 2x，用导数判断x-Inx在x e i,e的符号为正，可转 ex 2 2 x1x 2 2 x化为a x lnx，在x e e，e有解，设/(x) = x lnx，利用导数求函数f(x)的最大值/(x)max，则a f (x)max，即实数a的最大值为f (x)max.【详解】由(a + 2)x x2 + a In x，得 a(x - In x) u(2) = 4 2ln 2 0e一 1 一-、_1、1 - 2e-e2-2e故 f(x)在,1)递减，在(1,e递增，又 f ( ) = 0ee e + e 2

13、e 1e2 2ee2 2e故 f (x)= f (e)=，故 a 0xex 2 2 x1即由 a(x-Inx) x2 -2x，得a 0，e为自然对数的底数).若存在x0 (。, + 8)，使得f(xg(x)0，则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.r 1、0，-C.r 1 0，-D.r 1)O,二l e Jl e 2 Jl e3j【答案】C【分析】证明出当x 0时f (x ) 0，由题意可得出女 0使得g (x) 0，即a 0可求得实数a的取值范围.【详解】当x 0时，f (x) =ex 一 x 一 1则 f，(x)=ex -1 0所以，函数y = f (x)在(0,村)上单调递增，f(x

14、) f(0)= 0由题意可知，3x 0使得g (x ) ，即a 0，则a 0,0 a e 2J 1 因此，实数a的取值范围是0，.V e 2 7故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题10.已知函数f (x) = ex + ax 3，其中a eR，若对于任意的x，x e1，+3)，且x x，都有x f (x )121221-x1f (x2 ) a (x1 x2)成立， 则a的取值范围是()A. 3, +3)B. 2, +8)C. (03D. (3,2 【答案】C 【分析】恒成立，构造函数h(x)二虫空，求导x由已知将原不等式等价

15、于f (气)+ a 0在1，+3)上恒成立，运用参变分离可得选项.x 2【详解】口对于任意的 x，x e1，+3)，且 x x，都有 x f (x ) x f (x ) a (x x )成立， 1212211212口不等式等价为虫比恒成立，xx令h(x) = f (x) + a，则不等式等价为当x x时，h (x ) 0 在1，+3)上恒成立；xx 2 xex ex + 3 a 0 ；即 a 3 0 g(x)在1，+3)上为增函数；口 g(x) g(1) = 0 ； 3 aN0口 a的取值范围是(一8,3.故选：C.【点睛】本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关

16、键，属于较难题.11.已知函数f Q)=兰+ (m + 1)ex + 2(m c R)有两个极值点，则实数m的取值范围为()2-1八-1 八(1A._，0B. 1 ，1C. 8，_ e _e )e)【答案】BD.(0”)【分析】求导f，(x)= x + (m + 1)ex，将问题转化为f ,(x)= x + (m + 1)ex有两个不同的零点，也即是关于x的方程m-1 =-有两个不同的解，构造函数g (x)=-，求导g (x)= 1X，分析导函数取得正负的区间， exexex从而得函数g (x)的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数f (x)的定义域为R，f (x)= x + (m + 1

17、)ex，因为函数f (x)有两个极值点，所以扩()=x + (m + 1)ex有两个不同的零点，, x故关于X的万程m 1 =有两个不同的解，ex令 g (x)=-，则 g (x )= 1x，当 x 6(3,1)时， exexg (x) 0，当 x c (1,+8)时，g (x) 0, g (x) 0 g (1)=，故 0 m 1 ee1即一1 一一 m 1.e故选：B.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.12.已知函数f (x)= x3 -ax在(-1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A. (1,+8)B.

18、 3,+8)C.(-8,1D. (-8,3 【答案】B【分析】根据f 3) v 0在(-1,1)上恒成立求解.【详解】 f (x) = x3 ax， f (x) = 3x2 a又函数f (x)在(-1,1)上单调递减，口 f(x) = 3x2 - a 3x2在(-1,1)上恒成立.当 x e (-1,1)时，0 3x3 3所以实数a的取值范围是3, +8)故选：B.【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当f 3) 03 e D)时，则函数f (x)在区间D上单调递减；而当函数f (x)在区间D上单调递减时，则有f(x) O,xl),令g(x)=,贝iJg(W=

19、,InxInx(In x)2gM 。得g(x)在(6+8)单调递增，g3) x时，不等式 恒成立，则实数。的21X尤21取值范围为()A.(8,gC.(aIFD.e-00,2【答案】D【分析】可知函数y = g(尤)在区间(, *)上单调递由题意得出Xj G) Q对任意的工。恒成立，利用参变量分离法可得出a ,利用导数求得 2x函数在区间(o,*)上的最小值，由此可求得实数。的取值范围. 2x【详解】函数fx)= -ax的定义域为(。,中)，当x时，尹(气)()恒成立, X21X21即xf(x)xf(x ),构造函数g(x) = xf(x) = e-r-ax2 贝Jg(x ) 0对任意的x 0

20、恒成立，.a 0，则a h(x七姑hh(x)= (x-1)，当 0 x 1 时，h(x) 1时，h(x)0，此时函数y = h(x)单调递增.所以，函数y = h的最小值为h(x). = h(1)=，.a 2.r e 1因此，实数a的取值范围是s，w .V2 -故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查 分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题A.C./ (x)在x =、; e处取得极大值2e f (2) f (-7) f ( 3)成对于函数f (x)=学，下列说法正确的是()B. f (x)有两个不同的零点D.若f

21、(x) 2 x 22【答案】ACD 【分析】A.先求函数的导数f (x)= 1 为*，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B.根据函数的解析式，直接求函数的零点；C.根据函数的单调区间，直接比较大小；D.不等式转化为k f(x)+ 在(，Q上恒1 ln x +1成立，即求函数g(x) = f (x)+=的最大值.x 2x 2【详解】1 - 2ln x由已知，f(x)=:，令 f(X) 0 得0 v X V、je，令 f(x) V 0 得XLe，故 f (x)在(02上单调递增，在(2 E单调递减，所以f (x)的极大值为2= 土A正确;又令f (x) = 0得InX = 0，即x = 1，f

22、(x)只有1个零点，3不正确；即f (x)+ V k在(0, +8)上恒成立，设，令 g(x) V 0 得 x e-1，故 g(x)x e 2函数在(e, +8上单调递减，因为2 寸兀 f3 ye，所以f(2)v f Ct)v f G)，故C正确;若f (x)vk-在(0,中)上恒成立 X 2g(X) = f (X)+1 = 5x2x22ln x 1g，=，令 g (x) 0 得 0在(0 e-2)上单调递增，在(e-2 +8)单调递减，所以g(X)= g(e一2) = e，k max22故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，

23、考查学生的逻辑推 理能力，是一道中档题.16.关于函数f(x) = aex cos x，x g (n, n) 下列说法正确的是()A. 当a = 1时，f (x)在x = 0处的切线方程为V = xB. 若函数f (x)在(n,兀)上恰有一个极值，则a = 0C. 对任意a 0，f (x) 0恒成立D. 当a = 1时，f (x)在(n,兀)上恰有2个零点【答案】ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和 利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数 来解决零点个数问题，即可判断D

24、选项.【详解】 解：对于A,当3 = 1 时，/G)=ex-cosx, xe(-7i,7i),所以f（O）=eo-cos0=0,故切点为（0, 0）, 则fG)=s+sinx,所以f(o)=eo+sin。=1,故切线斜率为 1, 所以fG）在x = 0处的切线方程为：y-0 = lx（x-0）,即 = x,故a 正确;对于B,-COSXx e (-71,71),则 /(%)= +sinx若函数fG）在（-兀，兀）上恰有一个极值，即fG）=。在（-兀，冗）上恰有一个解, 令广（、）=。， 艮 aex + sin x =0在（-缶兀）上恰有一个解,则q =二业在（-兀,兀）上恰有一个解，ex即y

25、= a与gG）=观三的图象在（兀，兀）上恰有一个交点，ex,（ sin x - cos x（g lx）=, xek-7i,7ij,ex令g，G）=o,解得：七=_牙，当U ，兀时，g W0 ,当xe时，g UJ0,极小值为g，=W_ 0恒成立，(n, n)上，f (x) =aex cos x 0 恒成立，(n, n )上，cos x恒成立，1 cos x ) 即。 k ex )maxcos x sin x cos x设h(x)=， xe(n,n)，贝ijh (x)=ex，x e(n, n)令 h(x )=0兀解得：x1 =3兀x =24(x) 0丑、hf(x ) 0h (x)在1 n 3n A

26、k 4 0口e4h (丸)=上，h (丸)=e兀e兀cos x史所以hG）=竺2在x g （-n，兀）上的最大值为h，_七=二 0 , 保（4）_jtv2所以a 时，正e 4在xG(-n,n)上，f (x)= aex -cosx0恒成立，至即当a 二 时，f （x） 0才恒成立，正e 4所以对任意a 0，f （x） 0不恒成立，故C不正确;对于D，当a = 1 时，f(x) = ex-cosx，xg(n,n) 令 f (x )= 0，则 f (x)= ex - cos x = 0，即 e x = cos x作出函数y = ex和J = cosx的图象，可知在xg（兀,兀）内，两个图象恰有两个交

27、点，则f （x）在（-缶兀）上恰有2个零点，故D正确.故选：ABD.【点睛】 本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新 函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想 三、解答题17.已知函数/ (x) = a + ln x - ax, 且f (x ) m (x -1)恒成立，求 m 的最 大值.【答案】(1) 1 ； (2) 3.【分析】(1)由条件可得x =1是f (x)的极大值点，从而f(1)= 0，可得答案.(2)由条件h(x)= x + xlnx，根据条件可得m V x + xlnx对任意的x

28、1恒成立，令x 一 1g (x)= x+x m x (x 1)，求出g (x)的导函数，得出g (x)单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案 x 一 1【详解】(1)解：f(x)的定义域是(0, +3)因为f (1)= 0，f (x) 0恒成立，所以x = 1是f (x)的极大值点，所以f(1)=0因为 f，(x)=1 - a，所以 f，(1)=1 - a = 0，所以 a = 1 x(2)依题意得，h(x)= x + xlnx，h(x)m(x-1) x + x ln x m(x -1)因为x 1，所以m V x + x Yx对任意的x 1恒成立，x 一 1x + xlnx(v)_ x-ln

29、x一2令 g (x)= x一 (x 1)，则 g (x)= (x-1)2令s(x)= x-lnx-2(x 1)，则s*x) = 1 - = x_1 0 xx所以函数s (x)在(1,+3)上单调递增.因为s(3)= 1-ln3 V 0，s(4)= 2-ln4 0所以方程s (x)= 0在(1，+3)上存在唯一的实数根x0，且x0 e(3,4)则 s(x )= x -Inx -2 = 0000所以lnx = x -2， 当 1 x x 时，s (x) 0，即 g ,(x )x 时，s (x ) 0，即 g (x)0,所以函数g(x)= x+x二x在(1,x )上单调递减，在(x , +8)上单调递增.x 一 100所以 g (x) = g (x )=七1 + ：xo) min 0 x 10把口代入得，g(x0)=0x 1 0所以 m -1.【分析】 (1)求