专题14 闭合线框模型.docx
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1、14,闭合线框模型(2)2在非匀强磁场中的运动(i)导体切割磁感线的有效长度不一定是导体两端连线的长度,在大小相同的非匀强磁场中可以是导体在垂直 磁感线上切割的长度之和.(ii)在方向相同的非匀强磁场中,矩形线框切割磁感线产生的电动势等于在垂直于运动方向上两边产生的电 动势的差值.数值上(iii)在磁场随空间变化时,从磁通量变化角度与从切割磁感线角度处理电磁感应效果相同,但不能重复考虑.例8.如图所示,很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上,在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场。磁棒外套 有一个质量均匀的圆形线圈,质量为m,半径为R电阻为,线圈所在磁场处的磁感应强度为8。让线圈 从磁棒上端由静止释放沿
2、磁棒下落,经一段时间与水平面相碰并反弹,线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒 下落,这样线圈会不断地与水平面相碰下去,直到停留在水平面上。已知第一次碰后反弹上升的时间为t1, 下落的时间为t2,重力加速度为g,不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响。求:例8题图 (1)线圈第一次下落过程中的最大速度。m(2)第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电量0 (3)线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q存mvmgj mgt _ m2gr _ mgtm2g2r1【答案 Wifj 一腿(2)一 q仃 / 及 一片云(3天( +1 ) 一飞mg2(t +1 )2m 2mB
3、R 2 R2lBR 8 兀 3 B 3 R 3 2kBR4兀 2 b 2 R 2 1 2 21 2【解析】(1)线圈第一次下落过程中有E = B x 2兀Rumg - BI x 2兀 R = ma可知线圈做加速度减小的加速运动,a=0时,速度最大,代入求得:mgr4 丸 2 B 2 R 2m(2)反弓单后上升的过程中某一时刻,由牛顿运动定律得:mg + El X. 2 成=ma则:ZM=z8成晔祯R另解:对环上升过程应用动量定理有-mgt 一 BI x 2兀 R x t = 0 - mvq It故 1mv mgt m 2 gr mgt2BR 2bR - 8 兀 3 B 3 R 3 2kBR(3
4、)反弹后上升的过程中某一时刻,由牛顿运动定律得:八2兀RBu mg + Brx 2 兀R ma在一段微小时间Z内,速度增量为Au aZ,线圈上升高度为h uAt则线圈可上升的最大高度h为:h 桅 Ah (ma - mg )At4 兀 2 R 2 B 2m 2 gr 2mgrt16 兀 4 B 4 R 44 兀 2 R 2 B 2线圈到达最高点后,下落过程中的某一时刻,由牛顿运动定律得:八2兀RBu mg - Brma在一段微小时间At内,速度增量为Au- aAt,线圈下降高度为Ah uAt则线圈第二次下降到水平面时的速度为uu-翥z m4兀 2B2R2、 mgI r Ja /、 mgrA g(
5、t1 + t2) 一4兀 2B2R2在一段微小时间*内,速度增量为Au = 口也,通过线圈截面电量为& =成本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失:Q 1 mu 2 -1 mu 2 1 m2 m 22-m 2 g 2 r ,、 1,、化简得:Q =-(t +1 ) mg2(t +1 )24 兀 2 B 2 R 2 i 22 i 2B 2(2kR )2 V另解:在反弹后上升的过程中,由动量定理有一 mgti ti = 0 - mvmB 2(2kR )2 布八在下降过程中,仍由动量定理有mgt -t = mv - 0对第二次反弹后的上升与下降的整个过程由能量守恒有Q = 1 mV2 1 mV22
6、 m 2其中vt = v t2mgr4兀2 B 2 R 2可解得m2 g2 r /、 1/、(t +t ) mg2(t +t )24 兀 2 B 2 R 212212例9.如图所示,竖直平平面内有一边长为L、质量为m,电阻为R的正方形线框在竖直向下的匀强重力场 和水平方向的磁场组成的复合场以初速度v0水平抛出。磁场方向与线框平面垂直,磁场的磁感应强度随竖 直向下的z轴按B=B0+kz的规律均匀增大。已知重力加速度为g。求:例9题图(1)线框竖直方向速度为v1时,线框中瞬时电流的大小;(2)线框在复合场中运动的最大电功率;(3)若线框从开始抛出到瞬时速度大小达到v2所经历的时间为t,那么线框在时
7、间t内的总位移大小为多 少。【答案,= 1 P= J 2 =罕竺(3些W土竺2 + v212R max Rmzk 2 L4k 4 L0【解析】(1)运动的整个过程中因线框的两条竖直边所在处磁场情况相同,故线框在水平方向上的分运动引 起的总感应电动势为零.在竖直方向上的总感应电动势为e - (B + kz) Lv01B + k (z L)Lv kL v.e kL v故线框中瞬时电流的大小为i = = R R(:)由线框在复合场中的速度最大时重力与磁场力平衡得mg = (B. -BAIL = =-RR_ mgR由能量关系得线框在复合场中运动的最大电功率与重方功率相等(3) 线框从抛出到速度v2过程



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