专题08 导数压轴题.docx

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1、导数章节知识全归纳专题08导数压轴题之构造函数和同构异构(详述版)一.考试趋势分析:由于该内容在高考内容中考试频率相对比较低，然而它却在我们平时考试或是诊断型 考试中出现又较高，并且该内容属于高中数学里面导数的基本考试题型之一，基本上尖子生 里面的基础题，又是一般学生里面的压轴题，所以老师你觉得讲还是不讲呢？针对这个情况， 作者进行了多年研究和分析，这个内容一定要详细讲述，并且结合技巧性让学生能够熟练掌 握，优生几秒钟，一般学生几分钟就可以完成该题解答，是设计这个专题的核心目的！二.所用知识内容：1.导数八大基本求导公式:C = 0; (C为常数)(sin x) = cos x ；(ex) =

2、 ex;(ln x)=-；x2.常见构造：(J=nxn-i;(cos x) = - sin x ；(ax) = ax In a ；(l o g x )= 1- log e和与积联系：f (x) + xf(x)，构造xf (x)；2xf (x) + x2 f(x)，构造 x2 f (x)；3 f (x) + xf(x)，构造 x3 f (x)； nf(x) + xf(x)，构造 xnf(x) ； f(x) + f(x)，构造 exf(x) .等等.减法与商联系：如xf(x)- f (x) 0，构造F(x)=四) xxf(x) - 2 f (x) 0，构造 F(x) = fx ； x 2xf(x)

3、 - nf (x) 0，构造 F(x) = fx .xnf (x) - f (x)，构造 F(x) = 0 , f (x) - 2 f (x)，构造e xF (x)=也，e2 xf (x) - nf (x)，构造 F(x) = /(，enx3.同构异构方法：1. 顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数2. 同位同构: 加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； 局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式， 再构造同构体系中的亲戚函数即可； 差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.三.导数

4、构造函数典型题型：1. 构造函数之和差构造：例：1.已知定义在R上的函数f (x)满足f(2)=20，且f (x)的导函数f 6x2 + 2，则不等式f (x)2x3+2x的解集为()A. I x -2B. I x 2C. x| x 2D. I x 2【答案】B 【分析】令函数g (x )= f (x )-2x3 2x，求导，结合题意，可(x)的单调性，又g(2) = 0,则 原不等式等价于g (x) g(2)， 根据g (x)的单调性，即可得答案.【详解】令函数g (x )= f (x )-2x3 -2x，则 g(x)= f(x)-6x2 -2 0，所以g (x)在R上单调递增.因为g (2

5、)= f(2)-2x23-2x2 = 0，所以原不等式等价于g (x ) 0 = g (2)，所以所求不等式的解集为I x 2.故选：B2.定义在(0,村)上的函数f (x)满足矿(x)T0, f(4)=2ln2，则不等式f (ex) x的解集为()A.(0,2ln2)b.(-8,2ln2)c.(2ln2, +8)d.(1,2ln2)【答案】B 【分析】构造函数g (x)= f (x)-lnx，x e(0, +8)，先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不等式为g(ex ) g (4)，根据单调性解不等式即可.【详解】设 g (x)= f (x)-In x, x e(0, +3)，

6、则 g，(尤)=广(尤)_ 1 = (x)T x故g(x)在(0, +3)上单调递增，g(4)= f(4)-ln4 = 2ln2-2ln2 = 0,不等式 f (ex )vx，即 f (ex )- ln ex 0，即 g (ex ) g (4 )，根据单调性知 0 ex 4 , 即心 4 =伽4，得x ln4，即 x x- 2021 的解集为()A. (2021, +3) b.【2021, +3)C. (3,2021】D. (-3,2021)【答案】C【分析】利用f(x)v1构造函数g(x)，即可得到函数g(x)的单调性，再将所解不等式转化为用g(x)表达的抽象函数不等式而得解.【详解】 因

7、f(x)v1，即 f(x)-10，令 g (x) = f (x) - x ，则 g (x) x- 2021o g (2x -1011) + (2x -1011) - g (x +1010) + (x +1010) x - 2021o g (2 x -1011) + 2x -1011 - g (x +1010) - x -1010 x - 2021o g (2 x -1011) g (x +1010)由 g (x)在 R 上单调递减得 2x -1011 x +1010 o x 2f(x)，则下列不等式成立的是().A. 20212 f (2022) 20222 f(2021)b . 20212

8、f (2022) 2022f (2021)D. 2021f (2022)。，知g( x)=匕8在(0,中)上为 X 2x 3x 2增函数，进而由g(2022) g(20221)即可判断.【详解】令 g (x)=巫，则 g，(X) =x2 f，(x) - 2 xf (x) = xf，(x) - 2 f (x)x 2x 4x 3因为在(0,)上的导函数为矿(x)2f (x)，所以在(0, +)上gf(x) 0，即g(x) =fx)在(0,2 )上为增函数.x2所以 g(2022) g(2021) n f(2022) f(2021)，即 20212 f (2022) 20222 f(2021). 2

9、022220212故选：A.2.已知定义在R上的偶函数f (x)，其导函数为f f(x)，若xf (x) - 2f (x) 0，f (-3) = 1，则不等式也 0可知，需构造函数g (x)=丑, x 2利用导函数判断函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性、奇偶性来解题，当x 0时，f (x) 1/、 1 八 f (x) 1,、 1即2，g (x) ，当 x ，g (x) .x299x299【详解】构造函数 g (x)=也，g (x) = x f( x)- 2 f (x)= f( x)-2 f (x),x 2x 4x 3当 x 0 时，xf(x) 2f (x) 0，故 g (x) 0，

10、g(x)在(0, +8)上单调递增，又f(x)为偶函数，y 为偶函数，x 2所以g (x) = (X)为偶函数，在(-8,0)单调递减. x2( 1f (-3) =1 ,则 f =1，g(-3) = g = =-;329当x0时，即料9，g(x) 1 = g(3)，所以 x G (0,3)；当x9，g 1 =g(-3)，所以xG(-8,-3).综上所述，x G (-8,-3) D (0,3).故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当x 0时，当x0时两种情况，因为两边同时除以x要考虑其正负.3.定义在R上的连续函数f (%)的导函数为f (X，且cos xf

11、 (x) (cos x + sin x) f (x)成立， 则下列各式一定成立的是()A. f (0) =0B. f (0) 0d. f 仁卜 012 7【答案】c【分析】/、 cos x - f (x),/、八 /、，兀)八设g (x) =，由条件可得g(x) 0，可判断选项D. 212 7【详解】由题可得 cos xf (x) - sin xf (x) cos xf (x)，所以(cos xf (x) cos xf (x)，/、 cos x - f (x)(cos xf (x)- cos xf (x) c设 g (x) =-则 g(x) =- g - g(兀)可得 f (0) 0-，12

12、7e 兀所以f (0) 0，f (兀) 0，所以选项A B错误，选项C正确.把 X =-代入 cos xf (x) 0,所以选项 D 错误2、故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，判断函数单调性判断函数值的符号，解答本题的关键是根据 / 、 cos x - f (x).J /-)八 ，十一 题意构造函数g(x)=上飞，由条件得出其单调性，根据对 = 0，判断选项，属exV 2 J于难题.变式：1.已知定义在0,-的函数f (x)的导函数为f x)，且满足V 2 Jf，(x)sinx- f (x)cosx 0成立，则下列不等式成立的是()B.C.D.【答案】B构造函数s(x) = f()

13、， sin x【分析】 求导后可确定其单调性，利用单调性比较大小可判断各选项.【详解】/、f (x)口、f(x)sin x - f (x)cos x 八 /、，八-)设s (x)=云则s (x)=布3兀兀sm sin 63即面（6） f （勺，B正确;f乌) 兀兀sin sin 43即.2f (9石(9, C错;f -的正负不确定V 3 J因此十2f g与辛f RV 3 72 V 3 J大小不确定，D不能判断.故选：B.【点睛】f （x），4关键点点睛：本题考查比较大小问题，解题关键是构造新函数g （x）=,由导数确定其sin x单调性，从而可比较函数值大小.变式：2。已知函数fG）的定义域为

14、（,+3），且满足：（1）fG）,f（x） 2xf （x） 3f ,（x），则祟的取值范围是（） f （2）A. (,e-i)B. (e-3, +3)C. (e-3,e-i)D. (e-3,e)【答案】C 【分析】根据题意构造函数g（x）=空与h（ x）=fx），利用二者的单调性即可得到结果. e 3xx2g(x)=业 n g，(x) = f(x)ex2 2也x)ex2 = f(x) 2x (x)v 0(ex2)2g (x)在(0, +8 )上单调递减，g g(2) n 四) 匹) n 4) e-3， f (2)f(x)/、广(x)e：x2-2xf(x)e3x2广(x)-2xf(x)3 -i

15、x2e 3kh (x)=里 n h(x)=-A=3 0/ x2f (1) v 虫 n 旦 v ei fe 3h (x)在(0, +8)上单调递增，h(1)v h n 1e 3故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般:(1)条件含有f(x)+r(x)，就构造 g (x )= exf (x),(2)若了 (x)-f(x)，就构造 g (x)= fx ,ex2 f(x)+f (x)，就构造 g (x)=e2xf (x)，(4) 2 f (x)-广(x)就构造 g (x)= f(x)，等e2 x便于给出导数时联想构造函数.变式：3.定义在R上的函数f (x)满

16、足f (x) 1 - f (x)，f(0)= 6,则不等式f (x) 1 +旦ex(e为自然对数的底数)的解集为(A.(0, +8)B.(5, +8)C. (8,0)项5,+8)D. (-8,0)【答案】A【分析】设g(x) = exf(x)-ex,由已知得g3)的单调性,不等式化为g3)g(。)，由单调性得结 论.【详解】设 go)=cf3)因为 fG)ifG),所以g3) = c(f(x) + f3)公=c(f3) + f3)i)0,所以幺是r上的增函数,g(O) = eof(0) 刽=5不等式 f (x)l + 可化为c5,即 g(x)g(O),所以 x0.ex故选：A.【点睛】关键点点

17、睛：本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数g(),然后由单调性得结论变式：4.设函数广G)是奇函数f G) (xeR )的导函数，当尤。时，lnx-ff(x)-/(x),且f(l)。，则使得(x2-9)f G) 0时，f(x)V0，x 0，据此可求出使得2 9 )f(x) 0成立的x 的取值范围.【详解】令 g =f 血 x，则 g f(x) = f f(x) - In x + - f (x) 0，x所以g (x)在(0，+3)上为递减函数，所以当 0 x g (1) = f(1)ln1=。，又 ln x 0，所以 f (x) 1 时，g (x) 0，所以 f (x) 0，所以当 x G

18、 (0,1) (1,+3)时，f (x) 0，又 f (1) 0 时，f(x)0，因为f (x)为奇函数，所以x 0，所以C2 -9)f(x)g|f()900或-x 2 9 0，Jx(-3或) 3 J-3 x 0或 I x 3 或3 x 0时，f (x) 0是解题关键.变式：5.定义在R上的奇函数f (x)的图象连续不断，其导函数为f，(x)，对任意正实数x 恒有 xf(x) 2 f (-x)，若 g(x)= x2f (x)，则不等式 g (og3 (jc 2 -1)+ g (-1) 2f (-x)=-2f (x)，得 g (x)为 x e R 上的增函数，再由 g (og3 (x2 -1)+

19、 g (-1) v 0 得 g (og3 (x2 - 1)v g (1)， 利用单调性可得答案.【详解】因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (-x)= -f (x)，所以当 x e R 时，有 g (- x )= x 2f (- x )=- x 2f (x )=- g (x )， 所以g (x)为奇函数，且对于正实数x， 有 xf ,(x) 2f (-x) = -2f (x)，即 xf (x)+ 2f (x) 0，所以 g r(x)= 2 xf (x )+ x 2f，(x )= x 2 f (x )+ xf，(x ) 0所以g (x)= x2f (x)在x 0是增函数，又因为g (x)

20、为奇函数，所以g (x)为x e R上的增函数，由 g (og3 (x2 1)+ g (一1) 0 得 g (og3 (x2 一1) -g (-1)= g (1)，所以log3 (x2 -1) 1，即 0 x2-1 3，解得-2 x -1 或1 x 0例：1.已知函数 f (x) = xex， g(x) = 2xln2x，若 f (气)大值为()1A. 一e 24B.e 2C.2 D.- e【答案】D【分析】首先由2叩2 x2=ein22 - ln 2 x = tx1 -ex1 =t，再结合函数函数f (x)= x-ex的图象可in t 2ln t2ln t知，气=m2x2，这样转化打=一厂，

21、利用导数求函数h(t)=丁 的最大值.1 2由题意得，xexi = t, 2x2 ln2x2 = t，即 2x ln2x =。点吃-In2x = t, 令函数 f(x)= x-ex，则 f(x) = (1+ x)ex,所以，x -1 时，f (x) 0，f (x )在(-1, +8)上单调递增，又当x e (3,0)时，f (x)0，作函数f (x) = xex的图象如图所示.由图可知，当， 0时，f(x)=，有唯一解，故x1=ln2%，且I0,t 0,则 h (t)=2 (1 ln t)12ln t 2ln t 2ln t2ln t=.设 h(t)=xx2x ln2xtt1 222令h (t

22、) = 0解得e所以h(t)在(0, e)上单调递增，在(e, +8)上单调递减， h(t) 0,只有一个零点，所以xi=ln x2，这样后面的问题迎刃 而解.2.已知函数f (x)=，g (x) =xe-x.若存在 (0, +8)，x2 e R 使得f (%)= g(x2)= k(k 0)成立， 则% j ek的最大值为()I xJA. e2B. eC.D.【答案】C【分析】由题意可知， g (x )= f Ox)，由 f (%)= g (x2)= k (k 0)可得出 0气 1，x2 。对Vxg(o,i)恒成立，所以，函 X2数y =)在区间(o,D上单调递增，同理可知，函数 = gG)在

23、区间(-旧。)上单调递增，.*./(% ) = gG )= f(ex2),贝ij x = ex2,二 % = % = g(x )= *，贝i| i ek =kek,i 2ix 。吃 2I x iv i 7构造函数 h(k)=k2ek,其中* 0,则 ”(k)=(k2 + 2k)ek =k(k + 2)ek.当k。，此时函数y = h(k)单调递增；当一2k = h(k)单调递减.所以，h(k) =h(-2)= .max。2故选：c.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一 定的难度.变式：1.设实数X 0,若对任意xe(0,+oo),不等式-ln

24、Xx0恒成立，则人的取值A范围是()A. 0X - B. 0X e-l C. 0X e D. 0 X f(x ), 0000要使题设不等式恒成立，即/(X ) = -lnX-lnx 2。成立，构造 o Ao1g(*)= ： 21n%-*利用导数研究其单调性确定g(%冷的区间，进而求人的范围. 0【详解】令/W = -InXx,只需要xe(0,+oo)j2f(x)0恒成立，KZ?|=且入0,fx) = + 0,即f，3)在xe(0,+oc)上单调递增，. lim 扩(x) = -co , lim f(x) = +oo , xo+xt+go/. 3x g(0,+oo),使广3) =。，即冗= 00

25、o/.)时，fx) 0 , y(x)单调递增;pxpx, 、1 故只需 f (x) f (x ) = V-In人X =生-lnX-Inx 0，令g(七)=丁一2】n x -x , 0 X 0 X00 x 0001 g( x0) = -( + 1)2 0 恒成立，可知X = x0e% 6 (0,e.故选：C【点睛】 关键点点睛：利用导数研究f (x)的单调性并确定极小值点范围，根据f f(x0) = 0有X= xex0，结合f f(x)构造新函数，求f (x ) 0成立时金的区间，进而求参数范 0000变式：2.设k0围.若存在正实数x，使得不等式log x-k - 2奴-1 0成立，则k的最大

26、值为 41A.-e ln 2ln2 B. eeC，ln2ln2DE【答案】A 【分析】由题意可得睑)x，可令2k = a则log x ax成立，由J = ax和y=logx互为反函数，可得图象关于直线V = x对称，可得x = ax = log x有解，通过取对数和构造函数法， a求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值.【详解】不等式 log x - 2 2kx-i 0 ,4L11所以一log x 2 2kx 0 ,222 1. 八 即为log X 2kx ,22可令22 = a,则log x ax成立，a由j=ax和y=log x互为反函数，可得图象关于直线y =x对称， a可得x =

27、ax = log x有解，a则 Inx = xlna，即Ina =性，xInx 可得y =- x导数为y=上丝，x 2可得x e时，函数y递减，0 v x v e时，函数J递增，则x = e时，y =竺取得最大值-， xe可得即有lna -，所以ln22 -，ee即2的最大值为去- 故选：A变式：3.已知是方程xsex-4 + 2ln x - 4 = 0的一个根，则+ 2ln尤的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【分析】根据题意变形得e3inx+x-4 + 3ln x + x 一 4 = einx + ln x ,进而构造函数f (x) = ex + x ,由函数 的单调性得3

28、ln x + x - 4 =ln x，即 x = e47，进而 e4-x0 + 2ln x0 = x0 + 2ln x0 = 4 .【详解】解：x3ex-4 + 2ln x - 4 = 0 n e3ln x+x-4 + 3ln x + x - 4 = ln x + x = elnx + ln x设 f (x) = ex + x ， f (x) = ex +1 0 恒成立，故 f (x)单调递增，由 f (3ln x + x-4) = f (lnx)得3ln x + x-4 = lnx，所以 * _ /一 x e 2所以 e4一x0 + 2ln x = x + 2ln x = 4故选：B.【点睛

29、】 本题考查导数同构求解函数值，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题本题解题的关键在于根据同构式整理得e3lnx+x-4 + 3ln x + x - 4 = elnx + ln x，进而构造函数f （x） = ex + x，同构研究函数单调性得3ln x + x 4 = ln x，即x = e；，进而求解.J x + 1）n e x变式：4.已知关于x的不等式x +1 ln x在（，杵）上恒成立，则实数人的取值范围为（）A.r 1)-,+3B. (e, +3)C.f 1)0,一I e JI e J【答案】AD.(0, e)【分析】不等式整理为(办+ 1)ln所(x + 1)lnx，构造函数

30、f (x)=(x + 1)lnx ,求导函数判断原函数单调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值.【详解】由 J注1)x inx，得(exx + 1)ln热x (x + 1)lnx，构造函数 f (x)=(x + 1)lnx， x +1则 f (eXx) f (x)fr(x)= lnx +1 + -，f (x)=1 - = 1，xx x2x 2当 x e (0,1)时，f(x) 0，当 x e (1, +3)时，f(x) 0,所以 f (x )在(0, +3)上单调递增， min得 eXx x， X x ln x， X lnx在(0,+3 )上恒成立，x设 g (x)=lnx，g(x)=些，xx当 x e(0,e)时，g，(x) 0，g (x)单调增，当 x e(e, +3)时，g(x) ?【点睛】此题为导数运用综合题，关键在于构造恰当的函数，通过其导函数判断单调性，确定最值