概率论与数理统计教程(茆诗松).ppt

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1、1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其确定方法1.3 概率的性质1.4 条件概率1.5 独立性,第一章 随机事件与概率,2.随机现象,1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象,1.确定性现象,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机现象,随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

2、 统计规律性.,1.随机试验(E)对随机现象进行的实验与观察.它具有两个特点：随机性、重复性.,2.样本点 随机试验的每一个可能结果.,3.样本空间()随机试验的所有样本点构成的集合.,4.两类样本空间：离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个.连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.,1.1.2 样本空间,1.随机事件 某些样本点组成的集合,的子集，常用A、B、C表示.,3.必然事件(),4.不可能事件()空集.,5.随机变量 表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.,2.基本事件 的单点集.,1.1.3 随机事件,表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.

3、,1.1.4 随机变量,在试验中，A中某个样本点出现了，就说 A 出现了、发生了，记为A.维恩图(Venn).事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.,事件的表示,包含关系：A B,A 发生必然导致 B 发生.相等关系:A=B A B 而且 B A.互不相容：A 和 B不可能同时发生.,事件间的关系,解：1)显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.,2)又因为A发生必然导致B发生，所以 AB，由此得 A=B.,例,口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A=“取到最后一个是白球”，B=“取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？,并：A B A 与 B 至少有一

4、发生 交：A B=AB A 与 B 同时发生 差：A B A发生但 B不发生 对立：A 不发生,事件的运算,事件运算的图示,A B,A B,A B,德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1，A2，An 有 1.Ai互不相容；2.A1A2 An=则称 A

5、1，A2，An 为的一组分割.,样本空间的分割,1.若A 是 B 的子事件，则 AB=()，AB=(),2.设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则()AB 是 C 的子事件；C 是 AB 的子事件；AB 是 C 的子事件；C 是 AB 的子事件.,课堂练习,B,A,3.设事件 A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 A 的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销.,4.设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 A=|xa|，B=x a A=x20，B=x22 A=x22，B=x19,AB,相容,不

6、相容,5.试用A、B、C 表示下列事件：A 出现；仅 A 出现；恰有一个出现；至少有一个出现；至多有一个出现；都不出现；不都出现；至少有两个出现；,设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域,事件域,1.F;,2.若 AF，则 F;,3.若 AnF，n=1,2,则 F.,直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.,1.2 概率的定义及其确定方法,非负性公理：P(A)0;正则性公理：P()=1;可列可加性公理：若A1,A2,An 互不相容，则,概率的公理化定义,从 n 个

7、元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：,排列与组合公式,组 合,组合：,重复组合：,求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.,注 意,加法原理,完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,随机试验可大量重复进行.,确定

8、概率的频率方法,进行n次重复试验，记 n(A)为事件A的频数，称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,古典方法 设 为样本空间，若 只含有限个样本点;每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数,确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)此样本空间中的样本点等可能.2=(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)此样本空间中的样本点不等可能.,注 意,例,六根草，头两两相接、尾两两相接。

9、求成环的概率.,解：用乘法原则直接计算,所求概率为,n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(A)=2/(n-1)。,例1.2.2,n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较),解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例,确定概率的几何方法,若 样本空间充满某个区域，其度量(长度、面 积、体积)为S；落在中的任一子区域

10、A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).则事件A的概率为:P(A)=SA/S,几何方法的例子,例 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.,蒲丰投针问题(续1),解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0 x d/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).,蒲丰投针问题(续2),A=“针与平行线相交”的充要条件是:x l sin(/2).针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率

11、为:2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.,的随机模拟,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.,解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为 p=P(三角形

12、与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因为 Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc 所以 Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得 p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+Pb+Pc)/2=(a+b+c)/(d).,性质 P()=0.注意:逆不一定成立.,1.3 概率的性质,性质1.3.2(有限可加性)若AB=，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到 n 个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)P()=1P(A).,概率的可加性,性质1.3.4 若AB，则 P(AB)=P

13、(A)P(B)；若AB，则 P(A)P(B).性质 P(AB)=P(A)P(AB).,概率的单调性,(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),概率的加法公式,AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的对立事件的概率。,解：由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B),例,得 P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，,所以 P()=10.2=0.8.,例,解：因为 P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B

14、)P(AB),=0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB)=P(A)P(AB)=0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求 P(AB).,例,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“

15、第k 次取到黑球”，则A的对立事件为,“第k 次取到白球”.,而“第k 次取到白球”意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,思 考 题,口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,例,解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，,则所求概率为,一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.,例,解：记 B=“至少出现一次双6点”，,则所求概率为,两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1,2,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解：因为“乘积能被10整除”意

16、味着：,“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)=P(n+1-甲反 n-乙反),=P(甲反-1乙反),=P(甲反乙反),=1P(甲正乙正)(对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M 个白球，NM 个黑球),常见

17、模型(1)不返回抽样,从中不返回任取n 个,则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,此模型又称 超几何模型.,n N,m M,nmNM.,口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.,思 考 题,购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.,彩票问题幸运35选7,中奖规则,1)7个基本号码 2)6个基本号码+1个特殊号码 3)6个基本号码 4)5个基本号码+1个特殊号码 5)5个基本号码 6)4个基本号码+1个特殊号码 7)4个基本号码，或 3个基本号码+1个特殊号码,中奖概率,中所含样本点个数：,将35个号

18、分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：,中奖概率如下：,不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6 p7,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,常见模型(2)返回抽样,条件：m n,即 m=0,1,2,n.,n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN),常见模型(3)盒子模型,求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用

19、盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=,生日问题,p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922,n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai=“第 i 个人拿对自己的帽子”，i=1,n.求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式.用加法公式：,常见模型(4)配对模型,P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),P(A1A2An)=1/n!P(A1A2An)=,配对模型(续),因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.,概率

20、的连续性,若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为,事件序列的极限,若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为,设P()是一个集合函数，(1)若任对单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.,集合函数的连续性,(2)若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.,性质 若P()是事件域F上的一个概率函数，则P()既是下连续的，又是上连续的.,概率的连续性,性质若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P()有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.,可列可加性的充要条件,问题的提出：1)10

21、个人摸彩，有3张中彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有3张中彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？,1.4 条件概率,定义 对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.,条件概率的定义,1)缩减样本空间：将 缩减为B=B.2)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).,条件概率 P(A|B)的计算,10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个，已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.,P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/1

22、0)=2/9,解：设 A=第一个取到次品，B=第二个取到次品，,例,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).,条件概率是概率,P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.,注 意 点,(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B),(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().,课堂练习,乘法公式;全概率公式；贝叶斯

23、公式.,条件概率的三大公式,性质(1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1),乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品”Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求 P(B1B2A3)用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=,乘法

24、公式的应用,性质 若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则,全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：,注意点(1),若事件B1,B2,Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。,解：设 A=“第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：,=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),=3/10,例,n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸

25、取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券”，则(1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券”，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型(续),口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：(1)从中一只一只返回取球；(2)从中一只一只不返回取球；(3)从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球.,思 考 题,罐中有 b 个黑球、r 个

26、红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异色球.(1)当 c=1,d=0 时，为不返回抽样.(2)当 c=0,d=0 时，为返回抽样.(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型.(4)当 c=0,d 0 时，为安全模型.,波利亚罐子模型,记 pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k 次取出黑球”的概率，k=1,2,(1)当 c=1,d=0 时为不返回抽样，所以由摸彩模型 得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(2)当 c=0,d=0 时为返回抽样，所以 pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型。此时

27、pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,波利亚罐子模型(续),甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：,全概率公式的例题,甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？,思 考 题,要调查“敏感性”问题中某种比例 p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”

28、、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.,敏感性问题的调查,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.,贝叶斯公式,某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）,已知“结果”，求“原因”,若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则,贝叶斯（Bayes）公式,1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发

29、生的条件下,某个原因Bj 发生的概率,称为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.,注 意 点,例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.,=0.4,由Bayes公式

30、得:,口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？,课堂练习,2/3,事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B),1.5 独立性,定义 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论 A、B 为两个事件，若 P(A)0,则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质 若事件A与B独立，则 A 与

31、 独立、与 B独立、与 独立.,两个事件的独立性,实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C 两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立.,定义 若事件 A1,A2,An满足：两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A2,An 相互独立.,若A、B、C 相互独立，则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.,一 些

32、 结 论,例 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,解法i)P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.,解法ii)用对立事件公式 P(C)=P(AB)=1(1 0.9)(1 0.8)=1 0.02=0.98.,例 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，现已知 目标被击中，求它是甲击中的概率.。,解:设 A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以,P(A|C)=P(AC)/P(C)=

33、P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.6/0.88=15/22,例 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和，求甲得胜的概率。,解:,因为P(甲胜)=+(1)(1)P(甲胜),所以 P(甲胜)=/1(1)(1).,例 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.,解：P(甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜),所以 P(甲胜)=8/13.,例 元件工作独立，求系统正常工作的概率.记 Ai=“第i个元件正常工作”，pi=P(Ai).,(1)两个元件的串联系

34、统：P(A1 A2)=p1 p2,(2)两个元件的并联系统：P(A1 A2)=p1+p2 p1 p2=1(1 p1)(1 p2),(3)五个元件的桥式系统：用全概率公式 p3(p1+p4 p1 p4)(p2+p5 p2 p5)+(1 p3)(p1p2+p4 p5 p1p2 p4p5),若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验.,1.5.3 试验的独立性,伯努里试验：若某种试验只有两个结果(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)，则称这个试验为伯努里试验.在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p.n 重伯努里试验：n次独立重复的伯努里试验.,n 重伯努里试验,在n 重伯努里试验中，记成功的次数为X.X 的可能取值为：0，1，n.X 取值为 k 的概率为：,n 重伯努里试验成功的次数,