正弦稳态电路分析.ppt
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1、1,正弦稳态分析,2,8.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式,8.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,8.2 正弦量的相量表示法,8.1 正 弦 量 的 基 本 概 念,8.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率,8.6 正弦稳态电路中的中 的 最 大 功 率 传 输,主要内容,3,学 习 目 标,正确理解正弦量的概念,牢记正弦量的三要素。正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系,并能进行相关的计算。正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率,并会进行计算。能进行对称三
2、相电路的计算。,4,按物理量是否随时间改变,可分为恒定量,变动量。,大小和方向都不随时间而改变,用大写字母表示U,I.,随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t),i(t),引言,5,大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压),交变电流:在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交变电流。即,6,7,Nikola Tesla(1856-1943):The Man Who Invented the 20th Century.,8,尼古拉特斯拉是一位发明了交流发电和供电系统的天才发明家 1887他发明了交流供电系统他发明了高频发电机和高频变压器。他发明了日光灯、霓虹灯、速度计、汽
3、车点火系统、雷达的基本原理、电子显微镜、微波炉、激光,9,特兹拉的专利收费已经超过了1百万美元不过特兹拉的梦想是让所有人都用上便宜的交流电,于是他放弃了自己的专利收益权。不但放弃了做成世界首富的机会,而且花费216600美元推广其专利。,10,8.1正弦量的基本概念,正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数,称为正弦交流电。,以电流为例,正弦量的一般解析式为:,波形如图4-1所示,图 4-1 正弦量的波形,11,8.1.1 正弦波的特征量,12,为正弦电流的最大值,正弦波特征量之一-幅度,电量名称必须大写,下标加 m如:Um、Im,13,描述变化周期的几种方法 1.周期 T:变化一周所
4、需的时间 单位:秒,毫秒.,正弦波特征量之二-角频率,3.角频率:每秒变化的弧度 单位:弧度/秒,2.频率 f:每秒变化的次数 单位:赫兹,千赫兹.,14,正弦量每经历一个周期的时间T,相位增加2,则角频率、周期T和频率之间关系为:,、T、反映的都是正弦量变化的快慢,越大,即越大或T越小,正弦量变化越快;越小,即越小或T越大,正弦量变化越慢。,15,正弦波特征量之三-初相位,:t=0 时的相位,称为初相位或初相角。,:正弦波的相位角或相位,16,用正弦函数表示正弦波形时,把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度,于是初相角不
5、大于,且波形起点在原点左侧;反之。,17,图 4-2,如图4-2 所示,初相分别为0、,18,初相为正值的正弦量,在t=0时的值为正,起点在坐标原点之左。,初相为负值的正弦量,在t=0时的值为负,起点在坐标原点之右,19,把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。,只有确定了三要素,正弦量才是确定的。,20,、同频率正弦量的相位差,设有两个同频率的正弦量为,正弦量的相位是随时间变化的,但同频率的正弦量的相位差不变,等于它们的初相之差。,21,两个同频率正弦量间的相位差(初相差),22,初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零,这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值,同时达到最大值,步调
6、一致。,两个正弦量的初相不等,相位差就不为零,不同时达到最大值,步调不一致。,23,两种正弦信号的相位关系,相位差为0,24,如果,则表示i1超前i2;如果,则表示i1滞后i2,如果,则两个正弦量正交;如果,则两个正弦量反相。,如图4-3(a)、(b)、(c)、(d)分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。,25,同频率正弦量的相位差,不随时间变化,与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便,在一些有关的同频率正弦量中,可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考,其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较,即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中,只能选择一个为参
7、考正弦量。,26,正弦电流、电压的有效值 1、有效值 周期量的有效值定义为:一个周期量和一个直流量,分别作用于同一电阻,如果经过一个周期的时间产生相等的热量,则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。,根据有效值的定义,则有,则周期电流的有效值为,27,有效值电量必须大写,如:U、I,交流电流 i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等,则称I的数值为i的有效值,28,对于正弦电流,设,29,30,8.2.1 复数及运算,1.复数A表示形式:,8.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法,31,1.复数A表示形式:,一个复数A可以在复平面上表示为从
8、原点到A的向量,此时a可看作与实轴同方向的向量,b可看作与虚轴同方向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A的向量,其模为|A|,幅角为。所以复数A又可表示为,A=a+jb,32,两种表示法的关系:,或,2.复数运算,(1)加减运算直角坐标,若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2,加减法可用图解法。,8.3 复数复习,A1A2=(a1a2)+j(b1b2),复数的加减运算规律。两个复数相加(或相减)时,将实部与实部相加(或相减),虚部与虚部相加(或相减)。,33,(2)乘除运算极坐标两个复数相乘,将模相乘,辐角加;两个复数相除,将模相除,辐角相减。,因为通常规定:逆时针的辐角为
9、正,顺时针的辐角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量;复数相除相当于顺时针旋转矢量。,34,+j,j,-1 都可以看成旋转因子。,3.旋转因子,复数 ejy=cos y+jsin y=1y,Aejy,35,欧拉公式,考察复数项级数,此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指数函数ex,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记为ez 即,36,当x=0时,z=i y,于是,=cos y+isin y,把y定成x得 e ix=cos x+i sin x,这就是欧拉公式,37,欧拉公式:,e ix=cos x+i sin x,复数z可以表示为 z=r(cosq+i sinq)=r e i q,
10、其中r=|z|是z的模,q=arg z 是z的辐角,复数的指数形式:,由e ix=cos x+i sin x及eix=cos xi sin x,得,欧拉公式的其它形式:,这两个式子也叫做欧拉公式,38,千万牢记,欧拉公式,39,8.3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且辐角还是时间的函数,称为复指数函数。,由于,可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。,40,正弦波形与旋转矢量的对映,41,42,能不能使正弦矢量停止旋转进行研究?,43,44,相量,以正弦量的有效值为模,以初相为辐角的一
11、个复常量定义为正弦量的相量,如正弦电流,其相量为,45,式中同理,46,把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意,相量与正弦量之间只具有对应关系,而不是相等的关系。,相量可以看作是正弦量省略了时间关系的等效数学表达式,47,如果已知一个相量,则将相量乘以时间因子,并取其实部(或虚部),就得到了与相量 对应的正弦量,如果已知一个正弦量,则将正弦量表达为复数的虚部,复数用指数形式表达,然后把这个复数去掉时间因子得到的复数就是与正弦量对应的相量,48,复数A=,49,时域表示,相量域表示,频率域,50,正弦矢量与相量的区别,51,52,例 已知 u1=141sin(t+60o)
12、V,u 2=70.7sin(t-45o)V。求:求相量;(2)求两电压之和的瞬时值 u(t)(3)画出相量图,53,例 已知 u1=141sin(t+60o)V,u 2=70.7sin(t-45o)V。求:求相量;(2)求两电压之和的瞬时值 u(t)(3)画出相量图,解(1),54,(2),(3)相量图如图4-4所示,图 4-4,55,8.4 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式,基本元件VAR的相量形式在交流电路中,电压和电流是变动的,是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻,而且有储能元件电感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式(即VAR)的相量形式。1、电阻元件,根据欧姆定
13、律得到,56,其相量关系为:,上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的,相量、波形图如图4-5所示。,57,图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图,58,59,2、电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为:,60,将上式改写为:,61,图 4-6 电容元件的波形、相量图,可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。,电容元件上,电流振幅为电压振幅的C倍。电容电流超前电容电压90,62,63,3、电感元件,电感元件上电压、电流之间的相量关系式为:,64,正弦量和相量的对应过程,65,上式表明电感上电流滞后电压为90通常把XL=L定义为电感元件的感抗,它是电压有效值与电流
14、有效值的比值。对于一定的电感L,当频率越高时,其所呈现的抗感越大,反之越小。在直流情况下,频率为零,XL=0,电感相当于短路。,电感元件上电压、电流之间的相量关系式为:,66,图 4-7 电感元件的波形、相量图,电感元件的波形、相量图如图4-7所示。电感上电流滞后电压90电压振幅为电流振幅L倍,67,68,以上讲授了相量形式下的支路VCR在相量形式下KVL,KCL同样成立,69,8.4.3 电路的相量模型(phasor model),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型:电压、电流用相量;元件用复数阻抗或导纳。,70,应用相量法求解习题的步骤,将电路转换为相量模型,
15、应用相量形式下的支路VCR,KCL,KVL对电路进行解算,71,例题图示电路,,72,解:画出与此电路对应的相量形式表示的电路图,设电路的电流相量为参考相量,即令,根据元件VCR,73,根据KVL,有,所以,74,元件电压电流关系的总结,75,9.4 复 阻 抗 与 复 导 纳,9.4.1 复阻抗,设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示,流过各元件的电流都为I,各元件上电压分别为uR(t)、uL(t)、uC(t),端口电压为 u(t)。,图 4-8,76,77,因为 u(t)=uR(t)+u L(t)+uC(t),即,所以,上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。,78,称Z为该无源
16、二端电路的复阻抗(或阻抗),它等于端口电压相量与端口电流相量之比。,79,当频率一定时,阻抗Z是一个复常数,可表示为指数型或代数型,即:,式中Z称为阻抗的模。其中X=XL-XC称为电抗,电抗和阻抗的单位都是欧姆。称为阻抗角,它等于电压超前电流的相位角,即,80,9.4.2 复导纳,对于如图4-9所示R、L、C并联电路,根据相量形式KCL,得到:,图 4-9 RLC并联电路,81,82,Y为无源二端电路的复导纳(或导纳),对于同一电路,导纳与阻抗互为倒数。Y称为导纳模,它等于阻抗模的倒数;对于同一电路,导纳模与阻抗模也互为倒数。称为导纳角,导纳角等于电流与电压的相位差,它也等于负的阻抗角。,83
17、,84,阻抗和导纳可以等效互换。,85,用代数形式有,86,无源元件的阻抗和导纳,87,阻抗导纳的串联和并联,阻抗的串联和并联电路的计算,在形式上与电阻的串联和并联电路相似。,各个阻抗的电压分配为,其中 为总电压,为第k个阻抗 的电压,对于N个阻抗串联而成的电路,其等效阻抗,88,各个导纳的电流分配为,其中 为总电压,为第k个导纳 的电流,对于N个导纳并联联而成的电路,其等效导纳,89,例9-1RLC串联电路如图所示,其中,端电压,试求电路中的电流I(瞬时表达式)和各元件的电压相量。,90,解:用相量法求解时,可先求出已知相量和设定待求相量。本例已知,为待求量。,然后计算各部分阻抗,91,各元
18、件电压相量,正弦电流 i 为,92,9.4.4电路的相量图分析阻抗(导纳)串并联电路时,可利用相关的电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图。,93,电路中存在并联部分的处理方法 1以并联部分的电压相量为参考相量。2根据支路VCR确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角。3再根据结点上的KCL方程,用相量平移求和法则,画出结点上各支路电流相量组成的多边形。电路中存在串联部分的处理方法 1以串联部分的电流相量为参考相量。2根据支路VCR确定有关电压相量与电流相量之间的夹角。3再根据结点上的KVL方程,用相量平移求和法则,画出回路上各电压相量所组成的多边形。,相量图作图方法,94,例9-3画
19、出例9-1电路的相量图,95,解:本题为串联电路,以电流相量 为参考,绘制相量多边形,96,9.4.5正弦稳态电路的分析,对于电阻电路有,对于正弦电流电路的对应相量有,97,1、据原电路图画出相量模型(电路结构不变),2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,二、一般正弦交流电路的解题步骤,3、用复数符号法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,在正弦交流电路中,若正弦量用相量表示,电路参数用复数阻抗表示,则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下:,98,例9-5 图9-7示电路中的独立电源全都是同频正弦量试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程。,解:结点电压方程为,
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