第三章线性系统的时域分析.ppt

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1、第三章 线性系统的时域分析,3.1 动态和稳态性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 线性系统的稳定性分析 3.5 控制系统的稳态误差 3.6 基于MATLAB的线性系统时域分析 小结,时域分析给系统施加一输入信号，通过研究系统的输出（响应）来评价系统的性能。如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态的性能指标可以参考。,3.1 动态和稳态性能指标,在学习这些性能指标之前，首先来看一下系统所常用的一些典型输入信号。一、典型输入信号 1.阶跃函数 阶跃函数(见图3-1(a)的时域表达式为,式中,R为常数,当R 1时,r(t)=1(t)为单位阶跃函数。,图 3-

2、1 典型输入信号,2.斜坡函数(等速度函数)斜坡函数,也称等速度函数(见图3-1(b)，其时域表达式为,式中,R为常数。当R1,r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R,所以阶跃函数为斜坡函数对时间的导数。,3.抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数(见图3-1(c)的时域表达式为,式中，R为常数。当R1时,r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为dr(t)/dt=Rt,所以斜坡函数为抛物线函数对时间的导数。,4.脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d)的时域表达式为,式中，h称为脉冲宽度,脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限,则有,称此函数为单位脉冲函数。(见图3-1(e),5.

3、正弦函数正弦函数(见图3-1(f)的时域表达式为,式中,A为振幅,为角频率。,二、动态过程和稳态过程 1.动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬态过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。动态过程一般表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。动态过程除提供系统的稳定性信息外，还可以给出响应速度、阻尼情况等信息。这些信息用动态性能指标描述。,2.稳态过程 稳态过程(稳态响应)，是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能指

4、标来描述。控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。,三、动态性能指标和稳态性能指标 1.动态性能指标 动态性能指标通常根据系统的单位阶跃响应曲线定义。设系统单位阶跃响应曲线如图3-2所示。系统输出的稳态值为,图 3-2 系统单位阶跃响应曲线,动态性能指标通常有以下几种：上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值，上升时间为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统，上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。峰值时间tp：阶跃响应曲线超过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间。,调节时间ts：在响应曲线

5、的稳态线上，用稳态值的百分数(通常取 5%或 2%)作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。最大超调量p：设阶跃响应的最大值为c(tp)，则最大超调量p可由下式确定:,振荡次数N：在0tts内，阶跃响应曲线穿越稳态值c()次数的一半称为振荡次数。上述动态性能指标中，常用的指标有tr、ts和p。上升时间tr评价系统的响应速度；p评价系统的运行平稳性或阻尼程度；ts为能同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,2.稳态性能指标 系统稳态性能指标：稳态误差。若时间趋于无穷时,系统输出量不等于输入量,则系统存在稳态误差。可见，稳态误差是一种度量控制系统精度的指标。,3

6、.2 一阶系统的时域分析,图 3-3(a)一阶系统结构图；(b)简化结构图,一阶系统的闭环传递函数为：,一、单位阶跃响应 对于单位阶跃输入,有,由拉氏反变换得，一阶系统的单位阶跃响应c(t)为,式中，cs(t)=1是稳态分量,由输入信号决定。ct(t)=e-t/T是瞬态分量(暂态分量),当t时,瞬态分量按指数规律衰减到零。,一阶系统单位阶跃响应的典型数值：,图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线,单位阶跃响应曲线如图3-4所示,曲线特点：在 t=0 处的切线斜率为,取 5%的误差带 ts=3T 取 2%的误差带 ts=4T,二、单位脉冲响应对于单位脉冲函数r(t)=(t),R(s)=1输出量的拉

7、氏变换与系统的传递函数相同,即,由拉氏反变换得系统单位脉冲响应,结论：一阶系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的导数,单位阶跃响应,单位脉冲响应,满足导数关系,理论：如果线性定常系统的输入满足导数关系，则系统的输出也满足相应导数关系。,因此,研究线性定常系统的输出响应,不必对每种输入信号进行计算,往往只取其中一种典型形式进行研究即可。,3.3 二阶系统的时域分析,一、二阶系统的各种状态 典型的二阶系统结构图如图3-5所示，它是一个由惯性环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。,图3-5 二阶系统结构图,令,系统闭环传递函数为,则系统闭环传递函数化为如下标准形式：,式中，称为阻尼比,n称为

8、无阻尼自然振荡角频率。,因此，系统结构图可化简为如图3-6所示结构。,所以,系统的两个特征根(极点)为,图3-6 二阶系统结构简图,二阶系统的特征方程为,随着阻尼比 取值不同,二阶系统特征根(极点)也不相同。,1.欠阻尼状态(0 1)当0 1时,两特征根为,是一对共轭复数根,如图3-7(a)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,2.临界阻尼状态(=1)当=1时,特征方程有两个相同的负实根,即 s1,2=-n如图3-7(b)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,3.过阻尼状态(1)当 1时,两特征根为,为两个不同的负实根,如图3-7(c)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,4.无阻

9、尼状态(=0)当=0时,特征方程有一对共轭纯虚数根,即,如图3-7(d)所示。,图 3-7 二阶系统闭环极点分布,二、二阶系统的单位阶跃响应 已知r(t)=1(t),则有R(s)=1/s。所以,二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为,对上式求拉氏反变换,可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的输出c(t),（1）,1.欠阻尼状态(0 1)在这种情况下,式(1)可以展成如下部分分式形式：,式中,称为阻尼自然振荡角频率。式(2)的拉氏反变换为,（2）,（3）,由式(3)可知,在欠阻尼状态下,二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线(如图3-8所示)。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 的大小,

10、振荡角频率是特征根虚部的绝对值,即阻尼自然振荡角频率,振荡周期为,2.无阻尼状态(=0)当=0时,系统的单位阶跃响应为,所以,无阻尼情况下系统的单位阶跃响应是等幅正(余)弦振荡曲线(如图3-8所示),振荡角频率是n。,3.临界阻尼状态(=1)当=1时,系统输出的拉氏变换为,对上式进行拉氏反变换得,二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线(如图3-8所示)。,4.过阻尼状态(1)这种情况下,系统存在两个不等的负实根,即,系统输出的拉氏变换为,式中,取上式的拉氏反变换可得 过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为,(t0),系统的响应c(t)中包含了两个衰减的指数项,其响应曲线如

11、图3-8所示。,图 3-8 二阶系统的单位阶跃响应曲线,从图中可以看出,随着阻尼比 的减小,阶跃响应的振荡程度加剧。=0时是等幅振荡,1时是无振荡的单调上升曲线,其中临界阻尼情况对应的调整时间最短。在欠阻尼的状态下,当0.4 0.8时,调整时间比临界阻尼时更短,而且振荡也不严重。因此在控制工程中,除了那些不允许产生超调和振荡的情况外,通常都希望二阶系统工作在0.4 0.8的欠阻尼状态。,三、二阶系统的性能指标,1.欠阻尼状态(0 1),上升时间 tr根据上升时间的定义,上升时间满足,所以有,得,因为上升时间tr 为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。,所以令上式中的n=1，得上升时间tr 为

12、,峰值时间 tp在峰值时间tp处，输出c(t)为最大值。将系统单位阶跃响应c(t)对时间求导,并令其为零,即,得,整理、变换得,根据三角函数的周期性,上式成立需满足：dtp=0,2,3，由于峰值时间是输出响应达到第一个峰值所对应的时间,因此应取,得峰值时间为,最大超调量p最大超调量发生在峰值时间tp，将tp代入c(t)得,得最大超调量,调节时间ts,由近似公式，当0 0.8时，,若取=5%，,若取=2%,振荡次数N,当0 0.8时，,图 3-9 二阶系统结构图,例1 某二阶系统如图3-9所示,其中系统的结构参数=0.6,n=5rad/s。输入信号为单位阶跃函数,求性能指标tr、tp、ts、p和

13、N的数值。,所以,解 二阶系统闭环传函,因0 1，所以系统处于欠阻尼状态。根据给定的参数可以得出,上升时间,峰值时间,最大超调量,调节时间,振荡次数,例2 设系统的结构图如图3-10所示。要求系统的性能指标为p=20%,tp=1s。试确定系统的K和KA值,并计算性能指标tr、ts和N。,图3-10 控制系统框图,解 首先,根据要求的p求取相应的阻尼比：,解得=0.456。,其次,由已知条件tp=1s和已求出的=0.456，求无阻尼自然振荡频率n,即,解得n=3.53rad/s。此二阶系统的闭环传递函数，由图3-10得,与标准形式 比较,求K和KA值。,得K=12.5,KA=0.178。,最后计

14、算tr、ts和N：,比较上两式得,3.4 线性系统的稳定性分析,一、稳定的基本概念 设一个线性定常系统原处于某一平衡状态,若它瞬间受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后,如果系统还能回到原有的平衡状态,则称该系统是稳定的。反之,系统为不稳定的。,线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移,是逐渐收敛的,即 系统的时域响应能最终收敛到一个稳定状态,则称该线性定常系统是稳定的;反之，如果时域响应发散,则该线性定常系统就是不稳定的。,二、线性定常系统稳定的充分必要条件,线性定常系统传递函数的通式为,系统的特征方程式为,经过研究得出如下结论：线

15、性定常系统稳定的充分必要条件是,特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根,即特征方程的根均在复平面的左半平面。由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点,因此也可以说,线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传函的极点均在复平面的左半平面。,若线性定常系统在复平面右半平面没有极点,但虚轴上存在极点,则称系统为临界稳定。在工程上,临界稳定属于不稳定,因为参数的微小变化就会使极点具有正实部,从而导致系统不稳定。,三、劳斯稳定判据,根据线性定常系统稳定性的充要条件,我们可以通过求取系统特征方程式的根,并检查根实部的符号来判断系统是否稳定。但由于系统特征方程式一般为高次代数方程,因此要计算其特征

16、根并不是一件容易的事。,采用劳斯稳定判据,可以不用求解特征方程,而只根据特征方程系数做简单的运算,就可以确定方程是否有(以及有几个)正实部的根,从而判定系统是否稳定。以下是劳斯判据的具体内容。,设控制系统的特征方程式为,将特征方程的各项系数排成下面形式的行和列,即为劳斯表：,表中,一直计算到系数bi等零为止。同样按照上述方法,可以求出c,d,e,f 等系数,即,劳斯表一共有n+1行。其中第n+1行仅第一列有值,且正好是方程最后一项an。,劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充要条件是：特征方程的各项系数全部为正数，并且劳斯表中第一列所有项均为正数。系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符

17、号改变的次数。,注意 在展开的劳斯表中,有时为了简化其后的数值运算,可以让某一整行去除以或乘以某一正整数,这并不改变系统的稳定性结论。,例 3 设控制系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解 列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次,因此该方程中有两个根在复平面的右半平面,故系统是不稳定的。,例 4 设有一个三阶系统的特征方程,式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2a0a3。,证明 列劳斯表得,根据劳斯稳定判据得,系统稳定的充要条件除特征方程所有系数均为正数外，劳斯表中第一列系数还必须均大于零。所以有,a1a2a0a3,例 5 考虑图3-11所示的系统,确定使系统

18、稳定的K的取值范围。,图 3-11 控制系统框图,解 由图3-11可知,系统的闭环传递函数为,所以系统的特征方程为,列劳斯表如下：,根据劳斯判据,系统稳定必须满足,因此,使闭环系统稳定的K值范围为,当K=14/9时,系统处于临界稳定状态。,需要指出,在运用劳斯稳定判据分析系统稳定性时,有时会遇到下列两种特殊情况：(1)在劳斯表的某一行中,第一列元素为零,而其余各列元素均不为零,或部分不为零;(2)劳斯表的某一行元素全部为零。,在这两种情况下,两个大小相等符号相反的实根表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根,此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。,下面通过实例说明这

19、时应如何排劳斯表。若遇到第一种情况,可用一个任意小的正数代替为零的元素,然后继续进行计算,完成劳斯表。,例如,系统的特征方程为,列劳斯表,因为劳斯表中第一列元素的符号改变了两次,所以系统不稳定,且有两个正实部的特征根。,若遇到第二种情况,先用全零行的上一行元素构造一个辅助方程（辅助方程的最高次数总是偶数）,再将上述辅助方程对s求导,用求导后的方程系数代替全零行的元素,继续完成劳斯表。例如,系统的特征方程为,列劳斯表,由以上可以看出,劳斯表中第一列元素符号均大于零,故系统不含具有正实部的根,而含一对纯虚根,可由辅助方程2s2+2=0解出是j。,系统处于临界稳定状态。,3.5 控制系统的稳态误差,

20、稳态误差作为系统的稳态指标是衡量系统控制精度的。应当强调的是,只有对稳定的系统，我们才可以分析它的稳态误差。,一、误差与稳态误差 设控制系统的结构如图3-12所示。,图 3-12 控制系统结构图,误差是系统设定输入量与主反馈量之差,即,在单位负反馈情况下,稳态误差是指一个稳定的系统在设定的输入或扰动作用下,经历动态过程进入稳态后的误差,即,二、系统的类型 稳态误差的计算与系统的类型有关,而系统的类型是由系统开环传递函数决定的。,一般情况下,系统的开环传递函数可以表示为,其中，K为系统的开环放大倍数；i和Tj为时间常数；为开环传递函数中积分单元的个数,即开环传递函数在原点处极点的重数。,若=0、

21、1、2、3则系统分别称为0型系统、型系统、型系统、型系统。,三、稳态误差的计算 计算稳态误差的基本系统结构图如图3-12所示,根据线性系统的叠加原理,可求得系统在设定输入和扰动输入作用下的系统误差为,其中,G开(s)=G1(s)G2(s)H(s)，由上式可知,系统的误差由两部分组成：由系统给定输入信号引起的误差（给定误差）(对应式中第一项),它反映了系统跟踪输入信号的能力;由扰动输入信号引起的误差称为扰动误差(对应式中第二项),它反映了系统抑制扰动的能力。,1.给定输入作用下的系统稳态误差计算给定输入作用下的系统误差为,根据稳态误差的定义和拉氏变换的终值定理(假设sE(s)的极点全位于复平面的

22、左半平面(包括原点）),可得,为便于讨论,定义如下一组静态误差系数。位置误差系数：,速度误差系数:,加速度误差系数:,则在单位阶跃输入信号作用下,系统的稳态误差为,若系统为0型系统,若系统为型及型以上系统,则在单位斜坡输入信号作用下,系统的稳态误差为,若系统为0型系统,若系统为型系统,若系统为型及型以上系统,则在单位加速度输入信号作用下,系统的稳态误差为,若系统为0型、型系统,若系统为型系统,若系统为型系统及型以上系统,表 3-1 给定输入信号作用下的稳态误差,结论：,从表3-1中可看出，0型系统对于单位阶跃输入是有差系统,并且无法跟踪斜坡信号、加速度信号；型系统由于含有一个积分环节,所以对于

23、单位阶跃输入是无差的,但对单位斜坡输入是有差的,并且无法跟踪加速度信号;型系统由于含有两个积分环节,所以对于单位阶跃输入和单位斜坡输入都是无差的,但对单位加速度信号是有差的。,2.扰动输入作用下系统稳态误差的计算 对于扰动输入作用下系统稳态误差的计算,也可以按照类似给定输入情况的方法进行计算。在这种情况下,稳定误差的计算稍复杂些,这里就不再加以论述。感兴趣的读者可以自行推导。,例 6 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为,试求系统输入分别为1(t),10t,3t2时,系统的稳态误差。解 由劳斯稳定判据分析可知,该系统是稳定的(这里从略)。首先将系统开环传递函数化为,得开环放大倍数K=2.5，由

24、于此系统为型系统,例7 已知两个系统分别如图3-13(a)、(b)所示。输入均为r(t)=4+6t+3t2，试分别计算两个系统的稳态误差。解 要计算系统在输入r(t)=4+6t+3t2下系统的稳态误差，可分别计算系统在输入r1(t)=4、输入r2(t)=6t、输入r3(t)=3t2下的稳态误差ess1、ess2、ess3、然后让其相加。,根据表3-1得，当r(t)=1(t)时,稳态误差ess=0；当r(t)=10t时,稳态误差；当r(t)=3t2时，稳态误差ess=。,图 3-13 例 7 图,图3-13(b)为型系统,开环放大倍数为K=10/4。查表可知,系统的稳态误差为,需要指出的是,标准

25、的加速度信号为t2/2,所以本题中的3t2是标准输入的6倍,因此,用标准输入下的公式计算稳态误差时要乘上这个倍数。,图3-13(a)为型系统，查表3-1得，该系统的稳态误差ess=ess1+ess2+ess3=。,四、稳态误差的抑制措施 1.提高系统的开环放大倍数 从表3-1可以看出：0型系统跟踪单位阶跃信号、型系统跟踪单位斜坡信号、型系统跟踪单位加速度信号时,其系统的稳态误差均为常值,且都与开环放大倍数K有关。若增大开环放大倍数K，则系统的稳态误差可以显著下降。注意：提高开环放大倍数K固然可以使系统的稳态误差下降,但K值取得过大会使系统的稳定性变坏,甚至造成系统不稳定。,2.增大系统的类型数

26、 从表3-1中可以看出：若开环传递函数中没有积分环节,即0型系统时,跟踪阶跃输入信号所引起的稳态误差为常值;若开环传递函数中含有一个积分环节,即型系统时,跟踪阶跃输入信号所引起的稳态误差就为零;若开环传递函数中含有两个积分环节,即型系统时,则系统跟踪阶跃输入信号、斜坡输入信号所引起的稳态误差都为零。,3.采用复合控制 采用复合控制,即在反馈控制基础上引入前馈补偿可以在基本不改变系统动态性能的前提下,有效改善系统的稳态性能。,3.6 基于MATLAB的线性系统时域分析,1.基于MATLAB的时域特性分析 通过MATLAB提供的函数step()和impulse(),可以方便地求出各阶系统在单位阶跃

27、函数和单位脉冲函数作用下的输出响应。,例8 已知系统框图如图3-14所示,图3-14 系统方框图,其中，,输入以下MATLAB命令，可得系统的单位阶跃响应曲线如图3-15所示。,num=7 7;den=conv(conv(1 0,1 3),1 4 5);g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);y,t,x=step(gg)plot(t,y),图3-15 系统的单位阶跃响应曲线,输入以下MATLAB语句可求此系统在单位阶跃函数作用下的给定稳态误差。,ggg=tf(g.den1,g.den1+g.num1);%g.num1，g.den1分num1=1 0;别表示g对象的分

28、子分母den1=1;g1=tf(num1,den1);gggg=ggg*g1;%求1/G(s)+1*snum2=1;den2=1 0;u=tf(num2,den2);%确定输入信号的拉氏变换dcg=dcgain(gggg*u),运行结果为：dcg=0,由上述结果知，系统在单位阶跃函数作用下的给定稳态误差为零，所以此系统单位阶跃响应的稳态值为1，即c()=1。,由图3-15可看出，系统的单位阶跃响应曲线单调变化，所以此时暂态性能指标只有上升时间tr和调整时间ts，无最大超调量p和峰值时间tp。输入以下MATLAB语句可求系统单位阶跃响应的上升时间tr和调整时间ts。,n=length(y);%确

29、定输出向量y的长度t1=;for i=1:n,if abs(y(i)-0.9)0.0001 t1=t1 t(i)else i=i+1;endendt2=t1(1)t3=;for i=1:n,if abs(y(i)-1)=0.02 t3=t3 t(i);else i=i+1;endend,t4=t3(1)运行结果为：t2=4.7550t4=8.3450,由上述知，此系统单位阶跃响应的上升时间为4.755s，调整时间为8.3450s（误差带取2%）。,例 9 试用MATLAB绘制例8中系统的单位脉冲响应。解 本题的程序实现与例8类似,这里从略。仿真结果如图3-16所示。,图3-16 系统单位脉冲响

30、应曲线,另外,MATLAB还提供了在任意输入信号作用下,获取系统输出响应的函数lsim(),关于其用法请参见MATLAB软件的联机帮助。,2.基于MATLAB的系统稳定性分析 可以通过MATLAB求系统特征方程的根来分析系统稳定性。例10 设系统是由前向通道传递函数Gp(s)和反馈通道传递函数H(s)组成的负反馈控制系统。其中,试判别系统的稳定性。,解 MATLAB中的函数roots()或eig()都可以用来计算系统的特征根。以下是求取上述闭环系统特征根的程序：Gp=tf(1,1 2 4);H=tf(1,1 1);G=feedback(Gp,H,-1);p=eig(G)计算结果为 p=-0.8

31、389+1.7544i;-0.8389-1.7544i;-1.3222由于没有正实部特征根,因此系统稳定。,如果已知系统的特征多项式,求取系统的特征根可采用函数roots()。,例 11 已知系统闭环特征方程为D(s)=s4+3s3+3s2+2s+3,试判断系统稳定性。解 可用下面程序求取系统特征根：den=1 3 3 2 3;p=roots(den)计算结果为,p=-1.67260.6531i;0.17260.9491i可见,系统有两个正实部的根,所以系统不稳定。,小 结,本章根据系统的时域响应分析了系统的动态性能、稳态性能以及稳定性。其主要的研究内容有以下几个方面：(1)通过讨论系统在典型

32、信号下的时间响应,定义了描述系统动态和稳态性能的一系列指标。动态性能指标：上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间、振荡次数；稳态性能：稳态误差。(2)分析了一阶、二阶系统在一些典型输入信号作用下的时间响应。重点研究了二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应,以及其动态性能指标的计算方法。,(3)简要介绍了系统稳定性的概念,指出线性定常系统的稳定性由其闭环传函极点的位置决定,同时还介绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别方法劳斯判据。(4)稳定的控制系统存在控制精度问题,这个控制精度通常用稳态误差来描述。本章给出了控制系统稳态误差的定义、计算方法以及减小稳态误差的途径。(5)通过例题介绍了MATLAB在线性系统时域分析中的应用。,