气体分子运动论.zq(北邮).ppt

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1、玻耳兹曼,第三篇,麦克斯韦,热学,热力学系统(大量微观粒子组成的系统),一.研究对象,二.研究方法,1.气动理论,如:掷硬币,牛顿力学,统计方法,2.热力学,能量守恒,实验途径,热运动:大量微观粒子永不停息、无规则、无定向的运动.,2.热运动的特征:,分子线度小(直径约),分子数多(1mol 气体含 分子),分子运动快(平均速率几百米每秒),分子运动完全无序(碰撞频繁,几十亿次/秒),1.热运动的图象:,分子的永恒运动和频繁碰撞.,*热运动及其特征,一、微观量：描述个别分子运动规律的物理量。如：每个分子都有的质量、运动速度、能量。,二、宏观量：表示大量分子集体效应的物理量。如：气体的温度、压强

2、。,如状态参量：,V(m3),P(Pa),T(K)宏观可测。,6-1 平衡态 理想气体状态方程,第六章 气体动理论基础,三、平衡态：,气体与外界没有能量和物质的交换，系统的宏观性质（P、V、T）变化很小或不变化的状态。（平衡态是热动平衡）,准静态过程：,气体从一个平衡状态经过无数个无限接近平衡状态的中间状态，过渡到另一个平衡态。,平衡态与平衡过程的描述：常用PV图。,平衡态：点。如、。,平衡过程：任意曲线。,四、理想气体状态方程：,R=8.31J/molK 普适气体常数,五、物质的微观模型 统计规律性,2、分子力:,1、分子的数密度和线度：,3、分子热运动的基 本特征及统计规律：,基本特征：不

3、停地作杂乱无规则的运动。,统计规律:大量偶然的、无序的的分子运动中,包含着规律性。,大量分子集体行为有章可循。,个别分子杂乱无章。,典型数据：平均速率 500m/s；分子连续两次碰撞的平均路程 10-7 m；平均时间间隔10-10 s。,气动理论=牛顿力学+统计方法,如:,口袋中摸球:10个球(三蓝七红),掷硬币:,头像面出现的几率:,4、统计规律的特点:,统计规律,摸出红球的几率:,蓝球的几率:,整体规律(从量变到质变);,对大量偶然事件才有意义;,伴随着涨落*.,例:,掷骰子：出现4，概率1/6，每掷600次，,实际:,统计平均出现4的次数,6-2 理想气体压强公式,一、气体分子热运动的特

4、征,大距离、短程力，无规则热运动永不停息。,二、理想气体的分子模型：,质点、完全弹性碰撞、分子间作用力不计。,三、统计假设,平衡态下：,1、分子数密度相等。,2、分子沿任一方向的运动，机会均等。,补充:,1、冲量定理：,2、周期函数的平均值：,四、理想气体压强公式的推导,前提：在边长l1、l2、l3的长方体容器中有N个同类分子作无规则热运动，质量均为m，各向机会均等。,气体对容器壁的压强是大量分子对容器壁碰撞的平均效果。,一个分子对A1面的平均作用力：,N个分子对A1面的总的平均作用力：,气体分子对A1面的压强：,或,其中,为分子的平均平动动能。,说明：,1、A1面的压强公式可推广到任一面上。

5、,2、空间任一点处都有相同的压强。,3、分子间的碰撞不影响结果。,4、,5、分子热运动平均动能：平均平动动能、平均转动动能、平均振动动能。后两种动能对压强无贡献。,6-3 温度公式,一、气体分子平均平动动能与温度的关系,对一定体积V，若气体质量为M，则：,其中n为分子数密度，k为玻尔兹曼常数。,(N为分子总数),对照,有,说明：,1、温度是分子平均平动动能的量度。,2、分子热运动永不停息，绝对零度不可达。,3、温度是气体处于热（动）平衡的物理量。,4、温度是统计量。,5、温度与气体整体运动（有规则运动）无关。,二、气 体 分 子 的 方 均 根 速 率,说明：,是大量分子统计平均值，某一分子的

6、v是不断变化的，方向也杂乱无章的。,例1：一瓶氮气和一瓶氦气密度相同，分子平均平动动能相同，且处于平衡态，则,例2：在密闭的容器中，若理想气体温度提高为原来的2倍，则,6-4 能量按自由度均分原理、内能,一、自由度,确定运动物体在空间位置所需的独立坐标数目。,质点：任意运动时，需三个独立坐标x、y、z。,刚体：任意运动时，可分解为质心的平动及绕通 过质心的轴的转动。,刚性双原子:i=5,刚性多原子:i=6,单原子:i=3,二、能量按自由度均分原理,分子的平均平动动能：,平衡态下,一个平方项的平均值,一个平动自由度,在平衡态下，分子每一个自由度都分配有kT/2 的热运动的平均动能。,说明,(2)

7、能量均分定理是分子无规则热 运动动能的统计规律。,平均平动动能,平均转动动能,如某种分子有t 个平动自由度,r 个转动自由度,则分子具有:,为什么?,分子不断碰撞以达平衡,如果分子有i个自由度，分子的平均动能：,三、理想气体内能：,理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和。,1mol理想气体的内能：,对于质量为M的理想气体：,单原子：,双原子：,多原子：,总结几个容易混淆的慨念：,1.分子的平均平动动能：,3.理想气体内能：,4.单位体积内气体分子的平动动能：,5.单位体积内气体分子的动能：,2.分子的平均动能：,例1.氢气和氧气的温度相同,问,1）,?,?,2）,不一定!,例2：如果氢气、

8、氦气的温度相同，摩尔数相同，那么着两种气体的,例3：H2的温度为00C，试求：,解:依能量守恒,氮气宏观运动的机械能转化为其内能:,或,6-5 麦克斯韦分子速率分布定律,一、伽尔顿板演示：,一个小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布却是稳定的。,统计规律：对大量偶然事件整体起作用的稳定的规律。,【演示】伽尔顿板,N:分子总数。,N:v v+v 区间内的分子数。,N/N:v v+v 区间内的分子数占总 分子数的百分比。,二、气体分子速率的实验测定：,三、麦克斯韦分子速率分布定律,速率分布函数：,为归一化条件。,f(v)的物理意义：,在v附近，单位速率区间的分子数占总分

9、子数的百分比。,速率在 内分子数：,速率位于 区间的分子数：,速率位于 区间的分子数占总数的百分比：,用总分子数N，气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示速率大于v0的分子数：,思考,某一分子在速率v附近的单位速率区间内出现的概率。,某一分子出现在v1v2区间内的概率：,某一分子出现在vv+dv区间内的概率：,f(v)又称概率密度：,多次观察某一个分子的速率，发现其速率大于v0的几率:,思考：,1860年，Maxwell 从理论上得出：,在平衡态下，一定量气体不受外力 时：,麦克斯韦速率分布律,1、最概然速率Vp：,令,得,四、三种速率：,与 f(v)极大值对应的速率。,关于麦克斯韦速率分布

10、中最概然速率 的概念，下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 例最大.,2、平均速率,3、方均根速率,三种速率的比较,例1：求分布在 v1 v2 速率区间的分子平均速率。,解：,例2：速率大于v0的那些分子的平均速率。,解：,对 v1 v2 内分子求平均：,对所有分子求平均：,设g(v)是与速率有关的热力学量，可从速率分布函数求出g(v)的平均值：,推广：,1、温度与分子速率：,五、麦克斯韦速率分布曲线的性质,2、质量与分子速率：,例1：如图：两条曲线是氢和氧在同一

11、温度下分子速率分布曲线，判定哪一条是氧分子的速率分布曲线？,例2：在200C时，He原子和N2分子的方均根速率分别为1.35km/s和0.417km/s。,（1）,（2）,1 已知分子数，分子质量，分布函数.求（1）速率在 间的分子数；（2）速率在 间所有分子动能之和.,解,2 如图示两条 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出两气体最概然速率.,解,END,例5 有 N 个粒子，其速率分布函数为:,（1）作速率分布曲线。（2）由N 和v0求常量C。（3）求粒子的平均速率。（4）求粒子的方均根速率。,解：,圆筒B不转，分子束的分子都射在P处。,圆筒B转动，分子

12、束的速率不同的分子将射在不同位置:,六、测定分子速率分布的实验装置（北邮）：,金属蒸气,显示屏,狭缝,六、测定气体分子速率分布的实验（马）,6-6 玻尔兹曼能量分布律,平衡态下，理想气体的麦克斯韦速率分布律:,在 vv+dv,其指数仅包含分子运动动能,相应于分子不受外力场的影响,玻尔兹曼能量分布律,麦：,海平面处（ep=0），单位体积中，分子速率在vv+dv的分子数：,玻：,在vv+dv xx+dx、yy+dy、zz+dz,dxdydz,令：,重力场中粒子按高度的分布,重力场中的等温气压公式,每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。,高度计原理,6-7 分子碰撞

13、和平均自由程,一、碰撞：,1、气体运动轨迹为一折线：,如：N2分子在270C时的平均速率为476m.s-1.,矛盾,气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。,分子平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数.,分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个分子自由运动的平均路程.,两个问题：,2、碰撞截面：s=pd2,d为分子的有效直径。,二、平均碰撞频率,一秒内一个分子与其他分子碰撞的平均次数。,平均碰撞频率 的计算,设想：跟踪分子A，看其在一段时间t内与多少分子相碰。假设：其他分子静止不动。,在t 内，A分子与其他分子碰撞的次数：,考虑到其他分子也在作热运动，,三、平均

14、自由程,气体分子在连续两次碰撞之间的各段距离的平均值。,在标准状态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢气约为10-7m。,每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！,例：一定量的理想气体，若V不变，T,则,例：一定量的理想气体，若T不变，P,则,解：,平均碰撞频率与原来相同。,平均自由程增为的两倍。,思考题：一定量理想气体先经等容过程，使其温度升高为原来的四倍，再经等温过程，使体积膨胀为原来的两倍。根据 和，则平均碰撞频率增为原来的两倍；再根据 则平均自由程增为原来的四倍。以上结论是否正确，如有错误请改正。,小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率,概率密度,例：伽尔顿板实验,槽:1,2,3,.,粒子数:N1,N2,N3.,粒子出现在第 i 槽内的概率为：,该槽内小球数,小球总数,粒子总数:,x：槽宽,对1mol理想气体物态方程的修正：,（1）体积修正,设V 为容器体积，b为1 mol 分子所占体积。,或,（2）压强修正,*真实气体的范德瓦耳斯方程,考虑分子间存在引力，气体分子施与器壁的压强应减少一个量值，称为内压强（pi）。,a为比例系数,范德瓦耳斯方程：,