B题公园内道路设计.docx

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1、装-订-线“工大出版社杯”第十三届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目A (B)题密封号2012年5月2日剪一一一一切一一一一线密封号2012年5月2日西北工业大学明德学院第 43 队队员1队员2队员3姓名牛小春胡园园宋锋涛班级145003164001164001西北工业大学明德学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料

2、（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：所属院（系、部）（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 日期：年月日装一一一一订一一一一线公园内道路设计问题摘要：本文研究的是最最短路线设计问题，通过道路设计来探求如何使得新修路总路程最小。通过检验与分析得出适合的方案解决该问题，之后结合实际情况对上述模型进行科学误差分析，并分析所用算法的复杂性与实用性。针对问题一题目中

3、给出了公园内确定4个固定道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)， C(120,40)，D(115,70)，要求我们为公园设计最短的通行路线，即从驻点出发，经过每个拐点之和最短，可以考虑运用Dijkstra算法求解此问题。按照符合的条件，可以考虑以任意两点之间的最短距离为最短路径模式，利用Matlab软件编程得出所有点之间的相互距离构成距阵。通过从一点开始依次选取距离最短的点，将会得到一条路径，同时应用题中的要求条件进行模型修改与确定，从而保证最优解，即最短的路径路线。这样就会为这个公园设计出最短的路径线路。针对问题二本问题的目标是在公园内拐点不限制不确定的条件下设计最短路

4、径的方案，以对称美为观点设计出最佳找点方案，把花园平均分成n块，应用模糊层次法以任意两点之间的最短距离为权重，从每块园地中找出权重最大的点，接下来同样运用问题一所建的模型，通过模型二中的权重值选取出“最短距离”，建立模型二，同时依任意两个入口相连，使总的道路长度和最小，要求任意两个入口之间的最短路长不大于两点连线的1.4倍为主要修改条件，经过模型的检验修改，适当的舍取有效点，从所有模型中选择出最佳的方案即可。针对问题三由题意知此题仍为最短路问题，现在在公园内加一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可到达湖四周的边，自然而然的想到图论中Dijkstra算法，根据模型二所求出的模型

5、进行为基础，我们可以考虑设定原则：仍然以最短路径为原则。重复问题二的建模过程，通过模型二中的权重值选取出“最短距离”拐点，修改不符合问题三条件的模型同时与符合条件三的模型进行对比与择优，选择出最佳的设计方案。之后结合实际情况对上述模型进行科学误差分析，并分析所用算法的复杂性与实用性，同时对上述解决最短路问题所采用的算法进行评价，使公园建设者的问题有更深一步的理解。关键字：公园内道路设计最短路径Dijkstra算法模糊层次法Matlab一问题的重述B题公园内道路设计问题现在西安某大学计划要建一个矩形或其他不规则图形公园，为美化校园环境，同时为学生提供更加舒适温馨的生活条件。公园计划

6、有若十个入口，现在需建立一个模型去设计道路路径，需要按下面要求制定可行方案：（1）使任意两个入口相连，使总的道路长度和最小，前提要求是任意两个入口之间的最短路长不大于两点连线的1.4倍。（2）要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其他地方.（3）可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长（4）画出道路设计，计算新修路的总路程。（5）对算法作复杂性、可行性分析（6）关于最短路径问题提出对所采用的算法的理解及评价。（7）主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园，其相关数据为：长 200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别

7、为：V（20 0）， v（50 0），v （160 0），v （200 50）， v （120 100）， v123456（35 100） v （10 100）， v （0 25）示意图见图1问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A（50,75），B（40,40），C（120,40）， D（115,70）。如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计，计算新修路的总路程。问题二：现在公园内道路可任意修建，如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总路程。问题三：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路

8、不能通过，但可到达湖四周的边，示意图见图3。重复完成问题二的任务。其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。它点。7.65100 _+坦*加- 了 6580 -70 -60 -50 -.土 440 -30 -812s11111-2o- 810 -1270十I y IIIII*。.02040 6080 1UU 120140160180200图1公园及入口示意100908070605040R1R2R4R330 -20 -10 -Q Ij|fIIIIII020406080100120140160180200图3有湖的示意图二模型的假设

9、与符号约定假设一：公园为矩形状（且公园内路可任意修建路径适用于问题二）不考虑每条路能容纳的人流量问题假设二：公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。假设三:任意两个入口相连，使总的道路长度和最小，前提要求是任意两个入口之间的最短路长不大于两点连线的1.4倍假设四：公园为一矩形且每个入口与节点之间的路线均为直线路径.假设五：根据距离模型可知距离与入口大小无关，所以可将各入口可视为点，把路视为直线。假设五：根据现实生活的规律和要求，公园内的拐点最好控制在十个以内。设v （20 0）， v （50 0），v （160 0），v （200 50）， v （120

10、 100），12345V （35 100） v （10 100）， v （0 25）678L一两点间的距离长度Di总路程的长度vi 第i个点的坐标一方正的特征值W方正的特征向量K表示坐标的的个数n一坐标的位置数三模型的分析3.1问题一题目中给出了公园内确定4个固定道路交叉点为：A(50,75), B(40,40), C(120,40), D(115,70)，要求为公园设计最短的通行路线，即从驻点出发，经过每个拐点之和最短，可以考虑运用Dijkstra算法求解此问题。按照符合的条件，可以考虑以任意两点之间的最短距离为最短路径模式，利用Matlab软件编程得出所有点之间的相互距离所组成的距阵

11、。通过从一点开始依次选取距离最短的点，将会得到一条路径，同时应用题中的要求条件进行模型修改与确定，从而保证最优解，即最短的路径路线。这样就会为这个公园设计出最短的路径线路。 3.2问题二本问题的目标是在公园内拐点不限制不确定的条件下设计最短路径的方案，以对称美为观点设计出最佳找点方案，把花园平均分成n块，应用模糊层次法以任意两点之间的最短距离为权重，从每块园地中找出权重最大的点，接下来同样运用问题一所建的模型，通过模型二中的权重值选取出“最短距离”，建立模型二，同时依任意两个入口相连，使总的道路长度和最小，要求任意两个入口之间的最短路长不大于两点连线的1.4倍为主要修改条件，经过

12、模型的检验修改，适当的舍取有效点，从所有模型中选择出最佳的方案即可。3.3问题三由题意知此题仍为最短路问题，现在在公园内加一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可到达湖四周的边，自然而然的想到图论中Dijkstra算法，根据模型二所求出的模型进行为基础，我们可以考虑设定原则：仍然以最短路径为原则。重复问题二的建模过程，通过模型二中的权重值选取出“最短距离” 拐点，修改不符合问题三条件的模型同时与符合条件三的模型进行对比与择优，选择出最佳的设计方案，建立出切实有用的模型方案，为建设者提供参考依据。之后结合实际情况对上述模型进行科学误差分析，并分析所用算法的复杂性与实用性，同时

13、对上述解决最短路问题所采用的算法进行评价，使公园建设者的问题有更深一步的理解，最后把模型推广应用与现实中，解决多种现实生活中的问题。四模型的建立4.1最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图(w. 0)的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的，该算法能够解决两指定点间的最短路，也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford提出了 Ford算法，它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中

14、，我们所遇到的问题大都不含负权，所以我们在(七 0)的情况下选择Dijkstra算法。定义1若图G=G(V，E)中各边e都赋有一个实数W(e),称为边e的权，则称这种图为赋权图，记为G=G(V，E,W)。定义2若图G=G(V，E)是赋权图且W (e ) 0, e e E (G ),若u是匕到y .的路W (u )的权，则称W (u )为u的长，长最小的y到y.的路W (u )称为最短路。若要找出从y到y的通路u，使全长最短，即min W (u )=Z W (e )。ej u4.2最短路问题算法的基本思想及基本步骤在求解网络图上节点间最短路径的方法中，目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉

15、(Dijkstra)算法。这两种算法中，网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图，并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时，以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。Dijkstra算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。其中一种方法就是每次以一个结点为源点,重复执行Dijkstra算法n次。Dijkstra算法基本步骤：令：s = y., i = 1, s = y , y ,yj、 W(y)=0T (y )=3,y . e s1、求min(y ),W (y

16、)+ w = T (y )。min t(y )J2、求 min T (y )得 T (y )，使 T (y )=ky je s令W (v )= T (v )3、若v = v则已找到v到v的最短路距离W (v )，否则令i = k从s中删去v转1 k n1 nki这样经过有限次迭代则可以求出vi到v的最短路线，可以用一个流程图来表示：令*(%)=),成 =gj = l,j = 235 =临】=四峪，# 义、欧(v) + w =Tw ,v e smmgw)，从;中删去士 n j |上=冉？ |. 日陟(i? ) = min陟(u)第一步先取W (v )= 0意即v到v的距离为0,而T(v )是对

17、T (v )所赋的初值。1i iji第二步利用W (v )已知，根据min t (v ),W (v )+ w 对T (v )进行修正。1jiHj第三步对所有修正后的T (v )求出其最小者T (v )。其对应的点v是v所能一步到 ikk 1达的点v.中最近的一个，由于所有W (u ) 0。因此任何从其它点v.中转而到达vk的通路上的距离都大于v1直接到vk的距离T (v )，因此T (v )就是v1到裂.的最短距离，所以在算法中令W (v )= T (v )并从s中删去v ,若k=n则W (v ) = W (v )就是v到v的最短路线,kkkkn1 n计算结束。否则令v, = vk回到

18、第二步，继续运算，直到k=n为止。这样每一次迭代，得到v到一点v的最短距离，重复上述过程直到v = v。1kk n五模型的求解与检验修改5.L在公园最短路径首先求v到v的距离最小，然后依据题意不大于一点四倍要求进行修改。下图为每两点之112间的最短距离矩阵，（运行程序见附录1）（ v9 （50 75）,七(40 40), v (120 40),v (115 70)v1v2,4v5v6v7v8v9v10v11v1- 12v v v v v v23456730.0000 140.000 186.8154141.4214101.1187100.4988 32.0156v980.7775v10v11v

19、1244.7214 107.7033118.004230.00000110.0000158.1193122.0656101.1187107.7300 55.9017140.0000110.0000 075.000041.2311 80.622695.524964.0312 107.7033160.0781180.2776161.9413133.1353126.491156.5685186.8154158.113964.0312094.3398172.4094196.4688201.5564152.0091160.312280.6226141.4214122.0656107.7033 94.33

20、980101.1187101.1187160.0781172.4694 85.0000100.4988107.7033180.2776196.4688110.00085.000025.000032.0156 55.9017 161.9413201.5564141.5097 82.764783.216687.3212110.000 141.5097 74.3303 100.000060.0000 30.413825.000082.764729.1548 60.2080104.043385.440(75.663780.7775 75.0000 133.1353152.0691 74.3303 29

21、.1548 47.169944.7214 41.2311 126.4911160.3122100.0000 60.2080 67.082075.663747.169967.0820125.2996109.201670.710742.7200120.9339123.490970.710742.720036.4005107.7033 80.6226 56.5685 80.6226 60.0000 104.0433125.2996120.9339 78.262436.400580.0000118.004295.5249 83.2166 87.3212 304138 85.4400 109.20161

22、23.4909 65.1920 80.777578.2624 65.192080.000080.777530.413830.4138可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长,因此上述矩阵可优化为下列矩阵：vvv123v0001v0002v000v：v5v v v v v186.8154141.4214101.1187100.4988 32.0156158.1193122.0656101.1187107.730055.9017186.8154158.113964.0312v980.777575.0000v10v11v1244.7214 107.7033

23、118.004241.2311 80.622695.524964.0312 107.7033160.078 180.2776161.9413133.1353126.491156.568583.216694.3398172.4094196.4688201.5564152.0091160.312280.622687.3212141.4214122.0656107.7033 94.3398141.5097 74.3303 100.000060.0000 30.4138v6v7v8v 9v10v11v1- 12101.1187101.1187160.0781172.4694100.4988107.70

24、33180.2776196.468882.764729.1548 60.2080104.043385.440075.663747.1699 67.0820125.2996109.201632.0156 55.9017 161.9413201.5564141.5097 82.76475.663770.710742.7200120.9339123.490980.7775 75.0000 133.1353152.0691 74.3303 29.1548 47.169944.7214 41.2311 126.4911160.3122100.0000 60.2080 67.082070.710742.7

25、20036.400578.2624 65.192036.400580.00008Q7775107.7033 80.6226 56.5685 80.6226 60.0000 104.0433125.2996120.9339 78.262480.000030.4138118.004295.5249 83.2166 87.3212 30.4138 85.4400 109.2016123.4909 65.1920 80.777530.4138(0)设W (v ) = 0, T (v )=8 , v G s(1)第一次迭代7s = v , v , v , v , v , v v v v v v ,234

26、567 8 9 10 11 12计算T (%.) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 如下T (v )= min t (v ), W (v ) + w = min 3,0 + 0 = 0T (v )=3mint (v ),W (v )+ w = min 3,0 + 0)= 0T (v) =mint(v),W(v)+w=min3,0 + 186.8154 = 186.8154T (v) =minT(w), W(v)+w1=min3,0 +141.4214 = 141.4214T (v)=minT(v),W(v)+w1=min3,0 +101.1187 = 101.

27、1187T (v7 )=minT(v7), W(v1)+w17=min3,0 + 100.4988 = 100.4988T (v )= minT(v), W(v)+ w1 = min3,0 + 32.0156 = 32.0156T (v )= minT(v),W(v)+ w1= min3,0 + 80.7775 = 126.4911T (v ) = minT (v ),W (v )+ w1 1 = minT (v ), W (v )+ w = minT (v ), W (v )+ w1 1 = minin T (v )= 0 = T (v )，令W (v )= T (v )= 03,0 + 4

28、4.7214 = 133.1353T (v 1 ) = minT (v ) = min取min j广s3,0 +107.7300 = 107.70333,0 +118.0042 = 118.0042由于 k = 2 (n = 12 )，令 s = v , v , v , v , v , v , v , v , v , v , i = 10 转3456789101112第二次迭代: 算T (v ), j = 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 如下T (v )= min T (v ), W (v )+ w = 0又有T (v ),T (v),T (v ),T (v),T (v),T(v

29、),T (v),T(v),T(v)0456789101112取 min (v )= 0 = T (v )令 W (v )= T (v )= 0_v j G S由于k = 3 u(n = 12)，令s = v ,v , v ,v ,v ,v ,v ,v ,v i = 9 转(1) 456789101112第三次迭代：算T (vj ), j = 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 如下T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 64.0312T (v ) =min T (v ),W (v )+ w = 107.7033T (v ) =min It (v ),W

30、(v )+ w = 160.0781T (v ) =min t (v ),W (v )+ w = 180.2776T (v )= min t (v ), W (v )+ w = 161.9413T (v ) =min t (v ), W (v )+ w = 126.4911T (v ) =min T (v ), W (v )+ w. = 133.1353T (v ) = min T (v11 ), W (v3 )+ w311 = 56.5685T (v )= min T (v ),W (v )+ w , = 83.2166 取min (v )= 56.5685 = T (v ),W (v )

31、= T (v )= 56.5685_v j G S 由于k = 4 (n = 12)，令s = vv ,v v v v v v i = 8 转(1) 4 56 7 8 9 10 12第四次迭代：算T (v.), j = 4,5, 6,7,8,9,10,12 如下T (v) =minT(v),W (v)+ w= 64.0312T (v)=minT(v),W (v)+ w= 107.733T (v) =minT(v), W (v)+ w= 160.0787T (v) =minT(v),W (v_)+ w= 180.2776T (v) =minT(v),W (v)+ w= 161.9413T (v

32、) =minT(v),W (v)+ w= 126.4911T (v ) =min T (v ),W (v )+ w = 133.1353T (v ) =min T (v ), W (v )+ w = 83.2166取 min (v )= 64.0312 = T ( ), W ( )= T ( )= 64.0312 _v j G S前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。Lv v +v v Lv v (所以取次解下方去掉v跳空k=7)114 +L 311344min f (v )= 83.2166 = T (v ),W (v )= T (v )= 83.2166 v

33、, G S由于k = 5 (n = 12)，令s = v , v , v , v , v ,v , v 转(1) 45678910第五次迭代：算 T (v ), j = 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 如下T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 107.733T (v . ) = min T (v 6 ),W (v )+ w 6 = 149.4712T (v ) = min T (v ),W (v )+ w = 180.2776T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 161.9413T (v ) = min T (v ),W (v )+ w

34、 = 126.4911T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 133.1353 min (v )= 107.733 = T (v ),W (v )= T (v ) = 107.733 v , G S 由于k = 7 u(n = 12),令s = v ,v ,v ,v ,v 转(1) 678910第六次迭代：算 T (v ), j = 6, 7, 8, 9,10 如下T (v 6 )= min T (v 6 ),W (v )+ w 6 = 107.733T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 180.2776T (v ) = min T (v ),W

35、 (v )+ w = 161.9413T (v )= min t (v ),W (v )+ w = 126.4911T (v )= min t (v ),W (v5 )+ w5 = 133.1353min t (v )= 107.733 = T (v ),W (v )= T (v ) = 107.733 v j G S由于k = 8 头(n = 12),令s = v ,v , v , v 转(1) 78910第八次迭代：算 T (v,), j = 7,8,9,10 如下T (v )= min T (v ),W (v 6 )+ w 6 = 107.733T (v )= min T (v ),W

36、(v 6 )+ w 6 = 161.9413T (v ) = min t (v ),W (v 6 )+ w 6 = 126.4911T (v )= min t (v ),W (v 6 )+ w 6 = 133.1353 min (v )= 107.733 = T (v ),W (v )= T (v ) = 107.733 v j G S 由于 k = 9 (n = 12 ),令 s = v8, v9, v10 转(1) 第九次迭代：算T(vj),j = 8,9,10 如下 T (v ) = min T (v ),W (v )+ v = 161.9413T (v )= min T (v ),W

37、 (v )+ w = 126.4911T (v ) = min t (v ),W (v )+ w = 133.1353 min t (v )= 126.4911 = T (v ), W (v ) = T (v )= 126.4911_ v j G S 由于 k = 10 (n = 12 ),令 _ = v , v 转(1)第十次迭代：算T (v .), j = 8,10如下T (v ) = min T (v ),W (v )+ w = 161.9413T (v )= min T (v ),W (v )+ w = 133.1353 min (v )= 126.4911 = T (v ), W (

38、v )= T (v )= 133.1353_v j G S 由于k = 11 丰(n = 12),令s = v 转(1)8第十一次迭代：算T (vj), j = 8,如下直接连接v 8k = 12 = (n = 12 )模型修改设计：公园计划有若十个入口，现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍，连接v与v，拆开v与v，连接(v与v)和(v与v)， 817969112又因为Lv v v Lv v Lv v Lv v所以连接(v与v)和(v与v)得到3 444 114 124 53445图形如下(1-1)总路程D0=L

39、v v+Lv v + Lvv + Lv v+ Lv v + Lv v+ Lv v + Lv v + Lvv + Lv v + Lvv + Lv v +2 33 1111 125 125 66 76 99 108 101 83 4Lv v + Lv v = 0+0+56.5685+30.4138+30.4138+0+0+47.1699+36.4005+42.72004 122 11+32.0156+64.0312+87.3212=396.64075.2问题二：随机层次模型首先应运matlab软件计算八个路口连线的交点如下图2-0-1与图2-0-2,图 2-0-1图 2-0-2所有点中每两个交点之

40、间的距离构成方阵，见附录2.1.以及计算方正的人=52.3542,且w近似等同于园内点到八个门的距离和的相反数=-sum（-701.8748，-693.7398，-690.7496，-690.3024，-750.6453，-657.2159，-686.7018，-681.0397，-672.5314，-647.8082，-664.8845，-654.1189，-666.4217，-658.9249，-695.1716，-707.3479，-707.7718，-711.6201，-718.4499，-651.8877，-653.7162，-651.3848，-642.9415，-600.6988

41、，-611.038，-643.2454，-804.9903，-658.5197，-653.1600，-649.9547-651.194，-699.0817，-658.8019，-676.9393，-661.5884，-709.6091，-694.7278，-668.4505，-677.8706，-714.3453，-712.6706，-721.2807，-716.6848，-760.8108，-773.3493，-786.2847，-785.6708，-826.1766，-761.8045，-761.8045）。CI=（人-n）/（n-1）=0.0480CR二CI/RI=0.0480/1.1.

42、73=0.02770.1一致性检验通过，上述权重可以作为权向量。分别重复上述第一问的计算过程，为了美化公园同时又可以为其学生提供更好的生活条件，尽可能选取的拐点分居公园的两侧，体现对称并且拐点个数为偶数，不宜多于10个拐点，选取n个拐点时把公园平均分成n分，使的每份园地拥有一个拐点。从上述w分别选取分居于各地权重最大的点；并通过验证修改可得到如下图。（运行程序见附表2,么个图形相对权重矩阵附录2.4）拐点取2的模型（如下图2-1）（园内左边点为七，右边点为七。）交叉点的坐标V （45 30）, v （92 82）Dl = Lv V + Lv V + Lv V + Lv V + Lv

43、v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v 1 22 33 44 55 66 71 86 96 101 95 10+ Lv v + Lv v =0+0+64.0312+94.3398+0+0+32.0156+70.7107+59.7746+39.0512+3 1010 933.2866+92.3103+70.0928=555.6128拐点取4的模型建立修改后（如下图2-2）（公园内左点为v10，右点为v11）图2-2交叉点坐标V （4251），V （103 75）D2= Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + Lv v + 1 22 33 44 55 66 71 87 101 1011 10Lv V + Lv v =0+0+64.0312+94.3398+0+0+32.0156+58.5235+55