【教学课件】第三章平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,要点,用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,1.多项式解答,2.矩形梁的纯弯曲,3.简支梁受均布载荷,主 要 内 容,（1）,逆解法,（1）,假设满足相容方程的(x,y)的形式；,（2）,主要适用于简单边界条件的问题。,求出应力分量（具有待定系数）；,（3）,利用边界条件和边界几何形状，考察应力函数(x,y)对应什么样的边界面力，得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（2）,根据 与(x,y)的关系及，求出(x,y)的形式；,（3）,求出，并让其满足边界

2、条件和位移单值条件。,一.求解方法 逆解法与半逆解法,二.多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中：a、b、c 为系数。,检验(x,y)是否满足相容方程：,显然(x,y)满足相容方程，因而可作为应力函数。,1.一次多项式,（1）,（2）,对应的应力分量：,（不计体力：X=Y=0）,（3）应力边界条件,得,结论1：,（1）,（2）,一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2.二次多项式,其中：a、b、c 为系数。,(假定：X=

3、Y=0),相容方程,（1）,(可作为应力函数),（2）,应力分量：,2c,2c,2a,2a,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。,（3）边界条件,(a 0,b 0,c 0),试求图示板的应力函数。,例：,3.三次多项式,a 为系数,相容方程,（1）,(可作为应力函数),(假定：X=Y=0),（2）,应力分量,（3）边界条件,结论3：,对应于线性应力分布，矩形截面梁的纯弯曲。,（3）边界条件,（确定常数 a 与弯矩 M 的关系）,三.矩形梁的纯弯曲（不计体力）,相容方程,（1）,设应力函数,满足,（2）,应力分量,上下边界；,精确满足,左右边界；,满足,满足,说明：,(1),组成梁端力偶 M

4、 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。,可见：此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,四.位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出应变分量、位移分量？,1.应变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（1）应变分量,(a),将式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),将式（c）前两式积分，得：,(d),将式(d

5、)代入(c)中第三式，得：,式中：,为待定函数。,整理得：,（仅为 x 的函数）,（仅为 y 的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中：为常数。,积分上式，得,将上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),讨论：,式中：u0、v0、由位移边界条件确定。,当 x=x0=常数,u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面,材力中“平面保持平面”的假设成立。,（2）,说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即,材料力学中挠曲线微分方程,2.位移边界条件的利用,（1）两端简支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,梁

6、的挠曲线方程：,与材力中结果相同,按应力求解的应力函数法基本方程：,（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,五.简支梁受均布载荷,要点,用半逆解法求解梁、长板类平面问题。,1.应力函数的确定,(1),分析：,主要由弯矩引起；,主要由剪力引起；,由 q 引起（挤压应力）。,又 q=常数，不随 x 变化。，不随 x 变化。,假设：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b),任意的待定函数,由 确定：,代入相容方程：,2

7、.相容方程,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立,即有无穷多个根，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。故：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),(c),(d),将(c)(d)代入(b)，有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,(e),3.应力分量的确定,(f),(g),(h),4.对称条件与边界条件的应用,（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：,x 的偶函数,x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,（2）边界条件的应用：,(a)上下

8、边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,(i),(j),(k),(b)左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）,难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力 N=0；,弯矩 M=0；,剪力 Fs=ql；,可见，这一条件自动满足。,(p),截面上的应力分布：,4.与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽：b=1,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式(p)，有,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h/l1，该项误差很小，可略；当 h/l较大时，须修正。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（3）,与材力

9、中相同。,注意：,梁的左右边界存在水平面力：,说明此应力表达式在两端不适用。,解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式，求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式，求得应力分量。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平

10、面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,（平面应力）,（平面应变）,（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程

11、求出其余未知量。,基本方程：,位移表示的平衡方程,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未知量，将基本方程用只有 的3个方程，从中求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,平衡方程,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,位移边界条件,应力边界条件,边值条件,（3）两类平面问题物理方程的互相转换：,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,（4）边界条件,位移边界条件,应力边界条件,（5）按应力求解的应力函数法基本方程：,（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函

12、数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）,(平面应力情形),(平面应变情形),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形：,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（次要边界）；,