【教学课件】第3章量子力学导论.ppt

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1、原子物理学,第三章,量子力学导论,An Introduction to Quantum Mechanics,教材:原子物理学,杨福家,高教社,2008第四版制作:红河学院理学院 Zhu Qiao Zhong,2,目录,3,第三章量子力学导论,1.了解戴维孙-革末实验和双缝干涉实验；理解玻尔理论的困难。2.掌握波粒二象性、德布罗意假设、海森堡不 确定关系等基本概念、原理和关系式。3.掌握量子力学的两个基本假设：波函数和薛 定谔方程。,【教学目的】,波粒二象性；波函数的统计诠释；不确定关系概念的建立。,【教学重点】,【教学难点】微观粒子的波粒二象性；不确定关系；波函数的统计解释。,4,3-1玻尔理

2、论的局限性,玻尔量子理论打开了认识原子结构的大门,取得成功.但它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识.,玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点,把经典力学的规律用于微观粒子,使其理论中有难以解决的内在矛盾,故有重大缺陷.,如：为什么核与电子间的相互作用存在,但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？,薛定谔的非难,“糟透的跃迁”,在两能级间跃迁的电子处于什么状态？,5,玻尔理论的“缺陷”,1.不能证明较复杂的原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱；2.不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；3.不能解释氢光谱的精细结构；4.只能处理周期运动不能处理非束缚态问题,如

3、散射问题；5.不能自洽.在理论上,能量量子化概念与经典力学不相容.（有人为的性质,物理本质还不清楚）,6,19世纪末,物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段.主要表现在以下两个方面：(1)应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动.牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果.1897年汤姆逊发现了电子,这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子.(2)光的波动性在1803年由托马斯.杨的衍射实验有力揭示出来,麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上.,经典物理学的成功,7,进入20世纪后,经典物理学受到冲击.经典理论在解释一些新的试验结果上

4、遇到了严重的困难.,困惑的主要问题：1）黑体辐射2）光电效应 3）氢原子光谱,在物理学的危机中,量子理论,1905年爱因斯坦提出光量子概念.1913年玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解释了氢光谱.1925年泡利提出不相容原理,同年乌仑贝克、古兹米特提出电子自旋假说,很好地解释元素周期性、塞曼效应等一系列实验事实.至此形成的量子论称为旧量子论（有严重缺陷）.,经典物理学的困难,8,海森堡（德）WERNER HEISENBERG(1901-1976)获1932诺奖,玻恩（德）M.Born(1882-1970)获1954诺奖,薛定谔（奥地利）ERWIN SCHRODINGER(1887-196

5、1)获1933诺奖,狄拉克PAUL DIRAC(1902-1984)获1933诺奖,在波粒二象性思想的基础上,于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学,它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱.,9,微观规律与经典规律的比较1）量子化（连续无级）2）随机性（必然性、因果关系）3）模糊性（测量的宏观准确性）,索尔维会议（Solvay Conference）：,比利时物理学家和企业家欧内斯特索尔维于1911年创办,邀请世界著名的物理学家和化学家对前沿问题进行讨论.由于前几次索尔维会议适逢20世纪10年代30年代的物理学大发展时期,参加者又都是一流物理学家与化学家,使得

6、索尔维会议在物理学发展史上占据了重要地位.,爱因斯坦与玻尔,第五次会议主题为“电子和光子”,爱因斯坦以“上帝不会掷骰子”的观点反对测不准原理,而玻尔反驳道“爱因斯坦,不要告诉上帝怎么做.”波尔-爱因斯坦论战,10,第五次索尔维会议与会者合影（1927）与会的29人中有17人先后获得诺贝尔奖,11,1.经典物理中的波和粒子,经典物理学中波和粒子各自独立,在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象.,粒子可视为质点,具有定域性,位置可无限精确地被测定.有确定的质量、动量、速度和电荷等；,波可以在空间无限扩展,波有确定的波长和频率.波的波长和频率也能被精确测定(因为波不能被约束).,3-2实物粒子的

7、波粒二象性,12,1672年牛顿(英)提出光的微粒说.1678年惠更斯(荷兰)提出光的波动说.此后,两种学说长期论战.,光的波粒二象性,波动性：干涉、衍射、偏振粒子性：热辐射,光电效应,散射等,19世纪初,菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、衍射实验证实光的波动性,19世纪末麦克斯韦和赫兹证明光是电磁波,2.光的波粒二象性,1905年,爱因斯坦用光量子说解释了光电效应,提出光子的能量为,并于1917年指出光子有动量,光在传播时显示波性,在传递能量时显示粒子性.,(两者不会同时出现),13,3.德布罗意假设(1924),de Broglie,法(1892-1987)获1929年诺贝尔物理学奖

8、,“过去,对光过分强调波性而忽视它的粒性；现在对电子是否存在另一种倾向,即过分强调它的粒性而忽视它的波性.”,所有物质粒子均具有波粒二象性,“任何物质伴随以波,而且不可能将物体的运动同波的传播分开”.,德布罗意关系式：,不论粒子静质量是否为0,德布罗意关系式均成立.,14,h在物质的波性和粒子性间起着桥梁作用.在量子化和波粒二象性这两个概念中都起着关键作用.,德布罗意关系式通过h把粒子性和波动性联系起来.实际上,任何表达式中只要有h出现,就意味其具有量子力学特征.,15,*4.戴维孙-革末实验（1927）,(晶体对电子束的衍射,用于验证德布罗意波）,16,晶体晶面为点阵结构,德布罗意波散射和X

9、射线衍射类似,也满足布拉格公式.两反射的电子束,其相干加强条件：,理论解释,利用和,与实验结果相符!,17,X射线,电子束,电子双缝干涉图样,杨氏双缝干涉图样,戴维孙-革末电子散射实验观测到的电子衍射图样（相同）,18,1961年,C.约恩孙让电子束通过单缝、多缝的衍射图样（见右图）,1927年,G.P汤姆逊作了电子束透过多晶薄片的衍射实验,同样验证了电子具有波动性.（实验装置见右图）,电子束衍射图样,19,20世纪30年代后的实验发现一切实物粒子均有衍射现象,进一步证实了德布罗意假设的正确性.,质量为m,速率为v的实物粒子的德布罗意波长:,对于电子,当加速电压V不太大以致能量不太高时：,德布

10、罗意波长0.1nm时所对应的各粒子的动能,由上表知,讨论质量较重的粒子的德布罗意波已没意义!,20,例:计算经过电势差 U1=150V 和 U2=104 V 加速的电子的德布罗意波长（不考虑相对论效应）.,解:,据,加速后电子的速度为,据德布罗意关系p=h/,电子的德布罗意波长为,讨论：,21,朗之万:,除了思想的独创性外,德布罗意以非凡的技巧作出努力克服阻碍物理学家的困难.,爱因斯坦的支持:,德布罗意的导师朗之万将论文寄给爱因斯坦.爱因斯坦向来欣赏物理学中的对称性,而德布罗意的理论正是建立了这种光和物质的对称性.爱因斯坦称赞道“德布罗意揭开了大幕的一角”.,爱因斯坦写信将论文推荐给洛仑兹和玻

11、恩.他对玻恩说:“你一定要读它,虽然看起来有点荒唐,但可能是有道理的.”,物理学家对德布罗意的物质波的评价,22,玻恩回信说:“读了德布罗意的论文,渐渐明白他搞的是什么名堂,我现在相信物质波可能是很重要的.”,德布罗意的论文经爱因斯坦推荐后,引起物理学界的极大重视.薛定谔在朗之万的促使下阅读了德布罗意的论文.爱因斯坦也将论文推荐给他.在他给爱因斯坦的回信中写到:,“如果不是你的关于气体简并的第二篇论文硬是把德布罗意的想法的重要性摆在我的鼻子底下,整个波动力学就建立不起来.”,23,此前,玻尔据其角动量量子化条件导出氢原子的第一玻尔半径、能量和动量的量子化结果.以下介绍德布罗意将原子中的定态和驻

12、波联系起来,自然地得到角动量的量子化条件.,5.德布罗意波和量子态,电子的波长为,将此关系用于氢原子的电子.欲使电子稳定存在,与电子相应的波就必须是一个驻波,即电子绕核一圈后其位相不变.,氢原子中的电子相应的驻波示意图,要求圆周长是波长的整数倍,24,r,25,驻波条件,德布罗意把原子定态与驻波联系起来,即把粒子能量量子化和有限空间中驻波频率分立性联系起来.,只有驻波可被束缚起来；而驻波条件就是角动量量子化条件.,例：将玻尔第一速度v=c代入得到而 是折合电子康普顿波长的137倍,即第一玻尔半径a1故 所得的结果满足驻波条件.,26,设一个速度为v的粒子在宽为d的刚性盒子中作一维运动,由经典理

13、论知,粒子的动能和周期分别为：,6.一维刚性盒子中的驻波,用量子观点分析：此粒子要在盒内永存,其德布罗意波必为驻波,x=0,x=d必为波节.盒子宽至少为半波长.即波长必满足:,27,结论：1）被束缚粒子的动量和能量均呈量子化.2）只要粒子被束缚在某一空间（or势阱内）,粒子的最小动能不能为0.（即使在T0时）,事实上,若EK可为0,则要求x,这也说明粒子不可能被束缚住.,以上内容可归纳为：禁闭的波必然导出量子化条件.,所以，原子能级图中不存在E0的能级。,28,7.波和非定域性,氢原子实际上是一个德布罗意波被禁闭在库仑场中的情形.,假设电子在库仑场中是一简单的正弦波,匣子近似为刚性边界(V),

14、设匣子的线度是半波长,即粒子处于基态,在此假设下粒子的动能为：,以上考虑到匣内一周期的路程与圆周长对应(2d=2r),总能量为动能和势能之和：,29,0 r,假设的氢原子的波函数,实际的波函数,实际的势能函数,由,得电子最小半径：,进而可得氢原子基态能量：,所得结果与玻尔所给的结果相同！,30,表述和含义,不确定关系的常见形式：,3-3 海森堡不确定关系（1927）,31,“动量-位置不确定关系”的含义,含义：表示当粒子被限于x方向的一个有限范围x内时,它相应的动量分量必有一个不确定的范围px.换言之,假如x的位置完全确定(x0),则粒子相应的动量就完全不确定(px),反之亦然.,不确定关系揭

15、示了一条重要的规律：,粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量.,32,例:原子的线度约为 10-10 m,求原子中电子速度的不确定量.,解:原子中电子的位置不确定量 10-10 m=105fm,由不确定关系,得电子速度的不确定量为,讨论,氢原子中电子速率约为 106 m/s.与速率不确定量的数量级基本相同,因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定,也没有确定的轨道.,33,“能量-时间不确定关系”的含义,反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均寿命t 之间的关系.,E,寿命t,基态,电磁辐射,含义：若粒子在能量状态E只能停留t时间,则这段时间内粒子的能量状态并非完全确定,它有一

16、个弥散E/t.当粒子的停留时间无限长时(稳态),其能量才是完全确定的(E0).,基态:t;E0激发态:t10-8s;E10-8eV,34,“不能同时精确地测量”只是这一客观规律的一个必然结果.从这个意义上看,“测不准关系”这一名称不妥.,认为不能同时测准粒子的位置坐标x及相应的动量的解释是不确切的,易误认为不确定关系是测量过程的一个限制.,不确定关系在宏观世界不能得到直接体现,但它并不为0.,对“不确定关系”的进一步理解,35,基态氢原子的电子r1=0.053nm,p=mc.从不确定关系看,假定电子在r1范围内运动且位置确定,即x=r1,则相应的动量不确定度:,可见动量的不确定程度甚大,以致无

17、法确切说明在此范围内运动的电子动量为多大.,1)微观例子,36,2)宏观例子,一个10g的小球以10cm/s的速度运动,小球的瞬间位置可精确确定,如x=10-4cm(已是很高的精度),则相应的动量不确定度：,可见动量的不确定度甚小,目前没有任何方法可觉察,完全可忽略不计.,说明:教材中的此上两个例子均采用较为粗糙的不确定关系xph进行运算，因此所得结果与此有差异(相差1/4).,37,*2.不确定关系的简单导出,方法一：从经典波动理论导出,在实验上,可采取“拍”的方法测一个波的波长.两列振幅相同频率不同的波相干涉即形成“拍”.,由数学上的富里哀分析知,为得到一个位置确定的孤立波（波包）,须用多

18、个频率不同的波相叠加.,“观察”一个“拍”的时间：,式（1）表示,要无限精确地测准频率（0）就需要无限长的时间(t).,38,在t内波（波速为v）通过的路程为：,式（2）表示,要无限精确地测准波长(0),就需要在无限扩展的空间()中进行观察.,式（1）、（2）是从经典物理学的概念出发得到的.现将它用于微观粒子,将其与德布罗意关系相结合,则立刻产生了新的观念.,39,即得,同样的处理方法,有,这样即得不确定关系的一种表示形式：,40,方法二：从经典波的单缝衍射导出,确定中区位置的关系式：,决定中区旁各极小值的关系式：,实验表明,以上关系也适用于与电子对应的德布罗意波.,假如入射电子具有确定的动量

19、p,经过单缝（d=x）后,即使只考虑中心区(75%的电子落在此区域),也至少有psin的动量不确定性,即px psin,41,3.应用举例,1)束缚粒子的最小平均动能,设质量为m的粒子被束缚在线度为r的范围内,则,据统计规律,对于束缚在空间的粒子,其动量在任何方向的平均分量必定为0,即,故有：,束缚粒子的最小平均动能：,与上一节所得结论一致.说明此结论与形式无关,只要粒子束缚在空间（或称势阱内）,则粒子的最小动能就不能为0,即粒子不可能落到阱底.,42,2)电子不能落入核内,当电子距核的距离越来越近时,将从原子的线度（0.1nm）过渡到原子核的线度（1fm）,当电子距核越来越近时电子所需的平均

20、动能将越来越大,但电子无这样大的能量补充,故而电子不能继续靠近核,更不可能落入核内.,43,3)谱线的自然宽度,光谱线系中,电子在两能级间跃迁,在初能级上必有一固有寿命（能级寿命会受外界的影响）,即t不能无限长.按不确定关系,此能级必存在相应的宽度E,这正是谱线的自然宽度,已由实验证实.,例如：假定原子中某激发态寿命为,则,不确定关系的应用很多.,不确定关系反映的是微观世界的“精确性”.,44,4.互补原理(1927,由玻尔提出),一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念的应用,而“另一些经典概念”在另一些条件下又是描述现象不可缺少的.必须而且只须将这些互斥又互补的概念汇集起来,才能也定

21、能形成对现象的详尽无遗的描述.,海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性.玻尔的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性.,玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能在同一测量中同时出现,两个概念在描述微观现象时是互斥的,不会在同一实验中直接冲突.二者在描述微观时都是不可缺少的,它们是互补并协的.,玻尔的例子：在任一时刻我们只能看到银币的一面,而只有当银币的正、反两面都被看到后,才可能银币有完整的认识.,45,3-4 波函数及其统计解释,1.波粒二象性及几率概念,如果粒子在随时间和位置变化的力场中运动,它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）,粒子的状态就不能用平面波描写,而必须用较复杂的波描写,

22、一般记为：,46,错误看法1：“波由粒子组成”.认为波与水波,声波一样是由分子疏密变化而形成的一种分布.,与实验矛盾,不能解释长时间单个电子衍射实验.,电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长,底片上就呈现衍射花纹.这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象,单个电子就具有波动性.,波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子的波动性的一面,具有片面性.,事实上,正是由于单个电子具有波动性,才能理解氢原子中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象.,47,错误看法2:“粒子由波组成”,电子是波包：视电子为三维空间中连续分布的某种物质波包波包：各种波数（长）平面波的

23、迭加,因此呈现出干涉和衍射等波动现象.认为波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.,平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这是因为平面波振幅与位置无关.如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个空间,这是没有意义的,与实验事实矛盾.,实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内.例如在一个原子内,其广延不会超过原子线度（约1）.,48,电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波”“电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性的统一”波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念的粒子.,经典概念中:,“粒子”意味着：1）有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性；2）有确定的运动

24、轨道,每一时刻有确定的位置和速度.,“波”意味着：1）实在的物理量的空间分布,作周期性的变化;2）存在干涉、衍射现象,即相干叠加性.,49,1）入射电子流强度小显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样.2）入射电子流强度大,很快显示衍射图样.,电子源,感光屏,结论,电子的单缝衍射,衍射实验揭示的电子波动性是许多电子在同一实验中的统计结果,或者是一个电子在多次相同实验中的统计结果.,50,波函数正是为描述粒子的这种行为而引进的,在此基础上,玻恩（Born）提出了波函数意义的统计解释.,在单缝衍射实验中,电子的位置和动量至少有一个是不确定的,无法精确地预知电子落在屏的何处.但在不确定性中又有完全的确

25、定性,如电子落入中区的几率是完全确定的,为75%.又如处于能级宽度为E的微粒的寿命为,在时间内粒子何时衰变(或跃迁)完全不确定,但衰变几率是完全确定的.,波粒二象性必然导致统计解释,统计性将波和粒子这两个不同的经典概念联系起来.爱因斯坦于1917年引入统计性用于光辐射,而对于物质波,则是玻恩在1927年提出德布罗意波的几率解释.,51,2.波函数（or几率幅）,用波函数能确切描述粒子的运动状态,给波函数赋于一定的物理意义后,就能把粒子和粒子的波性这两种对立的属性统一起来.,经典波的振幅是可测的,而在一般情况下 是不可测的,可测的只是,量子物理学中最基本的观点是几率性的！,52,自由粒子不受力,

26、p及与其联系的也不变,是单色波.,一个自由粒子的波,平面单色波表示为：,式中、v、t 分别表示角频、波速 和时间,rn是原点到波面的垂直距离,是r和rn 的夹角,较为方便的复数形式为：,53,以上是用指数形式表示的沿任意方向传播的平面波函数.为使平面波与粒子对应起来而找出自由粒子的波函数,利用德布罗意关系并注意到,则,自由粒子的波函数一般表示为：,54,3.玻恩的统计解释,1）是描述粒子的量子状态的函数,2）几率（or:几率密度）,波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程.如有大量的粒子,那么某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比.（可与光进行类比）,在某处发现一个实物粒子的几率与的平方

27、成正比.若波函数用复数表示,则表示为：,在体积中发现一个粒子的几率为：,55,3）波函数的标准条件：,连续、单值、有限,因几率不会在某处突变,波函数必须处处连续.因在空间任意处只能有一个几率,波函数必须单值.因几率不能无限大,所以波函数必须有限.,不符合这三个条件的函数没物理意义,不代表物理实在.,56,电子数 N=7,电子数 N=100,电子数 N=3000,电子数 N=20000,电子数 N=70000,出现几率大,出现几率小,单个粒子在哪一处出现是偶然事件；,大量粒子的分布有确定的统计规律.,电子双缝干涉图样,57,量子力学中态的叠加与经典物理中波的叠加虽然形式相同但本质不同.两列经典波

28、可叠加导致一个新的波,但两个波函数叠加并不形成新的波函数.,4.态的叠加原理,态迭加原理是由微观粒子波粒两象性所决定的.,C1 1+C2 2（C1、C2均为复数）并非新的状态.体系处在 态时,可理解为既处在态1又处在态2,但不能肯定处在何态.,量子态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加,其干涉也是自己与自己的干涉,决不是两个粒子互相干涉.而且将导致在迭加态下测量结果的不确定性.,58,分析电子双缝干涉,通过单缝S1的电子处于1态；通过单缝S2的电子处于2态.双缝同时打开时电子处在态.双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态C1 1+C2 2,粒子处于态1和2的线性迭加态时,粒子是既处于1又处于态2.,

29、59,电子处于两态的几率分别为：,双缝同时打开时电子的几率分布为：,相干项,考虑到,则有：,60,量子力学中态的迭加,虽然在数学上与经典波的迭加原理相同,但在物理本质上却有根本的不同：量子态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加,其干涉也是自己与自己的干涉,决不是两个粒子互相干涉.而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性.,微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决定性规律.（牛顿：只要给出了初始条件,下一时刻粒子的轨迹是已知的,决定性的.）,波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点,只给出到达各点的统计分布.一个粒子下一时刻出现在什么地方,走什么路径是不知道的（非决定性的）.,61,电子半径

30、小于1016cm.到目前为至,人们在1016cm范围内尚未发现电子的更小结构.,欲“窥视”电子如何通过双缝,则须在双缝旁置一“光源”和“光探测器”.但人们经过各种条件、不同方式的反复实验与考虑,发现“观察效应使干涉消失”在原则上无法避免.,事实上,在1961年前,单缝衍射和双缝干涉实验都为“假想实验”,即在承认电子具有波性的前提下设想一定存在电子的衍射和干涉现象.1961年,约恩孙才巧妙地通过实验获得电子的衍射和干涉图样.而清晰的电子双缝干涉实验在1989年完成.,62,理查德菲利普费曼（R.P.Feynman)（1918-1988）美,因在量子电动力学方面的成就获1965诺贝尔物理学奖,这些

31、实验,都是用任何经典方法所绝对不能解释的,但是,量子力学的核心正是包含在这些实验之中.,63,5.波函数服从的几个规则,规则1（几率幅叠加规则）：假如在if 间有n种可能的跃迁方式,则跃迁几率幅是各种可能发生的跃迁几率幅之和.即,此规则为态的叠加的一条基本原理.费曼称其为“量子力学第一原理”.至今无法从更基本的观念将其导出）,规则2（独立事件的几率相加律）：假如在if 间有n个独立的末态,则跃迁几率等于到达各末态的跃迁几率之和.即,64,规则3：假如在if间有某一中间态,则跃迁几率幅等于分段几率幅之积.即,规则4：假如一独立体系中的两个粒子同时跃迁,则体系的跃迁几率等于两粒子几率幅之积.,（规

32、则3、4均系独立事件的几率相乘律）,65,1.薛定谔方程的建立(1926),3-5 薛定谔方程,“我的朋友德拜要求有个波动方程,诺,我找了一个.”,设一个非相对论自由粒子(m、p）在势场V(x)中作一维运动,则粒子的能量为：,考虑到,则有,粒子的波函数平面波形式;(1)的解：,66,任务：找到与(1)一致的方程,且在V(x)=0时得到其解(2),当V(x)=0时,或：,67,当V(x)=V0(常数)(即不存在作用力)时，式（2）是方程,的解且与式（1）一致.,推广到一般的势场V(x)即得一维薛定谔方程：,将其与经典关系式（0）比较,知作了如下的变换：,将其作用到波函数上即得式（3）,68,薛定

33、谔方程的一般表达式,当势场V(x)=0时自由粒子的解为：,将其与经典关系 比较,知作了如下的变换：,薛定谔方程不能从更基本的假设中推导出来,是量子力学的基本方程,其正确性只能靠实验检验.事实上,可把式(4)、(5)、(6)视为量子力学的基本假设.,69,当V(r)不显含时间t时,用分离变数法对薛定谔方程(4)求特解即得定态薛定谔方程.,将波函数写成：,2.定态薛定谔方程,代入式（4）后两边除以 T得：,于是有：,式中E是与r、t无关的分离常数,具有能量的量纲,70,式（8）的解为：,把常数T0归到的常数中,则得到定态波函数：,解定态薛定谔方程的一般步骤：1）首先分区,找出问题中势能函数的具体形

34、式；2）建立薛定谔方程并求出通解；3）根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数.,71,3.应用举例,例1.一维无限深势阱(or:无限高势垒),0 d x,在一维无限深势阱中运动的粒子势能函数为：,势阱内体系满足的薛定谔方程为：,令:,则方程为：,其解为：,72,显然,由归一化条件：,注意有效区域！,归一化波函数：,分析方程的解：,73,一维无限深方势阱中粒子的波函数,粒子在势阱中的很象两端固定弦的驻波波形,其波长随能级的增高而缩短.,粒子出现的几率：n=1时,极大值出现在中间；n=2时,中间为0,两旁各有一个极值；,n 很大时,相邻波腹靠得很近,接近经典力学各处概率相同.,n+1个节点,7

35、4,一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,75,例2：一维有限深势阱,在阱内的解已由例1给出,此处不予考虑,在一维有限深势阱中运动的粒子势能：,其中,在阱外,体系满足的薛定谔方程为：,由波函数的有限条件可得两个解：,76,可见,在EVd时,粒子有一定几率出现在阱外,粒子的动能在势阱边界发生变化,而动能的变化相当于波长的变化,说明粒子在阱的边界既有反射又有透射,这与经典物理观点有根本差异.,77,例3.隧道效应(方势垒的贯穿),在方势垒中运动的粒子势能：,利用一维定态薛定谔方程分区域求解,区域,V=0：,其中,其解是正弦波：,78,区域,VV0E：,其中,其解为：,区域与区域1类同,其

36、解为：,有关常数由波函数的连续条件和归一化条件确定!,79,V0：势垒高度；Dx2-x1：势垒厚度.,讨论：,(1)EV0,入射粒子并非全部透射进入区,仍有一定几率被反射回区.(2)EV0,入射粒子仍可能穿过势垒进入区.（“隧道效应”）(3)D和E的变化对P十分灵敏.,伽莫夫首先导出此关系式,并用于解释原子核的衰变.,方势垒贯穿过程的波函数,贯穿几率（透射系数）,0 x1 x2 x,80,1982年,苏黎世的宾尼、罗雷尔等人研制成功世界上第一台新型的表面分析仪器扫描隧道显微镜(STM).使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态,研究与表面电子行为有关的物理和化学性质,在表面科学、

37、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景STM的分辨率在水平方向可达0.1nm,垂直方向可达0.01nm,它的出现标志着纳米技术研究的一个重大的转折,甚至可以标志着纳米技术研究的正式起步,这是因为STM具有原子和纳米尺度的分析和加工的能力,STM是利用量子隧道效应工作的.若以金属针尖为一电极,被测固体样品为另一电极,当他们之间的距离小到1nm左右时,就会出现隧道效应,电子从一个电极穿过空间势垒到达另一电极形成电流.隧道电流对于间距的变化非常敏感.,*应用实例1：隧道效应和扫描隧道显微镜STM,81,恒高模式（保持针尖高度恒定）：针尖在被测样品表面做平面扫描时,即使表面仅有原子尺

38、度的起伏,也会导致隧道电流的非常显著的、甚至接近数量级的变化.这样就可以通过测量电流的变化来反应表面上原子尺度的起伏,这是它的基本工作原理.,恒流模式（常用的工作模式）：针尖扫描时,通过电子反馈回路保持隧道电流不变.为维持恒定的电流,针尖随样品表面的起伏上下移动,从而记录下针尖上下运动的轨迹,即可给出样品表面的形貌.,82,利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列.可以直接绘出表面的三维图象.,1981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜（STM）给出了晶体表面的三维图象.,高序石墨表面碳原子规则排列的STM图像（3nm3nm）,最小的广告IBM公司的科学家们在金属镍表面用35个惰

39、性气体氙原子组成“IBM”三个英文字母（1990）,83,被束缚在量子围栏内的电子的波函数,84,纳米神算子-分子算盘碳60分子每十个一组放在铜的表面组成了世界上最小的算盘,硅原子在高温下重构的图案,石墨表面通过搬迁碳原子而绘制出的世界上最小的中国地图,85,最初的原子钟频率标准就是利用氨分子(NH3)基态势垒贯穿的振荡频率.,氨分子(NH3)是一个棱锥体,N 原子在其顶点上,三个 H 原子在基底.如右图示.,如果N原子初始在N处,则由于隧道效应,可以穿过势垒而出现在N点.当运动能量小于势垒高度（如图中能级 E 所示）,则N原子在两个区域之间存在通过势垒的缓慢的振荡运动.振荡频率为2.3786

40、1010 Hz.这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动.,目前,最精确的铯原子钟的误差为2千万年不差1秒.,*应用实例2：原子钟（基本原理）,86,在自然界的问题中，十分普遍的谐振动一般可分解为若干彼此独立的一维谐振动。因此讨论一维谐振动有重要的意义。一维谐振动（振子质量为m,弹性常数为k）的能量：,设x0为粒子动能为0时的位置(转折点).则振子的能量和角频率分别为：,相应的的薛定谔方程为：,例4.一维谐振子势阱,87,此非常数微分方程的精确解为：,其中：,厄密多项式Hn(y)的某些表达式为,说明,普朗克量子化假设 En=nhv E0=0,量子力学结果：En=(n+1/2)h

41、v E0=hv/2,特点1.能量间隔等距,特点2.存在零点能,88,*3-6 量子力学中的一些理论和方法,量子力学的基本规律是统计性的,只具有几率的含义,因此对于任何物理量,只有求出与它对应的平均值后,才能与实验中观察到的量相比较.显然,相当于空间的几率分布.,1.平均值的求法,在经典物理中,欲求任意函数f(x)在定义域(0,l)范围的平均值.权重均值为：,定义域内的几率分布满足归一化条件：,量子力学中,位置测量的平均值为：（满足归一化条件）,89,推广：任何位置的可测量的函数f(x)的平均值为：,例如,动量的x分量px是可测的量,但px(x)写不出来,因为px(x)表示与每一特定的x有对应的

42、值,这是直接违反不确定关系的.,必须明确,在位置表象（即以位置x为自变量的空间）里,只对于f(x)存在的函数才可用上述方法求平均值.,90,现用的波函数是在坐标表象中,还可有别的表象,如动量表象等.在不同的表象中,力学量的算符不同.,2.算符：量子力学中力学量通常的形式,为在位置表象里求,只要把 换为就可依照式（1）的方法求出.,称为动量x分量的算符.推广到三维空间则有：,在势场中,一个粒子的动能与势能之和叫哈密顿量,在直角坐标系中的算符:,91,在数学中,算符的一般定义：,作用到一个函数f之后可把该函数映射为另一个函数g,即:,当函数f与g只差一个常数时即有:,f 称为本征函数,一般是一组数

43、,称为本征值谱.相应的方程称为本征方程.,若一个本征值只对应一个本征函数,则此本征值对应的状态是非简并的,否则就是简并的.若一个本征值对应n个本征函数,则此本征函数是n度简并的.,如力学量 在 态有数值A,则称 是 的本征函数,其本征值为A.可证明必定存在本征方程：,3.本征方程、本征值和本征函数,92,解此方程即可得到算符 的一套本征函数A和相应的一套本征值A.属于不同本征值的本征函数是正交的,即对于分属两个不同本征值的本征函数m和n,有：,本征函数的正交归一化条件可合并为：,一个粒子可有多个可测量,若某粒子处于力学量A的本征态,则测量A时可得到确定值.在本征态下测量其它力学量就不一定得到确

44、定值.,93,由于氢电子是微观粒子,具有波粒二象性,不能用经典力学的方法描述它.要正确地描述电子在氢原子中的运动,必须采用量子力学的方法.,1.氢原子中电子的薛定谔方程,氢原子体系是中心力场中的两体问题,应将电子质量m用折合质量替代.,*3-7 氢原子的薛定谔方程解,氢原子的势能（主要是电荷间的静电作用）：,由于是中心力场,角动量必守恒：,94,因氢原子体系呈球对称,电子势能也具有球对称性,因此用球极坐标 较为方便.其中三维薛定谔方程:,在球坐标系中,拉普拉斯算符为：,95,96,由于V（r）是中心力场,可采用分离变量法简化问题.,应用波函数的标准化条件和归一化条件,即可精确解得氢原子中电子的

45、波函数为：,径向波函数,球谐波函数,取核位于坐标原点则得定态薛定谔方程：,97,氢原子的问题可简化为下面三个常微分方程的求解.,在以上对方程的求解过程中，自然引入三个量子数：n、l、ml。有了它们的合理组合,才有合理解.,解得R(r)、()、(),将它们的乘积进行归一化后即可.,98,2.三个量子数及其物理意义,1）主量子数n:n=1,2,在求解方程(1)的过程中得出.,当能量E0时方程都有解,这时氢原子处于电离状态,电子没有受原子的束缚,因此E是连续的.,当能量E0时,欲使方程有解,E只能取分立值：,n：原子的能级.决定电子的能量、与核的距离-电子层的概念,99,2）轨道角动量量子数l:l=

46、0,1,2,(n-1),要使方程（1）有解,电子绕核的角动量L只能为：,l 的值常用英文小写字母代替：,轨道角动量量子数l 与电子运动角动量的大小有关,也决定了电子云在空间角度的分布的情况,即与电子云的形状有关。,l：原子轨道形状.在多电子原子中影响能量.(s-球形；p-双球形等)-电子亚层的概念,100,3）磁量子数ml:ml=0,1,2,l,为使定态薛定谔方程有解,角动量L在空间的取向不能连续改变,而只能取一些特定的方向,称为空间量子化.,L在外磁场方向的投影：,ml的取值说明角动量在空间的取向有（2l+1）种可能.,ml:原子各形状轨道（电子云）在空间的伸展方向数.一个ml对应着一个方向

47、.,101,为便于分析,常用一个经典图示（不够确切）来形象描绘微观角动量（如图示）,图(a)中,角动量L在z轴上的投影为m,此矢量以随机方位角落在2为顶角的锥面上.图(b)是l=1的角动量空间量子化图.,角动量的矢量模型,n、l相同但ml不同的轨道称简并轨道.,102,在量子力学中,电子的状态用波函数来描述,因波函数与上述几个量子数有关,因此可写成：,电子处在由n、l、ml决定的状态下,在 点出现的几率表示为：,3.波函数的几率密度,103,将上式对（0）、（02）积分,则可得到在半径（rr+dr）的球壳内找到电子的几率即径向几率密度（过程略）：,径向几率密度：,电子的几率密度随角度变化.电子

48、在附近的立体角d内的几率：,104,1）四个量子数描述电子的运动状态如:n=2表示第二电子层；l=1表示2p 能级,其电子云呈亚铃形；m=0表示2pz 轨道,沿z轴取向.ms=+1/2表示顺时针自旋.,4.电子运动状态的描述,105,电子云图的图形表示：上：电子云图中上：电子云界面图中下：电子云等密度图,3）电子云：核外电子在空间分布的形象表示,1s电子云图,106,1s、2s、2p电子云径向分布图,107,几种2（对应不同状态）,2随的分布示意图,2对应的轨道示意图（2 随的分布）,108,在经典物理中,两个同类粒子非全同粒子,因其位置互换后可区分出是两种不同的状态.,全同粒子的特性限制了波

49、函数.设有两个全同粒子的坐标分别为q1和q2,波函数为,两粒子互换后波函数为,粒子坐标的互换对波函数来说是一种数学运算,可用一个算符表示并作用于 使之变为,5.全同粒子:内禀属性完全相同的粒子,109,由于两个波函数描述的是同一量子态,它们之间最多只能差一个因子C,即：,此式表明C是算符的本征值,用 再运算一次得,此式表明必须有,正负号对应的分别是对称、反对称波函数.,110,全同粒子波函数的交换对称性质与粒子的自旋有确定的关系,玻色子：自旋量子数为整数(0,1,2,)的粒子.其波函数是对称的.如光子、粒子,一切具有偶数核子的核素、氢原子、4He原子等.,费米子：自旋量子数为半奇数(1/2,3/2,)的粒子.其波函数是反对称的.如正负电子、质子、中子、一切具有奇数个核子的核素、3He原子等.,111,在热平衡时,处于能量为E的量子态的平均粒子数即统计分布函数为：,“”适用于费米子,“”适用于玻色子；“”称为化学势.,当 时,即得经典玻尔兹曼分布：,普朗克公式实际上已反映了光子的这种统计性质.,作业：3-1、3-2、3-3、3-4、3-7、3-8、讲析：3-3、3-7、3-8、3-9、3-11、3-15,