2008考研数三真题及解析.docx

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1、设函数f (x)在区间1,1上连续，则X 0是函数g x( )0f t dt()的()A跳跃间断点.B可去间断点.C无穷间断点.D振荡间断点.(2)如图，曲线段方程为y fx()，函数在区间0,G上有连续导数，则定积分 0xf (x dx)等于()A曲边梯形ABOD面积.B梯形ABOD面积.C曲边三角形ACD面积.y C(09f(a)y=f(xB(a90)x一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.尤Af(0,0)存在,f (0,0)存在xyBf (0,0)存在,f (0,0)不存在xD三角形ACD面积.C

2、 f(0,0)不存在,fxyD f(0,0)不存在,fx(0,0)存在(0,0)不存在设函数f连续.若(3)设fxy(,)ex。y4,则函数在原点偏导数存在的情况是()fX 2%F u v , =dxdy ,DuX 2 y其中区域Dv为图中阴影部分，F 则一()22VA vf uB f uC vfuD f u u u(5)设A为n阶非0矩阵E为n阶单位矩阵若A3 O，则()A E A不可逆，E A不可逆.B E A不可逆，E A可逆.C E A可逆，E A可逆.D E A可逆，E A不可逆.1 2(6)设A则在实数域上与A合同的矩阵为()2 1IA 12.12C11 2(7)随机变量X ,Y独

3、立同分布，分布函数为()B 12.1 2D 22 1且X分布函数为F x，则Zmax X Y,AF2x.BFx F y.C 11 Fx2.D1 Fx1 F y.(8)随机变量X N0,1，Y N1,4 且相关系数XYL 则()XA P Y2XB P Y2X11.11 .C P Y2XD P Y2X11 .11.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，题纸指定位置x21, x c上.2(9)设函数/IJ,x()在(，lxl3x c1x x2、r2(10)函数fxx1 %求积分 2 fx dx请将答案写在答)内连续，则C(11)(x y, ) I X2y2y dxdy)(12)微分方程xy

4、y0, y(1)1,求方程的特解y(13)设3阶矩阵A的特征值为1, 2, 2, E为三阶单位矩阵，则4A 1 E(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P X EX2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)1 sin x求极限lim0x2ln x.x(16)(本题满分10分)设z z (x y,)是由方程X2J2z x y z所确定的函数，其中 具有2阶导数且1,求dz(II)记 ux y,x 1 yxz yz ，求 一 ux.(17)(本题满分11分)计算2,0 y 2maxxy，1dxdy

5、,其中 D(x y,) 0 x(18)(本题满分10分)设f x是周期为2的连续函数，t 22(I) 证明对任意实数t都有tfx dx0f x dxxt 2(II) 证明 G x 02 f tt f s ds dt(19)(本题满分10分)设银行存款的年利率为,0.05是周期为2的周期函数.，第n年取出(10+9 n )万兀，并能按此规并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元律一直提取下去，问A至少应为多少万元？(20)(本题满分12分)设n元线性方程组Axb，2a其中12a1an ；证明行列式A(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1 ；(

6、III )当1为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21) (本题满分10分)设A为3阶矩阵，,2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足A 323.(1)证明1，2， 3线性无关；(2)令P1， 2, 3 ，求P 1AP .(22) (本题满分11分)J_设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为p Xi : i 1,0,1，Y的概率密1 0 y 1度为fYy ，记z x Y.0其它1求：(I) P Z X 0 ；2(II) Z的概率密度fz (z) .(23)(本题满分11分)设X1, X2, , Xn是总体N ( , 2)的简单随机样本.记1-nX 一 Xi，S 2 1n (XiX

7、 )2，TX21 S 2h 1n 1 i 1n(I) 证明T是2的无偏估计量；(II) 当 0,1 时，求 DT.一、选择题(1)【答案】B【详解】lim g x()lim 0lim f xx 0 X所以x 0是函数g(x)的可去间断点.(2)【答案】Caa【详解】xf (x dx)000Xdf X( )Xf X( )a0f x dx af a()0f x dx()aa其中af (a)是矩形ABOC(x dx)为面积，f (x dx)为曲边梯形ABOD的面积所以xf曲边三角形的面积.(3)【答案】C【详解】f (0,0)Xe 1lim;X2 04Vfx( ,0) f (0,0)X|lim el

8、imlim limx 0* x 0ex1X1 e x 1lim limn XX 0故fx (0,0)不存在.fy (0,0) limf (0, y) f (0,0) lim e1 lim y 0n y 0 y 0lim所以fy (0,0)存在.故选C(4)【答案】Af u2V2vu2 u【详解】用极坐标得F u v ,V 22dudvdvf r()rdrv1 f rdr( 2)u01 DvF2所以-vf uu(5)【答案】C【详解】(E A E)(A A2) EA3E , (EA E)(AA2)EA3 E故E A,E A均可逆.(6)【答案】D12【详解】记D2 1122122则 E D14,

9、又 E A1421 21所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对 称矩阵，所以A和D相似.由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.【答案】A【详解】尸 z P Zz Pzmax X Y,z P Xz P YzF z F z F z2(8)【答案】D【详解】用排除法.设Y aX 由XY1,知道X ,Y正相关，得a0,排除C 由 X N(0,1),Y N(1,4)，得 EX 0, EY 1,所以 E Y()aX( b) aEXb 1,所以b1.排除二、填空题(9)【答案】1x,【详解】由题设知c所以f x()X21,lim f x2 x,xlim 2因为lim f x

10、lim(x1)x cx又因为f (x)在(,)内连续f (x)必在xc处连续2所以limlim f xf c()(10)【答案】c【详解】fx-xx2-x1令t 1 x，彳22所以 2 f x dx122x212 2dx2lnln 6 ln 2(11)【答案】【详解】(x2y dxdy)利用函数奇偶性x dxdy2_1x2y dxdy2DD2 D2 dr rdr22o1(12)【答案】yx【详解】由一积分得lny InX 所以C jyX又y(1)1 ,所以dx x(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2所以A 1的特征值为.1,1 2,1 2以4A 1 E的特征值为41 1 3, 4

11、12/ 1 1 ,(14)【答案】e 1【详解】由DX EX 2(EX )2，得EX 2DX (EX )2，又因为X服从参数为1的泊松2分布，所以DX EX 1,所以EX 21 12 ,所以P X21 e 11 e 1三、解答题(15)【详解】方法一:limx 0 x12ln sinx xlimx 0_x12ln 1sin_x x1sin x xcos x 1sin x1limx 0x3limx 03x2lim qx 06x61 sin xxcos xsin xxcos xsin x方法二：lim 0x2lnx 洛必达法贝，limx 0 2x2 sin xlimx 0 -x sin x 1 洛

12、必达法贝，lim06x26x(16)【详解】2xdx2ydydzxy zdx dy dz1 dz2x dx2y dy2xdx2y dydz11z2xz2y(II)由上一问可知,，x1 y11 zz12x2y 12y2x2所以uxy ,(x y xz2(1y x_x(y2x21(1)1 xy)11u所以x12x112(1123x)(17) 【详解】曲线1将区域分成两个区域D1和D2D3，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy,1dxdyDxydxdydxdydxdyD?D2D31_22222dx 1dy dx x1dydx1 xydy0 00 2 x151912ln 2 In 2ln 2(

13、18) 【详解】方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数t，dxx dx0 f x dxdx所以 f x dxt 2 tt0令x2，则 udx dx22u du0 f u duf x dxt 20202f x dx0 f x dx0 f x dx(II)由(1)知，对任意的t有0 f x dx，记ax dx，则axG x()G x(2)0 f u duG x()xf u duax.所以f u du2a2对任意的x，a x(2)20 f u du0 f u du2a0所以G x是周期为2的周期函数.t 2 方法二：(I)设 F t( )tf x dx()，由于 F t ( ) ft(2)f t(

14、 )0，所以F(t)为常数，0f x dx()，所以 F t()t 22t f x dx( )0 f x dx()t 2(II)由(I)知，对任意的t有 f f x dx，贝 ijxG x( )20 f u du2 2 从而有 F t( )F(0).而 F (0)0f x dx()，即22x dx，记a ax， G x(2)2 f u dua x(2)由于对任意x，G x(2)2 f x(2) a2 f x()a，G x( )2 f x( ) a 所以G x( 2) G x( )0G(2)G(0)从而G x(2) G x()是常数即有G x(2)G x()0所以Gx是周期为2的周期函数.(19

15、) 【详解】方法一：设A为用于第n年提取(109 )n万元的贴现值，贝ijx ( 1,1)nx因为 x()x(n 1x )x(1 x)(1,1)x(1x)2An(1r) n (109 )n109n19nn故An 1 Ann 1(1所以 S( )S( ) f0 (万元)1 r 1.05 故 A 2009 4203980 (万元)，即至少应存入3980万元.方法二:设第t年取款后的余款是yt，由题意知满足方程兀 (10.05刘 1(109 )t，即弋1.05弋 1(1)对应的齐次方程yt 1.05Jt 10的通解为ytC(1.05)t设(1)的通解为y*at b，代入(1)解得a 180, b39

16、80所以(1)的通解为ytC(1.05)t 180t3980由 y0A， yt0 得 A C 3980 C 0 故 A至少为3980万元.r)n 10 八 Ur)nn 1 (1r)n2009 n 1(1r)n 设 S x()nxn(109 )t2a10 3a 10 4a1(n 1)an3a 4a 2a -2 3(n 1)a(n 1)annIaI2a(20)【详解】(I)证法一:|2a1a2 2a 1a2 2a .1.i aa2 2al3a 112a22a .1a2 2a证法二：记DnI A I,下面用数学归纳法证明Dn(n 1)an .当n 1时，D12a，结论成立.当n立.Dn2aD2a12

17、2时，D22 3a，结论成a 2a假设结论对小于n的情况成立.将D按第1行02a展开得a2 a21n 12a 11a22a2aD 1 aD2 22anan 1 a n2( 1)an 2(n 1)an故I Al(n 1)an证法三：记Dn IA I，将其按第一列展开得Dn2aDa D2 ，n 1n 2所以 DnaDn 1 aDn 】a D2n 2 a D(n 】。巳 Ja2(Dn 2aDn J 气 2(D2aD 1)。 即2anDn an aDn 1 an a a( n 1 aDn 2)a D2(n2)anan 2D2(n 1)anan 1D1(n1)anan 12a(n 1)an0 .由克莱姆

18、法则，将Dn的第1列换成。，得行列式为10 2a 1a2 2a 1 a212a2a .a212a n 1a2所以x1D (n1)annn(n1W2aa21) (n 1)12aDn 1na(III)方程组有无穷多解，由Al0，有a0，则方程组为(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B知Al 0，又A(n 1)an，故 a0 1气101x200 1xn 100x0n此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n 1,所以方程组有无穷多解，其通解为k 1 0 0 0 广 0100 T,k为任意常数.(21)【详解】证法一：假设 2, 3线性相关.因为2分别属于不同特征值的特征向量，故 2线性无关，则3

19、可由 2线性表出，不妨设3 l1 1 l2 2其中l,l2不全为零(若l,l2同时为0，贝IJ 3为0，由A 323可知0，而特征向量都是非0向量，矛盾).A11，A 22Al l，又 AA32321 12231(l)l l11.221 122l11l222 l1 1l2 2，整理得：2l1120则1， 2线性相关，矛盾.所以，1， 2, 3线性无关.(1)证法二：设存在数k k勺，2, 3，使得勺1k22k3 30用A左乘的两边并由A 11，A 22得k11(k2k3)2k330(2)(1)(2 )得2k1 1k320(3)因为1，2是A的属于不同特征值的特征向量，所以,匕12线性无关，从而

20、。，代入(1)得k220,又由于20,所以k2。，故 1，2，3 线k1k3性无关.(II)记 P2P Z(所以PAP1(22)【详解】AP A(I)P X Y(2A, A _, A 3) 01 0则P可逆，P Y(10)X0)(II)PZzPXYzP XYz X,1 P XP Yz 1, X1P Y20 P YY1P Yz P X zP Y1 P X 1P Y z 1 P X1F J ()F z (所以fz (z)1)zfY ( )Z2 1fY (zfY (z1(23)【详解】(I) 因为X N )，所以X N (, )从而EX n0,其它3,12212因为所以 D(T) ET2 E(X4

21、2 X2 S2 nA2cEX ) EX 2)ES 2) n22-ES4)(1因为X N(0,1)，所以X N(0,)， n一E有 EX 0, DX 一 , EX2 DX EXS 4 n2X221nS)一422所以 EX( )D X()E2(X)DnE2E S() n nnDX (EX )21 E S(12所以，T是2的无偏估计2)12 n n2n2n(II)方法一：D T() ET 2 (ET)2, E T() , DX . n1 一丁一2DnX20 ,E S(2)nXn2 _121DX )2 3nE2(X) 2D X()nES 4S2EDS2(ES2 2)DS2 1因为W2(n 1)(n1)2S 2(n 1)S 22(n1)，所以 DW22 ,21 1又因为DW所以DS 2 y所以ESr(n 1) DS(n 1)(n 1) n 1232 11 n 12所以 ET 2 1 2Tn n n n n1n n(1)方法二：当0,1时D T()D X(2 -1nS2)（注意X和S2独立）12211DX(n 1)2 D(n 1)S一2(n(n 1)1)n n(1)