《求积公式》PPT课件.ppt
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1、4.1求积公式 4.1.1 求积公式,结束,对定义在区间a,b上的定积分,以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式,F(x)为f(x)的原函数.但有时原函数不能用初等函数表示,有时原函数又十分复杂,难于求出或计算.如被积函数为:,第四章 数值积分,等函数的积分都无法解决,当被积函数为一组数据时,更是无能为力.为解决定积分的近似计算,从定积分的定义:,这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式,Ak(k=0,1,n)与函数f(x)无关,叫做求积系数,显然要确定一个求积公式,要确定求积结点xk和求积系数Ak,或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积公式.,结束,结束,4.1.2 求积公式
2、的余项和代数精度,一般情况下,(4.1)两端并不相等.我们称:,(4.2)为求积公式(4.1)的余项,或截断误差.,为考查一个求积公式的误差,通常用代数精度来表示,如果一个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(Rf0),而对m+1次以上的多项式不能精确成立,则称该求积公式的代数精度为m.,结束,例如求积公式:,验证当 f(x)=xm,m=0,1,2,3,4 时,是否有Rxm=0,所以以上求积公式的代数精度为 3.,任何一个求积公式的代数精度至少为零即取f(x)=1时公式应精确成立,这是求积系数应满足的起码条件,可以用它检验一个求积公式的系数的正确性.,4.1.3 矩形求积公式,f(x)
3、=f(a)+f()(x-a),在x,a之间,两端积分:,把 f(x)在a处作Taylor展开:,结束,结束,注意到右端第二项积分,设f(x)在a,b上连续,而x-a在 a,b上不变号(非负),据积分中值定理有:,于是有左矩形公式:,同理,f(x)在b点展开,可得右矩形公式:,结束,f(x)在中点(a+b)/2展开,可得中矩形公式:,不难验证,(4.3)和(4.4)具有零次代数精度,(4.5)具有一次代数精度.,结束,4.1.4 内插求积公式,由插值可知,对任一函数f(x)(包括表格形式的函数)可用一n次多项式对其插值,即,当Pn(x)为拉格朗日插值多项式时,即,结束,其中:,通常将公式(4.6
4、)叫做内插求积公式.,4.2 牛顿-柯特斯公式,为便于上机计算,通常在内插求积公式中取等距节点,即将积分区间a,bn等分,即令h=(b-a)/n,且记x0=a,xn=b,则节点为xk=x0+kh(k=0,1,n),作变换:t=(x-x0)/h,代入求积系数公式:,结束,这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,下面介绍几个常用的公式:,取a=x0,b=x1,(即n=1),代入(4.9)式得,4.2.1 梯形公式,所以梯形公式为,结束,结束,这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积,对梯形公式的误差估计有如下定理:,定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数,则梯形求积公式的余项为(证明
5、),其中h=b-a,记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为1.,结束,例1 利用梯形公式计算,解:,4.2.2 抛物形(辛卜生)公式,取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2),代入(4.9)式得,结束,所以抛物形公式为,其中h=(b-a)/2,上式也可写成:,结束,抛物形公式通常也称为辛普生公式,抛物形公式是用抛物线围成的曲边梯形近似代替f(x)围成的曲边梯形.,定理4.2 设 f(x)C4a,b,则辛普生公式的误差估计为:,直接可以验证抛物形公式代数精度为3(对f(x)为三次以下多项式精确成立).,例2 利用抛物形公式计算,解
6、:,结束,(4.9)式给出,4.2.3 牛顿-柯特斯公式,其中:,可以看出,C(n)k不依赖函数f(x)和积分区间a,b,可以事先计算出来,通常叫做牛顿-柯特斯系数,下面给出n从16的牛顿-柯特斯系数表4-1:,结束,表4-1,结束,对牛顿-柯特斯公式,当f(x)C na,b,f(n+1)(x)在a,b上存在时,求积公式的余项为:,对f(x)为任何不超过n次的多项式,均有f(n+1)(x)0,因而Rnf0,也就是说,牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为n.,我们可以证明当n为偶数时,牛顿-柯特斯公式的代数精度可达到n+1.,证明:令n=2k,设,为任一n+1次多项式,其最高次系数为an+1,则它的
7、n+1阶导数为,结束,下面我们证明,作变换u=t-k,则,结束,容易验证(u)为奇函数,即(-u)=-(u),而奇函数在对称区间上的积分为零,所以,也就是说,当n为偶数时,牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成立,因此,其代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑,当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度,因而在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式,如抛物形公式(n=2)等.,4.3 复化求积公式,从求积公式的余项的讨论中我们看到,被积函数所用的插值多项式次数越高,对函数光滑性的要求也越高.另一方面,插值节点的增多(n的增大),在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n
8、8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)因而在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间,在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式),然后再利用积分的可加性,把各区间上的积分加起来,便得到新的求积公式,这就是复化求积公式的基本思想.为叙述方便,我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式,也可推出新的求积公式,读者可按实际问题的具体情况讨论,结束,4.3.1.复化梯形公式,用n+1个分点将区间a,bn等分。每个区间长,在xk,xk+1上用梯形公式,则,结束,Tn叫做复化梯形求积公式,下标n表示将积分区间等分的份数.,从公式的特点可以
9、看出,内节点xk(k=1,2,n-1)作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算,因而系数为2,端点a与b只参与一次计算,系数为1.,如果在Tn的基础上,将各小区间对分,这时节点数为2n+1,分段数为2n.记新的分点的函数值的和为n,则T2n应为原内节点与新增节点函数值的和的两倍,加上两端点a,b的函数值之和再乘上新区间长度的一半,即,结束,从这一公式可以看出,将区间对分后,原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值,便可得出对分后的积分值,不需重复计算原节点的函数值,从而减少了计算量.,结束,定理4.3 设 f(x)C2a,b,复化梯形公式的截断误差,这一复化梯形求积公
10、式的余项在形式上与(4.13)式相同,不同的是,这里的h=(b-a)/n,而(4.13)式中的h=b-a.,利用复化求积公式的余项,我们可以估计出在满足精度的要求下,应将积分区间等分多少份,即n取多少.这种误差估计方法称为事前误差估计.如例4.3,例3 利用复化梯形公式计算 使其误差限为10-4,应将区间0,1几等分?,结束,解:因为被积函数,取n=17可满足要求.,结束,另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的,即用T2n-Tn,这是因为,当 f(x)在a,b上连续,并且假定当n充分大时有 f()f(),则,结束,这种误差估计方法通常叫做事后误差估计,在计算机上用来控制计算精度常用
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