幂级数解方程(偏微分方程).ppt
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1、幂级数解法本征值问题,第十一章,王建东,沙河校区计算机楼东206,11.1二阶常微分方程的幂级数解法,幂级数解法理论概述,1.球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,一、分离变量法求解偏微分方程:,可直接求解,可直接求解,对第3个方程作变量替换,为为 l 阶连带勒让德方程,不可直接求解,若讨论问题具有旋转轴对称性,即 m=0,为 l 阶勒让德方程,不可直接求解,2.柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量,可直接求解,可直接求解,对第3个方程:(1)若 0,作变换,为 m 贝塞尔方程,不可直接求解,=0可直接求解,(2)若 0,作变换,为虚宗量贝塞尔方程,不可直接求解,.,用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯
2、方程、波动方程、输运方程进行变量分离,就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量,还会出现各种各样的特殊函数方程,它们大多是二阶线性常微分方程。这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。不失一般性,我们讨论复变函数(z)的线性二阶常微分方程:,(11.1.1),这里 z 是复变量,p(z)和 q(z)是已知的复变函数,称为方程的系数,(z)是待求的未知函数,z0为选定的点,C0和C1为复常数。,这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出,但可用幂级数解法解出。幂级数解法求解二阶常微分方程的具体过程
3、为:,(1)任选某个点z0,在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数;,(2)将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件,求出所有待定幂级数系数。,(2)既然是级数,就存在是否收敛和收敛范围的问 题;,说明:,级数解法是一个比较普遍的方法,对方程无 特殊的要求;,(3)级数解法的计算较为繁琐,要求耐心和细心。,二、方程的常点和奇点概念,定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都在点z0及其邻域内解析,则称点z0为方程(11.1.1)的常点。,定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解析,则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。,定义 11.1.3 若
4、(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解析,则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点,否则称为方程的非正则奇点。,定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为点z0的邻域|z-z0|R 中的解析函数,则方程在这个圆中存在唯一的解析解(z)满足初始条件(z0)=C0和(z0)=C1。,定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点,则在z0点的邻域内,方程(11.1.1)的通解形式为,其中a0和a1为任意常数,0(z)和1(z)为在点z0解析的两个线性独立的函数。,(11.1.2),三、常点邻域上的幂级数解法(勒让德方程的求解),在x0=0的邻域
5、求解 l 阶勒让德方程:,方程的系数:,在x0=0,方程的系数p(x0)=0,q(x0)=l(l+1)单值且为有限值,因此它们必然在x0=0处解析,故x0=0为方程的常点,根据常点邻域上解的定理,解具有泰勒级数形式:,根据此解的形式,于是有:,代入勒让德方程,可得:,合并整理后可得:,将各求和号内k的起点统一化:,因此合并x的同幂次项后有:,要使上述方程对任意的x都成立(=0),则要求x各幂次前的系数必须为0,即:,解得系数间的递推关系:,因此,若知道级数系数a0、a1,则可由上述递推公式计算出任一系数ak(k=2,3,)。,系数递推:,.,.,勒让德方程的解为:,pl(x)仅含x的偶次幂,为
6、偶函数;ql(x)仅含x的奇次幂,为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法)为:,因此,级数解 pl(x)和 ql(x)收敛于|x|1;但勒让德方程中的x=cos定义于-1,1上,因此还要考虑级数解在x=1处的收敛性。,高斯判别法:,时,若前后邻项之比可表示为:,其中B(k)是当k时为k的有界函数,则当1时级数收敛,当 1时级数发散。,对于足够大的k,pl(x)和ql(x)均为正项级数。,对于pl(x):,根据高斯判别法,=1,级数pl(x)发散。,对于ql(x):,根据高斯判别法,=1,级数ql(x)发散。,如果级数解 pl(x)和 ql(x)退化为有限项,即多项式,则它们在x=1处取有限数
7、值,那么发散问题就根本不存在了。,考察 pl(x):,如果l是某个偶数,l=2n(n是正整数),则 pl(x)只到x2n项为止,从x2n+2项起(上式彩色项),系数都含有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数,而是2n次多项式,并且只含偶次幂。至于pl(x)因其系数不含(2n-l),仍是无穷级数,且在x=1处发散。,考察ql(x),如果l是某个奇数,l=2n+1(n是非负整数),则 ql(x)只到x2n+1项为止,从x2n+3项起,系数都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x)是2n+1次多项式,并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含(2n+1-l),仍是无穷级
8、数,且在x=1处发散。,其实,考察级数解的系数递推公式便知,只要l是整数,如l=n(正负均可),k从某个数k=n(n为正)或k=-n-1(n为负)起,级数解的偶数或奇数系数全为0:ak+2=0、ak+4=0,级数的偶数或奇数部分变成多项式。,一般情况下,我们均取l是非负整数,且在一般解y(x)中取常数a0=0(a10)或a1=0(a00),使y(x)成为一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式,作为特解,称作l阶勒让德多项式,记Pl(x)。,可以看出 l 次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐,为了使其有比较简单的形式,且使它在x=1处的值恒为1(归一化),选最高次幂的系数为:,勒让德多项式Pl(x)的
9、系数递推关系改写为:,这样我们可从最高次幂系数al依次获得其它低次幂系数:,.,依次做下去,利用数学归纳法,可得:,其中:,因此所求得的勒让德方程的多项式解为:,该 l 阶勒让德多项式Pl(x)也称为第一类勒让德函数。,前几个勒让德多项式:,当l是非负整数时,勒让德方程的一般解中的一个解为勒让德函数,而另外一个线性独立的解则为无穷级数,称为第二类勒让德函数,记为Ql(x),其表达式为(朗斯基行列式导出,不作要求):,Ql(x)和Pl(x)的递推公式具有相同的形式,所以勒让德方程,的通解为,总结:,(1)当l不是整数时,勒让德方程在区间-1,1上 有无解解;,(2)当l是整数时,勒让德方程的通解
10、为,Pl(x)称为第一类勒让德函数,Ql(x)称为第二类勒让德函数;,(3)当l是整数时,在自然边界条件下(|cos|1),要求解有界,因此必须取C2=0。,四、正则奇点邻域上的幂级数解法(贝塞尔方程的 求解),对于复变函数(z)的线性二阶常微分方程:,如果选定的z0是该方程的奇点,则一般来说,解也以z0为奇点,在z0邻域上的展开式不是泰勒级数而含有负幂项,即展开式是罗朗级数,且有如下定理:,定理 11.1.3 若z0为方程(11.1.1)的正则奇点,则存在两个线性无关(独立)的解,它们在这奇点的去心邻域上可表示成下列形式:,和,或:,常系数s1、s2、ak、bk和A通过将解代入方程合并(z-
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