第一章多项式.ppt

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1、第一章 多项式,概述_1,代数角度 代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质 最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式函数角度 根及其性质，余数定理二者关联两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等,概述_2,与数域扩大无关的多项式性质整除、最大公因式、互素、余数定理等与数域扩大有关的多项式性质不可约、因式分解、根理论等,一元多项式,定义 K:数域,aiK,0in;n0,x:未定元,形如 称为K上关于x 的一元多项式.aixi:称为第i 次项,ai:第i 次项系数.n 次多项式:当an 0时,次数记为deg f(x)=n,anxn:首项,an:首项系数.a0:常数项.零次多项式(常数多

2、项式):f(x)=a0 0.零多项式:f(x)=0,此时规定:deg f(x)=,多项式的相等,定义 两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等即若 则f(x)=g(x)当且仅当m=n,ai=bi,1 in,多项式的运算_加法1,设f(x),g(x)Kx,适当增加几个系数为0的项,可设 定义加法:则 f(x)+g(x)Kx.,多项式的运算_加法2,Kx对加法构成加群,即满足如下性质(1)(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(f(x)=0,多项式的运算_数乘1,设定义

3、c与f(x)的数乘为:则 cf(x)Kx.,多项式的运算_数乘2,Kx对加法与数乘构成K上的线性空间,即满足(1)(4)且满足如下性质(5)(6)(7)(8),多项式的运算_乘法,设定义f(x)与g(x)的乘积:f(x)g(x)=h(x)其中,Kx对加法,数乘和乘法构成K-代数,即满足(1)(8)且满足性质:(9)(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)(10)f(x)g(x)=g(x)f(x)(11)(f(x)+g(x)h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)(12)c(f(x)g(x)=(c f(x)g(x)=f(x)(c g(x)(13)1f(x)=f(x).注1:因为

4、(9),(10),(13),Kx称为K上存在单位元1的结合交换代数.注2:因为(1)(4),(9)(11),(13),Kx对加法和乘法构成有单位元的结合交换环.,多项式的次数,deg f(x)g(x)=deg f(x)+deg g(x)deg f(x)=deg cf(x),0 cKdeg(f(x)+g(x)maxdeg f(x),deg g(x)f(x),g(x)Kx.f(x)0,g(x)0,则 f(x)g(x)0.若 f(x)0,f(x)g(x)=f(x)h(x),则 g(x)=h(x),整除_定义,定义:设 f(x),g(x)Kx.若存在h(x)Kx.使得 f(x)=g(x)h(x),则称

5、 g(x)整除f(x),或 f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.记为g(x)|f(x).否则记g(x)f(x).任意的 f(x)Kx,有 f(x)|0对 f(x)0,则 0 f(x)0 c K,对任意 f(x),有 c|f(x).,整除_性质,性质:f(x),g(x),h(x)Kx,0 cK,则(1)f(x)|g(x),则 c f(x)|g(x)(2)f(x)|g(x),g(x)|h(x),则 f(x)|h(x)(3)f(x)|g(x),f(x)|h(x),则 u(x),v(x)Kx,有f(x)|u(x)g(x)+v(x)h(x)(4)f(x)|g(x),g(x)|f(x),则

6、存在c 0K,使 f(x)=cg(x).,带余除法,设f(x),g(x)Kx,g(x)0,则存在唯一q(x)、r(x)Kx,且deg r(x)deg g(x),使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)注:定理结论可叙述为：f(x)=g(x)q(x)+r(x),这里或者 r(x)=0，或者 0 deg r(x)deg g(x).q(x)称为g(x)除 f(x)的商式,r(x)称为 g(x)除 f(x)的余式.推论:f(x),g(x)Kx,g(x)0,则 g(x)|f(x)当且仅当 g(x)除 f(x)的余式为0.,最大公因式_定义,定义:设 f(x),g(x)Kx,若d(x)Kx使得(1)d(

7、x)|f(x)且 d(x)|g(x)(2)若h(x)|f(x)且 h(x)|g(x),则有 h(x)|d(x)则称 d(x)是 f(x)与 g(x)的最大公因式.,最大公因式_唯一性,设 d(x),d1(x)是 f(x)和 g(x)的最大公因式,据定义有 d(x)|d1(x)且 d1(x)|d(x),故存在cK,使得d(x)=cd1(x).即f(x),g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。规定 f(x),g(x)的最大公因式的首项系数为1，则 f(x),g(x)的最大公因式唯一确定,记为d(x)=(f(x),g(x).,最大公因式_存在性,定理设f(x),g(x)Kx,则存在d(x)Kx,使

8、得(f(x),g(x)=d(x),且存在u(x),v(x)Kx,使得 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).证明用Euclidean辗转相除法.注1:证明方法即是计算方法.注2:设f(x),g(x),d(x)Kx,且 d(x)的首项系数为1.如果存在 u(x),v(x)Kx,使得(1)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)(2)d(x)|f(x),d(x)|g(x)则 d(x)=(f(x),g(x).特别提示 若没有条件(2),则(1)不能保证结论成立.,最大公因式_多个多项式,定义:对m个多项式 fi(x)Kx,1 i m,若存在首项系数为1的 d(x)Kx,使得(1)d(x)

9、|fi(x),1 i m(2)若 h(x)|fi(x),1 i m,则 h(x)|d(x)则称 d(x)是 fi(x),1 i m 的最大公因式,记做d(x)=(f1(x),f2(x),fm(x)命题:设f(x),g(x),h(x)Kx,则(f(x),g(x),h(x)=(f(x),g(x),h(x)=(f(x),(g(x),h(x),互素_1,定义:设 f(x),g(x)Kx,若(f(x),g(x)=1,则称 f(x)与 g(x)互素.定理 设 f(x),g(x)Kx,则 f(x),g(x)互素当且仅当存在 u(x),v(x)使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.,互素_2,性质:设

10、 f1(x)|g(x),f2(x)|g(x),且(f1(x),f2(x)=1,则f1(x)f2(x)|g(x).设(f(x),g(x)=1,且 f(x)|g(x)h(x),则 f(x)|h(x).设(f(x),g(x)=d(x),f(x)=f1(x)d(x),g(x)=g1(x)d(x),则(f1(x),g1(x)=1.设(f1(x),g(x)=1,(f2(x),g(x)=1,则(f1(x)f2(x),g(x)=1.,中国剩余定理_1,命题 设 p1(x),p2(x),pn(x)是数域K上两两互素的多项式,证明对于每个i,1in,存在多项式fi(x),使得 中国剩余定理 设p1(x),p2(x

11、),pn(x)是数域K上两两互素的多项式,deg pi(x)=mi,1 in,则对任意n个多项式f1(x),f2(x),fn(x),存在唯一多项式 f(x),使得deg f(x)m1+m2+mn,且对任意 i,1in,有f(x)fi(x)(mod pi(x).,中国剩余定理_2,Language插值公式 设a1,a2,an是数域K上n 个不同的数,则对任意 n 个数b1,b2,bn,存在唯一次数小于 n 的多项式 适合条件L(ai)=bi,1 i n.,不可约多项式_定义,定义 设 p(x)Kx,且deg p(x)1,若 p(x)不能表为两个次数较小的多项式之积,则称 p(x)是不可约多项式,

12、否则称为可约多项式.注 多项式的可约不可约与数域K有关.例如 x22在Qx上是不可约多项式,但在Rx上是可约多项式.,不可约多项式_性质,性质1 f(x),p(x)Kx,且p(x)是不可约多项式,则或 p(x)|f(x)或(f(x),g(x)=1.性质2 设f(x),g(x),p(x)Kx,且 p(x)是不可约多项式,若 p(x)|f(x)g(x),则或 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x).注1 设 p(x)Kx,满足以下性质:对任意 f(x)Kx或 p(x)|f(x)或(f(x),g(x)=1,则 p(x)是不可约多项式.注2设 p(x)Kx,满足以下性质:对任意 f(x),g(x)K

13、x,如果 p(x)|f(x)g(x)必有 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x),则 p(x)是不可约多项式.,因式分解基本定理_1,设 f(x)Kx,且deg f(x)1,则1)f(x)=p1(x)p2(x)ps(x),其中 pi(x)是不可约多项式,1is;2)若f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x)其中 pi(x),qj(x)是不可约多项式,1is,1jt,则 必有s=t且经过适当调换因子顺序后,qj(x)=ci pi(x),1is,其中ci是K中非零常数.多项式的标准分解式 其中pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,ei1.,最小公倍式,定

14、义:设 f(x),g(x),c(x)Kx,且 c(x)的首项系数为1，c(x)称为 f(x),g(x)的最小公倍式,如果 1)f(x)|c(x),且 g(x)|c(x)2)若 f(x)|h(x),g(x)|h(x),则 c(x)|h(x)记为 c(x)=f(x),g(x),因式分解基本定理_2,设ei0,fi0,ei+fi0,1im,pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,则1.2.3.4.5.,重因式_1,多项式的导数 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,则其导数为f(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+a1(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)(

15、f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)(cf(x)=cf(x)(f m(x)=mf m-1(x)f(x).,重因式_2,定义 不可约多项式p(x)称为f(x)的ei重因式(ei1),如果 并且.定理 f(x)无重因式当且仅当(f(x),f(x)=1.定理 设d(x)=(f(x),f(x),f(x)=f1(x)d(x),则 f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.证明思路:设 是标准分解式,则 而.,多项式函数_1,设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,对任意b K,定义f(b)=anbn+an-1bn-1+a1b+

16、a0,则 定义了数域K上的函数.定义 设f(x)Kx,bK,且f(b)=0,则称b为f(x)的一个根或零点.余数定理 设f(x)Kx,bK,则存在g(x)Kx,使得 f(x)=(x-b)g(x)+f(b).特别地,b是f(x)的根当且仅当(x-b)|f(x).,多项式函数_2,定理 设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个不同的根.推论 设f(x),g(x)Kx,且degf(x),degg(x)n,且存在不同的n+1个数 b1,b2,bn+1K,使得 f(bi)=g(bi),1in+1,则 f(x)=g(x).定理 设f(x),g(x)Kx,则f(x),g(x)作为多项

17、式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等(即对任意bK,有f(b)=g(b).,多项式函数_3,定义 bK,若(x-b)k|f(x),但则称b为f(x)的一个k重根.若k=1,则称b为单根.注1 f(x)有重根,则必有重因式;反之未必.命题 设f(x)Kx,且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个根.,多项式性质与数域扩大的关系,多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关定理 设F,K是数域,且.设f(x),g(x)Kx,则1)在Kx上,g(x)|f(x)在Fx上,g(x)|f(x);2)在Kx上,f(x)=g(x)q(x)+r(x)在F

18、x上,f(x)=g(x)q(x)+r(x)3)在Kx上,(f(x),g(x)=d(x)在Fx上,(f(x),g(x)=d(x)4)在Kx上,(f(x),g(x)=1 在Fx上,(f(x),g(x)=1 多项式的根、重根、不可约、标准型与数域扩大有关,复系数多项式,代数基本定理 每个次数大于0的复数域上多项式都至少有一个根.推论 复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.推论 复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上多项式的标准分解式:其中ai是两两不同的复数.,Vieta定理_根与系数的关系,设f(x)=xn+p1xn-1+pn-1x+pnKx在K中有n个根 x1,x2,xn,则,一元

19、三次方程的公式解_Cartan公式,考虑一元三次方程式 f(x)=x3+ax2+bx+c=0.作变换,化为缺二次项方程 y3+py+q=0.考虑方程 f(x)=x3+px+q=0(*)的根.若q=0,则 是方程的根.若p=0,则 是方程的根,其中 若p0,q0,令x=u+v,得x3-3uvx-(u3+v3)=0.比较(*)式,得,一元三次方程的公式解_Cartan公式,由Vieta定理知,u3,v3是 的两个根.所以,令 可得式(*)的三个根为,一元四次方程的公式解_Ferrari解法,设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,作变换，问题归结为解下面方程:x4+ax2+bx+c=0(*)引

20、入新的未知量u,得若中括号内是一个完全平方，则可化为两个二次方程来解而中括号是完全平方当且仅当解出u，则(*)变为分解因式后得到两个二次方程：,注:高于四次以上的方程一般是没有公式解,用根公式解代数方程的历史_1,一元二次方程：公元前2000年，古巴比伦人，类似配方法一元三次方程：S.del.Ferro(1465-1526)和N.Fontan Linebreak(即Tartaglia)(1499-1557)，根式解一元四次方程：L.Ferrari(1522-1565)，根式解以上解法收入G.Cardano(1501-1576)在1545年出版的Ars Magna（大术）中,用根公式解代数方程的

21、历史_2,挑战：找出五次方程的根式解 1545年来近300年努力，中间应该提到Lagrange,Gauss,P.Ruffini等名字。1824年，挪威青年数学家Abel（-1828）证明了一般五次方程根式解的不可能性。但证明有漏洞，且未解决一元n次方程何时可用根式求解，何时不可用根式求解。1830年，法国天才的青年数学家Galois借助于他创立的群的理论彻底解决这个问题。用域论、群论语言刻划了f(x)可用根式解的充要条件。Galois的工作更重要的是开创了代数学的新纪元。一门全新的并在代数学中起极其重要的数学分支抽象代数从此诞生了。,实系数多项式,定理:设f(x)=anxn+an-1xn-1+

22、a1x+a0 是实系数多项式若复数a+bi是f(x)的根，则abi也是f(x)的根.推论:实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中b24aco.实数域上多项式的标准分解式:其中ei,bi,ci全是实数，ei,fj全是正整数，bi24ci0.,实多项式根的上下界估计_1,定理:设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是n次多项式,其中an0,an-10,an-k-10.但an-k0),则对f(x)的任一正根c(如果存在),有:注:求负根的下界,只需求正根的上界即可.,实多项式根的上下界估计_2,证明:反证法.若 则 因此c 不可能是f(x)的零点。,实多项式

23、的实根个数的估计_1,Sturm序列:设f(x)没有重根,记 g0(x)=f(x),g1(x)=f(x).则(f(x),f(x)=1.对f(x)与f(x)作辗转相除：g0(x)=g1(x)q1(x)g2(x)g1(x)=g2(x)q2(x)g3(x)gs-2(x)=gs-1(x)qs-1(x)gs(x)其中gs(x)为非零常数多项式，我们称:g0(x),g1(x),gs(x)是一个Sturm序列.,实多项式的实根个数的估计_2,对任意实数c，得到实数列:g0(c),g1(c),gs(c),划去其中零,从左往右看,相邻两个数符号相反,则称有一个变号数.变号数的总和称为该数列的变号数,记为V(c)

24、引理 上述Sturm序列有下列性质：1）相邻的两个多项式gi(x)与gi+1(x)无公共根；2）若gi(c)=0,则gi-1(c)=-gi+1(c);3）若c是g0(x)的根,则存在,使当 时,g0(x)与g1(x)异号;当 时,g0(x)与g1(x)同号。,实多项式的实根个数的估计_3,Sturm定理 设f(x)是实系数多项式且无重根,aV(b),且f(x)在区间(a,b)内实根的个数等于V(a)V(b).特别,若a,b分别是f(x)的实根的上下界,则V(a)V(b)等于f(x)的实根总数证明思路:1）当 x 增大且不经过上述Sturm序列中每个多项式的零点时，变号数不变；2）当 x 增大且

25、经过Sturm序列中除g0(x)外的某些多项式的零点时，它们的总变号数不变；3）当 x 增大且经过Sturm序列中含g0(x)的多项式的零点时，它们的总变号数恰好减1。,有理系数多项式_1,定理：设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式，则有理数p/q是f(x)的根的必要条件是 p|an,q|a0，其中p,q是互素的整数定义：设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式，若an,an-1,a0的最大公约数为1，则称 f(x)为本原多项式Gauss引理：两个本原多项式之积仍为本原多项式,有理系数多项式_2,定理:若整系数多项式f(x)在有理数

26、域上可约,则它必可分解为两个次数较低的整系数多项式之积.Eisenstein判别法:设多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式,an0,n1，p是一个素数,若 p|ai,in-1.但 p不整除 an,且 p2不整除 a0,则f(x)在有理数域上不可约.,一元多项式性质小结,与数域无关的性质:整除,带余除法,最大公因式,互素.与数域有关的性质:不可约多项式,标准分解式,重因式,多项式的根.定理:设p(x),f(x)Kx是不可约多项式,若 p(x)和 f(x)在复数域上有公共根,则 p(x)|f(x).,多元多项式_1,两个n元多项式相等当且仅当它们同类项的系数全部相

27、等若f(x1,x2,xn)和g(x1,x2,xn)都是K上n元非零多项式,则按字典排列后乘积的首项等于f与g的首项之积.,多元多项式_2,若f(x1,x2,xn)0,g(x1,x2,xn)0,则f(x1,x2,xn)g(x1,x2,xn)0设f(x1,x2,xn)是K上n元非零多项式,则必存在K上n个元a1,a2,an使得f(a1,a2,an)0K上两个n元多项式f(x1,x2,xn),g(x1,x2,xn)相等的充要条件是对任意a1,a2,an K都有:f(x1,x2,xn),=g(x1,x2,xn),对称多项式_1,定义:设f(x1,x2,xn)是K上n元多项式，若对任意的1ijn均有：f

28、(x1,xi,xj,xn)f(x1,xj,xi,xn)则称f(x1,x2,xn)是K上n元对称多项式对称多项式在未定元的任一置换下不变对称多项式的和是对称多项式对称多项式的乘积是对称多项式对称多项式的多项式是对称多项式,对称多项式_2,初等对称多项式:,对称多项式_2,对称多项式基本定理:设f(x1,x2,xn)是数域K上的对称多项式,则必存在K上唯一的一个多项式g(y1,y2,yn)使得 f(x1,x2,xn)=g(12n).注:证明是构造性的,证明过程实际上给出求 g(y1,y2,yn)的方法.,结式和判别式_1,设f(x)=a0 xn+a1xn-1+an,g(x)=b0 xn+b1xn-1+bn下列阶行列式称为f(x)与g(x)的结式.,结式和判别式_2,定理:f(x)和g(x)是互素当且仅当R(f,g)0.定理:设f(x)=a0 xn+a1xn-1+an,g(x)=b0 xn+b1xn-1+bn,f(x)的根为x1,x2,xn,g(x)的根为y1,y2,ym,则,结式和判别式_3,利用结式,可以定义一个多项式 f(x)=a0 xn+a1xn-1+an的判别式为:定理:设多项式f(x)=a0 xn+a1xn-1+an的根为x1,x2,xn，则推论:f(x)有重根当且仅当(f)=0,