应用MATLAB仿真几类混沌电路.doc

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1、本科毕业设计(论文)应用MATLAB仿真几类混沌电路学 生 姓 名：指 导 教 师：专 业、班级： 信息与计算科学071院 （系） ： 理学院数学系完成日期： 2011 年 6 月 15 日摘 要摘 要混沌电路理论是现代非线性科学的一个重要分支混沌电路的研究主要包括混沌电路理论的研究和应用研究在这两者之间，混沌电路的仿真起着至关重要的作用由于混沌的初值敏感性，使其在电路设计中对初值要求较高，因此混沌电路仿真实现较为困难本文介绍了混沌电路的定义、基本概念、基本特征及研究现状，并针对几类混沌电路（蔡氏电路、蔡氏对偶混沌电路、带有负电容的三阶自治蔡氏混沌电路、三阶非自治铁磁材料混沌电路），首先通过电

2、路图对系统的动力学特性进行了分析与论述，建立对应的数学方程式，然后使用MATLAB软件进行仿真研究，通过编写并绘制系统的波形图、混沌吸引子、相平面图等程序，来研究各种电路不同的混沌现象仿真结果表明了理论的正确性本文对于非线性混沌电路的研究与学习有一定的实用价值论文选题具有一定的理论意义和应用前景关键词 MATLAB；仿真；混沌电路- I -AbstractAbstractTheory of chaos circuits is an important branch of the modern nonlinear science. Chaos circuit research mainly in

3、cludes chaos circuit theory research and applied research. Between that, the chaos circuit simulation plays a vital role. The initial value sensitivity makes the design of circuits for the initial value of higher requirements, so chaotic circuits simulation is more difficult.The definition of chaos

4、circuit、the basic concept、the basic characteristic and research status are introduced in this paper, then for a few kind of chaotic circuits(Chuas circuits, chuas dual chaos circuit, with a negative capacitance of the first three autonomous chuas chaos circuit, the first three non-autonomous chaotic

5、 circuit ferromagnetic materials), firstly the dynamic characteristics of system are analyzed and discussed through the circuit diagram, and the corresponding mathematical equations are established, then we use the software MATLAB simulation research to draw the system of the wave form figure, chaot

6、ic attractor, phase plan programs, to study various circuit different chaotic phenomenon. Finally, the simulation results show that the conclusion is correct.In this paper, the design and implementation of the comprehensive experimental simulation for chaos circuit experiment and nonlinear circuits

7、learning has certain practical value. The thesis has certain theoretical meaning and application prospect.Keywords MATLAB; Simulink; Chaos circuit目 录目 录摘要IAbstractII目录III第1章 绪论11.1 混沌学综述11.2 混沌电路概述21.3 混沌电路的研究现状31.4 本论文的主要研究工作及安排4第2章 混沌理论基础62.1 混沌的定义62.2 混沌的基本特征72.3 混沌理论的基本概念92.4 混沌运动的分析11第3章 蔡氏电路的分

8、析与仿真143.1 基本分析143.2 计算机仿真15第4章蔡氏对偶电路的分析与仿真204.1 基本分析204.2 计算机仿真22第5章 具有负电容的三阶自治蔡氏混沌电路分析265.1 基本分析265.2 计算机仿真28第6章三阶非自治铁磁材料混沌电路的分析与仿真316.1 基本分析316.2 计算机仿真33结论36参考文献37致谢38附录39- III -第1章 绪论第1章 绪论1.1 混沌学综述非线性科学是当今世界科学的前沿与科学，涉及自然科学和社会科学的众多领域，具有重大的科学价值和哲学意义.混沌是某些非线性系统所特有的一种貌似无规则运动状态，指在确定的非线性系统中，不需要附加任何随机因

9、素亦可出现类似随机的行为，称为混沌系统的内在随机性混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感因此，从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的.公认真正发现混沌的第一位学者是法国著名数学家庞加莱(H.Poincare)，他在研究是否能从数学上证明太阳系的稳定性问题时，发现即使只有三个星体的模型，仍产生明显的随机结果1903年，庞加莱在他的科学与方法一书中提出了庞加莱猜想他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并提出三体问题在一定范围内其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混沌20世纪60年代，天体力学领域的KAM定理的建立和Lorenz在耗散系统中首次发现了混沌运动，它们被称为混沌学的

10、研究产生的两个重大突破KAM定理讨论的是保守系统，而Lorenz方程讨论的是耗散系统，它们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的Lorenz揭示了一系列混沌运动的基本特征，如确定性、非周期性、对周期的敏感性、长期行为的不可预测性等另外，他还在混沌研究中发现了第一个奇异吸引子Lorenz吸引子，为混沌研究提供了一个重要模型，并最先在计算机上采用了数值计算方法进行具体研究，为以后的混沌研究开辟了道路1975年美籍华人学者李天岩(T.Y.Li)和美国数学家约克(Yorke J)在美国数学月刊发表了题为“周期3意味着混沌”的著名文章，深刻的揭示了从有序到混沌

11、的演化过程文章标题中的“混沌”(Chaos)首次正式出现，这个名词并为后来的学者所接受11976年，美国数学生态学家梅(May R)在美国自然杂志上发表题为“具有极复杂的动力学的简单数学模型”文章中指出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为如著名的虫口模型也就是Logistic模型1978年，费根包姆(Feigenbaum M)等人在May R的基础上独立地发现了一类倍周期通向混沌的道路中的普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础1980年，意大利的V.Franceschini用计算机研究流体从平流过渡到湍流时，发现了周期倍化现象，验证了费根包姆(Feige

12、nbaum)常数从20世纪80年代开始，混沌的理论迅速发展，标度律、普适性、Lyapunov指数、分数维、吸引子等一系列与混沌有关的概念先后被确定下来近10年来，混沌科学更是与其它科学相互渗透，无论是在数学、物理学、电子学、信息科学、生物学、生理学、心理学，还是天文学、气象学、经济学，甚至是音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用2，在众多科学中都掀起了一股揭示混沌现象、研究混沌理论的热潮如今，混沌的发现被认为是20世纪物理学三大成就之一混沌学的创立，将在确定论和概率论这两大科学体系之间架起桥梁，它揭开了物理学、数学乃至整个现代科学发展的新篇章混沌理论是现代非线性科学的一个重要分支，混沌应用是

13、一个新的非线性研究领域，从混沌理论的研究成果到实际应用，混沌电路起着至关重要的作用经过几十年的发展，尤其是最近十几年的迅猛发展，目前混沌及其应用研究已获得了重大的突破性进展，人们已经改变了对混沌运动的不稳定性、不可控性及不可靠性的见解，开始逐步认识到混沌的重要作用，并开始利用混沌，应用混沌对这些潜在应用的研究，将不仅具有重大的理论价值，而且具有重要的实际应用价值所以对于混沌电路的研究也就有了实际的意义1.2 混沌电路概述混沌理论是现代非线性科学的一个重要分支，混沌应用是一个新的非线性研究领域，从混沌理论的研究成果到实际应用，混沌电路起着至关重要的作用20世纪80年代几个混沌电路的实现与混沌电路

14、的定量描述，使得混沌系统从纯数学的抽象概念过渡到了实际的电子工程领域用电子电路实现非线性动力学体系，可以借助仪器方便的观察和测量该非线性动力学体系的相关数据，如用示波器观察可以测量混沌系统的电压、电流波形，以及它们之间的相图；还可借助频谱分析仪，直接观测到被测数据的功率谱图；如果将数据采用计算机进行处理，则可以计算出各类非线性动力学参数；所以混沌电路更有研究价值从工程的角度考虑，混沌电路可以满足新的工程应用，如混沌通信、保密通信等因此，无论在理论还是工程应用方面，混沌电路与混沌系统的研究都是非常重要的由于混沌的初值敏感性，使其在电路设计中对元件的精度要求较高，因此混沌电路的硬件实现较为困难目前

15、人们对混沌系统的理论研究比较多，而硬件电路的实现较少有些混沌电路在理论上是成立的，但不一定能够用硬件电路实现特别是对一些较大的混沌系统进行实际电路的模块化设计和实现更加困难经过几十年艰苦不断地研究，人们在混沌电路的制作上，己经取得可喜的成就从研究较早的蔡氏电路、Lorenz系统族到它们千变万化的变形和改进，再到许多其它新的奇异吸引子混沌电路中一定要含有非线性元件，其状态演变规律用非线性微分方程或非线性差分方程来描述；还要有适当的参数调节才能使非线性电路具有混沌行为1.3 混沌电路的研究现状由于混沌电路与其对应的数学模型具有很好的吻合性，使混沌电路能够方便地模拟各种非线性混沌系统，并能重现各种复

16、杂的非线性现象，因此在混沌的理论探索和应用研究中，非线性电路充当着一个非常重要的角色非线性电路中的混沌现象的发现也是出于偶然1927年，范德坡(Van Del Pol)无意中听到氖灯中张弛振荡器的“一种不规则的噪声”，他当时没有认识到这就是混沌现象，反而认为这只是“次要的现象”1978年，日本京都大学上田宗亮(Yoshisuke Ueda)对非线性电感加上正弦电压的电路作仿真实验，发现在杜芬(Duffing)方程描述的非线性电路中有7/3阶超次谐波和随机转变过程，也就是存在着混沌1980年，上田和赤松(N. Akamatsu)对负阻元件与电容并联后通过电阻、电感加上正弦电压的电路作仿真实验，发

17、现范德坡方程描述的非线性电路中有奇异吸引子和拟周期震荡1981年美国麻省理工学院林塞(P. S. Linsay)对变容二极管通过电阻、电感加上正弦电压的电路做实验，证明了费根包姆(Feigenbaum)关于周期倍增导致混沌的预言，并验证了费根包姆常数这是分岔与混沌的第一个实验不但二阶以上的非自治系统能够产生混沌，三阶或三阶以上的自治系统也可以出现混沌现象，1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.O.Chua)发明了蔡氏电路(Chuas Circuit)震动了学术界，促进了现代非线性电路理论的发展，在全世界掀起了一股研究非线性电路的热潮蔡氏电路以其结构简单并含有丰富

18、的动力学特性而倍受研究者的瞩目3经过几十年艰苦不断地研究，人们在混沌电路制作上，己经取得可喜的成就特别是近几年，国内外对蔡氏电路的研究内容和研究成果很多，如对偶蔡氏电路、变形蔡氏电路、多涡卷蔡氏电路等而对Lorenz系统族的研究大多是在同步和控制上的研究以及新的奇异吸引子的发现Jerk系统的高阶电路实现也取得了一定的进展从目前的研究来看，人们主要通过时间延迟，扰动输入，复杂系统等方法产生混沌信号，每一种方法都有自己的优点和不足之处，实际上，常常因为系统复杂(比如神经网络)难以操作、电路本身的缺陷、非线性器件太多(Lorenz系统)精确度难以把握、稳定性不高(Chua电路)、同步难度大、频带范围

19、小、制作成本高等原因，所以大部分混沌系统设计成混沌信号产生器是不现实的所以目前混沌电路设计还具有很大的挑战性1.4 本论文的主要研究工作及安排本论文在对混沌理论进行深入研究的基础上，主要完成了以下工作：针对现有的几类典型的混沌系统的特征，总结它们的规律，根据电路原理图来分析电路的结构，并给出对应的数学方程式对上述系统利用数值计算软件MATLAB进行了数值计算，仿真其混沌图形本文的结构安排如下，整篇文章分为六章第一章首先对混沌学的发展历程做了简要回顾，然后对混沌电路的发展历史、研究现状及应用前景做了概述第二章简要介绍了混沌的基本概念和特征、混沌运动的基本特征以及对混沌运动的分析第三章首先主要介绍

20、了蔡氏混沌电路的结构和特性，其次对蔡氏电路做了数值仿真、用电路设计仿真软件MATLAB做了电路仿真，做出其波形图、吸引子图及其在三个平面的投影图第四章首先主要介绍了蔡氏对偶混沌电路的结构和特性，其次对蔡氏对偶混沌电路做了数值仿真、用电路设计仿真软件MATLAB做了电路仿真，做出其波形图、吸引子图及其在三个平面的投影图第五章介绍了一个实现双涡卷混沌吸引子的具有负电容的三阶自治蔡氏混沌电路，用电路设计仿真软件MATLAB做了电路仿真，做出其波形图、吸引子图及其在三个平面的投影图，得出其电路结构是蔡氏混沌电路家族的一种新结构第六章介绍了一个三阶非自治铁磁材料混沌电路，通过MATLAB分析和计算机仿真

21、，做出其波形图、吸引子图及其在三个平面的投影图本文针对现有的几类典型的混沌系统的特征，总结他们的规律，由于混沌对初值要求比较高，所以我们多次尝试，通过MATLAB仿真各种不同类型的混沌电路，观察其混沌演变的过程 - 45 -第2章 混沌理论基础第2章 混沌理论基础2.1 混沌的定义由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此至今混沌还没有一个统一的定义一些学者从自己的研究观点出发，从不同的侧面定义混沌，揭示混沌的本质下面介绍几种最具代表性的混沌定义4第一种定义：基于混沌的“蝴蝶效应”，即倘若一个非线性系统的行为对初始条件的微小变化具有高度敏感的依赖性，则称为混沌运动一个形象而夸张的

22、比喻例如在昆明植物园内一只蝴蝶翅膀的轻轻扇动，可能最终导致地中海甚至非洲地区天气的剧烈变化，可能从艳阳天剧变为狂风暴雨也就是说，一个系统的混沌行为对初始条件发生的“差之毫厘”的变化，导致最终系统长期行为“失之千里”的高度敏感性变化，表现出极端的不稳定性这种高度不稳定性，是指在相空间内初始极其邻近的两条轨道，随着时间的推进两轨道的距离彼此整体是稳定的，系统的长时间行为显示出混乱性和不可预测性因此，这是一种确定性系统本身表现出的内在随机性第二种定义：是基于Li-Yorke定理，从数学上严格的定义Li-Yorke的混沌定义是从区间映射出发进行定义的，该定义可以描述如下：区间上的连续自映射，如果满足下

23、面条件，便可确定它有混沌现象1的周期点上的周期无上界；2闭区间上存在不可数子集，满足(1) 对任意，时(2) 对任意，有(3) 对任意，和的任意周期点，有根据上述定理和定义，对闭区间上的连续函数，如果存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象用李天岩的话来说，只要有周期3就“乱七八糟”的，什么都有该定义准确地刻画了混沌运动的几个重要特征：1系统存在可数的无穷多个稳定的周期轨道；2系统存在不可数的无穷多个稳定的非周期轨道；3系统至少存在一个不稳定的非周期轨道，即混沌运动；4系统在混沌区域内，存在一个逆分岔序列，其中出现非周期带第三种定义：排除法，即与现有已知的运

24、动类型，即平衡点(静点)、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极不稳定而整体稳定这种定义只反映了混沌是自然界中一种新的运动形态，显得比较笼统，具体有什么特性需要进一步具体刻画第四种定义：哈肯把混沌定义为来源于确定论性方程的无规运动这里主要的困难是如何恰当地定义“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为所以，难怪迪托(Ditto)把混沌定义为非常多数目的不稳定周期运动的叠加，这与哈肯的定义不谋而合混沌首先是一个确定性非线性动力系统，其基本特征是对初始条件非常敏感，假设两个相同的混沌系统以很小差别的初始条件开始，随时间发展微小差别将以指数

25、形式扩大值得注意的是，“混沌”与“非线性”并非一码事，也不是同义词，任何混沌系统必然是非线性的，而非线性并不都是混沌的2.2 混沌的基本特征从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌；而随机过程则是由外部特性的噪声引起的下面就对混沌的特性进行详细介绍1内随机性在一定的条件下，如果系统的某个状态有可能出现，也可能不出现，该系统被认为是具有随机性一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性；一个完全确定的系统，在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应当是确定的，即是可以预测的不

26、受外界干扰的混沌系统虽然能够用确定的微分方程表示，但其运动状态却具有某些“随机性”，那么产生这些随机性的根源只能在系统本身，即混沌系统内部自发的产生这种随机性混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它的这一性质，同时也说明混沌是局部不稳定的2对初值的敏感依赖性随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即对初始条件的敏感依赖性3有界性混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域所以从整体上说混沌系统是稳定的4遍历性混沌系统在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限的时间内混

27、沌轨道经过混沌区域的每一个点5分维性是指混沌的运动轨线在相空间的行为特征混沌系统在相空间的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般的确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无限次的折叠分维性表示混沌运动状态具有多叶、分层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构6普适性所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它不依具体的混沌方程或参数而变具体体现为几个混沌普适常数，如著名的费根包姆(Feigenbaum)常数等普适性是混沌内在规律性的一种体现7标度性是指混沌运动是无序中的有序其有序可以理解为：只要数值或试验设备精度足够高，总可以在

28、小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样8统计特性混沌系统具有正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数以及连续功率谱等李雅普诺夫指数是对非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果的一种定量刻画对于非线性映射而言，李雅普诺夫指数表示维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率当李雅普诺夫指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点；当李雅普诺夫指数大于零时，则在初始状态时相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态；当李雅普诺夫指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应于分岔点对混沌系统而言，正的李雅普诺夫指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数

29、分离但是由于吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限区域内反复的折叠，但又永远互不相交形成了混沌吸引子的特殊结构同时，正的李雅普诺夫指数也表示相邻信息量的丢失，其值越大，信息量丢失越严重，混沌程度越高2.3 混沌理论的基本概念1动力系统当自变量有微小变化因变量却有了巨大变化的函数系统，通称为动力系统2混沌运动确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动混沌电路分析及其在保密通信中的应用研究所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时间的发展会指数的分离由于这种不稳定性，系统的长期时间行为会显示出来某种混乱性3相空间在连续动力系统中，用一组一阶微分方程描述运动，以状态变量或

30、状态向量为坐标的空间构成系统的相空间系统的一个状态用相空间的一个点表示，通过该点有唯一的一条积分曲线4分形和分维由美国IBM公司的数学家B.B.Mandelbrot提出的分形几何，它突破了欧氏几何的规则图形，而是用递归、迭代等算法生成的自然形态图形它是维空间的点集的一种几何性质，该点集具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数分维就是用非整数维，即分数维来定量地描述分形地基本性质5不动点(平衡点)在连续动力学系统中，相空间中有一点，若满足当时，轨迹，则称为不动点6吸引子和奇异吸引子吸引子指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后所有轨迹

31、线都趋向与它吸引子是稳定的不动点奇异吸引子指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行此吸引子既不是不动点，又不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子7奇异特性混沌吸引子在有限的空间内，具有无穷嵌套的自相似结构在状态空间表现为奇异吸引子8分叉和分叉点又称为分岔或分支，指在某个参数或某组参数发生变化时，长时间动力学运动的类型也发生变化这个参数值(或这组参数值)称为分叉点，在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性，故系统在分叉点处是结构不稳定的9倍周期指一系列周期运动当某一个参数变化时会出现周期加倍(频率减半)的现象这一现象在控制参数的越来越小的区间内出现，越过一个临界的

32、参数就出现混沌10分形流与映射动力学系统随时间的变化，当发生在连续的时间域中时，将其称为流，对应相空间的一条连续轨道线；当发生在离散时间域中时，则称之为映射，对应相空间中的一些离散的相点，反复执行这一规则，其效果类似于一组差分方程的迭代11李雅普诺夫(Lyapunov)指数用于度量在相空间中初始条件不同时的两条相邻轨迹随时间按照指数规律收缩或发散的程度，这种轨迹收敛或发散的比率，称为李雅普诺夫指数若李雅普诺夫指数小于零，表示相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；若李雅普诺夫指数等于零，则对应临界状态，即稳定的边界；若李雅普诺夫指数大于零，表示相邻轨道分散，长时间行为对初始条件非常敏感李雅普

33、诺夫指数的正负是判断系统是否处于混沌、超混沌状态的重要方法之一以四维系统为例，其李雅普诺夫指数谱如下：不动点，周期，拟周期，混沌，超混沌可见超混沌吸引子，具有两个或两个以上的正的李雅普诺夫指数相应地，它将具有两个以上方向上发散的特性，因此它有比混沌吸引子更加复杂的结构2.4 混沌运动的分析一般混沌来自于非线性系统，但并非任何非线性系统都是混沌的，一般情况下可由以下几种方法定性和定量来刻画混沌：1通过数值计算，观察系统的时域波形图和相空间中的相图2计算系统的Lyapunov指数，若指数为正，则认为系统是混沌的3计算系统的关联维数和Hausdorff维数，若这些维数是分数，则认为系统是混沌的4计算

34、系统的拓扑熵和测度熵，若它们为正，则认为系统是混沌的5分析系统的功率谱，若功率谱是连续的，则认为系统是混沌的以下介绍几种方法5：1Lyapunov指数Lyapunov指数是用来表示动力学系统对初始值的敏感依赖性的特征量，它与相空间中相邻轨迹发散或收敛的平均指数率有关在维的相空间中给定一个连续的动力学系统，设半径足够小的维超球经过长时间的演化变成一个超椭球，则第个Lyapunov指数定义为： (2-1)其中是时刻超椭球的第维主轴半径，是初始时刻的球半径，按由大到小的顺序排列Lyapunov指数的符号提供了系统动力学行为的定性描述，至少一个正的Lyapunov指数是产生混沌的必要条件2分维数维数是

35、描述空间和客体的重要几何特征量，经典意义下的状态空间的维数反映了完备描述系统的演化所需要的最少变量的个数耗散系统的相空间体积的收缩表现为一类维数低于相空间维数的吸引子的出现混沌系统的行为最终收敛到奇异吸引子上，而奇异吸引子具有无穷嵌套的自相似结构，即分形，其维数一般是非整数因此分维数是奇异吸引子复杂程度的度量1914年Caratheodory提出了用集合的覆盖来定义测度的思想1919年Hausdorff用这种方法定义了Hansdorff维数以此为基础，数学家们又提出了十多种不同的维数的定义，如：拓扑维数、自相似维数、Lyapunov维数、信息维数、容量维数、关联维数等对于低维的混沌吸引子，以H

36、ausdorff维数作为其维数的定义可表述如下： (2-2)式中是维空间中的子集，是覆盖子集所需要边长为的维立方体的最小数目3测度熵测度熵是从Shannon熵的定义引申而来的考虑一个维的动力系统，它的运动轨道为将空间分成许多尺度为的盒子，每隔时间观察一下系统的状态设是处于盒子中，处于盒子中，依此类推，处于盒子中的联合概率，则有：它是系统运行中的轨道处于所需的信息，那么就是己知系统处于，而要预测系统子时刻处于的盒子中所需要知道的附加信息因此可以把测度熵定义为信息量的平均损失率，则有测度熵公式为：说明测度熵与空间划分无关说明系统处于规则运动的状态；说明系统处于纯随机运动的状态；当为正的有限值时系统

37、处于混沌的运动状态可见，测度熵可用来描述混沌运动的混乱或无规则程度，它的数值是判断运动性质的重要指标4功率谱指数功率谱指数是刻画系统的能量的定量标志，反应混沌态能量的变化对于任意非周期运动的信号，若满足绝对可积条件，则可把它展开为Fourier积分：非周期信号的频谱是连续的为了表示混沌信号的频率特征，可求其自相关函数的Fourier变换，由所得的功率谱密度函数来分析混沌的频域特征：混沌信号的功率谱是连续谱，它与周期或准周期信号的离散谱不同第3章 蔡氏电路的分析与仿真第3章 蔡氏电路的分析与仿真3.1 基本分析蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌动力

38、学行为蔡氏混沌电路(Chuas chaotic circuit)是美籍华裔科学家蔡绍棠1984年提出的一种典型的混沌电路蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及混沌应用方面的研究其构成如图3-1所示图3-1蔡氏混沌电路原理图图3-1中非线性电阻是压控型非线性电阻，它具有分段的伏安特性：，其中是它的非线性部分，具有图3-2的分段特性图3-2蔡氏电路非线性部分V-I特性根据电路结构，可以得到蔡氏电路的动力学方程如下： (3-1)3.2 计算机仿真根据方程式(3-1)和的表达式，令，代入方程式(3-1)，选择参数：，则得到方程式(3-2)如下： (3-2)此

39、时电路有混沌解对方程式(3-2)，选取非线性项的系数为一个变量6，即如下式表述： (3-3)在不同的参数值对方程式(3-3)应用MATLAB仿真7具体处理方法如下：(1) 在MATLAB编辑器中建立方程式(3-3)的微分方程文件；(2) 通过编写程序文件解微分方程；(3) 由解出的方程三个变量的数值解绘制波形图和吸引子；取该混沌电路的典型状态进行仿真，选择式(3-3)在参数，下，即电路处于周期振荡、倍周期振荡、单涡旋混沌和双涡旋混沌状态进行MATLAB仿真图3-3到图3-10分别描述了不同取值下的仿真结果当时，波形图、混沌吸引子及投影图形如图3-3和图3-4：图3-3 时的波形图图3-4 时的

40、混沌吸引子及其在三个平面的投影图当时，经波形图、混沌吸引子及投影图形如图3-5和图3-6：图3-5 时的波形图图3-6 时的混沌吸引子及其在三个平面的投影图当时，波形图、混沌吸引子及投影图形如图3-7和图3-8：图3-7 时的波形图图3-8 时的混沌吸引子及其在三个平面的投影图当时，波形图、混沌吸引子及投影图形如图3-9和图3-10：图3-9 时的波形图图3-10 时的混沌吸引子及其在三个平面的投影图第4章 蔡氏对偶电路的分析与仿真第4章蔡氏对偶电路的分析与仿真这里讨论一个蔡氏对偶混沌电路，并进行理论研究和计算机仿真分析1此混沌电路元件少，且与蔡氏混沌电路结构完全对偶；2在确定的元器件参数条件

41、下，电路出现双涡卷奇怪吸引子和丰富的混沌动力学行为4.1 基本分析图4-1所示电路是三阶自治电路，其中含有一个流控型的非线性电阻元件，非线性电阻元件伏安关系()如图4-2所示8图4-1蔡氏对偶混沌电路原理图图4-2非线性电阻元件伏安关系图对图4-1所示电路，其状态方程组推导如下 (4-1)整理(4-1)得 (4-2)为了分析方便，对方程(4-2)进行归一化处理令，且令，则上述各方程变为 (4-3)对上述方程组(4-3)中，将时间仍记为，则方程就变换为标准的蔡氏方程，即为 (4-4)其中，可以看出，最终得到的三个状态方程式(4-4)与描述蔡氏电路的动态方程完全一致，所以图所示电路是蔡氏电路的对偶

42、理论电路4.2 计算机仿真上述蔡氏对偶电路的微分方程描述的动态系统关于原点对称，对应于分段线性电流控制型电阻的特性，若将特性分为三段考虑，即为蔡氏电路的三个状态方程在状态空间的三个子空间为在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点如下，其中在上述各子空间内，状态方程(4-1)、(4-2)、(4-3)均属线性状态方程故可令矩阵为其中在子空间内等于，在子空间和内等于9为了仿真分析，我们令，并取，这样对于平衡点则有，对于相应的状态方程则有为了求出相应的特征根，令，在对应的平衡点和处的特征值为一个实数值和一对共轭复数值其中一个实数值为，而一对共轭复数值为，可见，对于平衡点，则有在相应的平衡点处的特征值

43、也为一个实数值和一对共轭复数值其中特征值的一个实数值为，而特征值的一对共轭复数值为，可见，而因此，所有的平衡点、均为鞍焦点取其初始值为，应用MATLAB进行仿真，其双涡卷混沌吸引子如图4-2所示在平衡点处与对应的特征空间是直线，与对应的特征空间是平面，轨线向缠紧平衡点处与对应的特征空间是直线，轨线向而行；与对应的特征空间是平面，轨线绕远离而去表示稳定流形，表示不稳定流形奇怪吸引子宏观景象上，在和附近分别形成空洞，呈现出双涡卷混沌奇怪吸引子可以看出其双涡卷混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势，并以指数速率相互分离双涡卷混沌奇怪吸引子的轨线在特定的吸引域内具有遍历性和混合性双涡卷混沌奇怪吸

44、引子具有分数维，解的流形对初值极为敏感其分数维为与蔡氏电路分数维相同此电路的分析结论同样也满足希尔尼柯夫定理1在平衡点附近，的复共轭特征值实部的绝对值小于实特征值2经计算，时，存在同宿轨经过计算机仿真，此电路和蔡氏电路一样，存在着丰富的混沌动力学行为有倍周期分岔，成双的涡卷结构以及对称、不对称双涡卷结构的转化，环面破裂引起的混沌等MATLAB仿真结果如下图4-3与图4-4所示：图4-3 波形图图4-4 混沌吸引子及其在三个平面的投影图第5章 具有负电容的三阶自治蔡氏混沌电路分析第5章 具有负电容的三阶自治蔡氏混沌电路分析5.1 基本分析这里分析一个实现双涡卷混沌吸引子的具有负电容的三阶自治蔡氏

45、混沌电路，其含有一个压控型的非线性电阻元件，为一个负电容，这里令，负电容电路也早已成为人们熟悉的电路，而、均为线性元件，其电路如图5-1所示，非线性电阻元件伏安关系如图5-2所示，其中10图5-1三阶自治蔡氏混沌电路原理图图5-2非线性电阻元件伏安关系图对于图所示电路，其状态方程推导如下 (5-1)对方程进行归一化处理，令，由于为负电容，则 (5-2)令，则上述方程变为 (5-3)为了仿真方便，在上述各方程中，我们将时间仍记为，则方程变为 (5-4)其中，可以看出 (5-5)上述三个状态方程式与描述蔡氏电路的动态方程完全一致，所以图5-1所示电路是蔡氏混沌电路家族的一种新电路115.2 计算机仿真微分方程(5-5)描述的动态系统关于原点对称，对应于分段线性电压控制型电阻的特性，若将特性分为三段考虑，即为表示系统动态行为的状态方程在状态空间的三个子空间为每个子空间分别具有唯一平衡点如下：，其中在上述各子空间内，状态方程均属线性状态方程故可令矩阵为其中在子空间内等于，在子空间和内等于