《线性代数矩阵》PPT课件.ppt

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1、第二章 矩 阵,-2-,矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。它是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿线性代数的各个方面。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深懊理论的源泉。”()进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。,1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算

2、、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。,本章基本要求,本章重点,矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。,1 矩阵的概念,在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程n个末知量的最一般形式的线性方程组：,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为,定义1 由mn个数aij(i=1,2，m；j=1,2，n)排列成的m行n列的数表：,简记为(aij)m n,aij表示矩阵A的第i行、第j列的元素。,称为m行n列的矩阵，简称为mn阶矩阵。常记

3、为,矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵（1）n阶方阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量)。,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或.,注意,不同阶数的零矩阵是不一样的.,例如,(5)单位矩阵,称为单位矩阵（或单位阵）。,同型矩阵与

4、矩阵相等的概念,1、两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。,2.两个矩阵A=(aij)，B=(bij)为同型矩阵，并且对应元素相等，即,则称矩阵A与B相等，记作,例如,为同型矩阵.,(6)上(下)三角矩阵,(7)对称阵与反对称阵,(8)负矩阵,例如,则,2.2 矩阵的运算,矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。,定义 设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(bij),那末矩阵A和B的和记作A+B，规定为,一、矩阵的加法,例1 有某种物资（单位：吨）从3

5、个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B：,则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为：,矩阵加法满足下列运算规律：性质1 设A、B、C是同型矩阵，则(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵。矩阵的减法：,显然有 A-A=O,二、数乘矩阵,定义 数与矩阵A的乘积记作 A，规定为：,例1 设有3个产地与4个销地的里程（单位：公里），为矩阵A：,如果运费为1.5元/公里，则运费矩阵为：,矩阵的数乘满足下列运算规律：性质2 设A，B是同型的矩阵，、为常数，则(1)()A=(A)=(A)；(2)(+)A

6、=A+A；(3)(A+B)=A+B；(4)A=O，当且仅当=0或A=O。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。,显然，(1)A=A，(A)=A。,先从一个例子开始:,第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克).,第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：,三、矩阵与矩阵相乘,这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：,这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：,第一周：1

7、2 3+11 4+6 2=92（元）,第二周：11 3+11 4+7 2=91（元）,第三周：11 3+10 4+7 2=87（元）,又例，设有两个线性变换,(2.1)称为从变量Y 到变量X的线性变换；(2.2)称为从变量X 到变量T 的线性变换。,它们的系数矩阵分别是,如要求出从Y(y1，y2)到T(t1，t2)的线性变换，可将（2.2）代入（2.1），便得：,观察(2.1)、(2.2)、(2.3)所对应的矩阵的关系：,由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积，即,定义5 设A=(aij)是mn矩阵，B=(bij)是np矩阵，则A与B的乘积AB是一个mp矩阵，记为C=AB。这个矩阵的第i行第j

8、列位置上的元素cij等于A 的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和.即,返回,例1,设,例2,故,解,注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,没有意义。,=10,解：,由矩阵的定义及上述例题可知，矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别，应特别引起注意。,矩阵乘法也有可交换的，如,则有,特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。,例5,例7,利用矩阵的乘法,线性方程组(1.1)可以写成矩阵形式。设线性方程组(1.1)的系数组成mn矩阵：,末知数和常数项分别组成n1与m1列矩阵(列向量)：,这样线性方程组(1.1)可以写成 AX=b。,计算A1X:,另外，

9、若记:,同样计算A2X,AnX 可得,而,A=A1+A2+An,AX=(A1+A2+An)X=A1X+A2X+AnX.,因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式,这个形式叫做线性方程组的向量形式.,矩阵乘法的运算规律,(1)结合律(AB)C=A(BC)(2)(AB)=(A)B=A(B)(3)分配律 A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA(4)对于单位阵I，有Im Amn=Amn Amn In=Amn,证明略。,四、矩阵的转置,定义4 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记做A或AT。例如,转置矩阵的运算性质,特别地，矩阵A是对称矩阵的充要条件是AT=A；矩阵A是

10、反对称矩阵的充要条件是AT=-A。,例10 证明任一n阶矩阵A都可表示成 个对称阵与一个反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证。,五、方阵的幂,设A是n阶方阵，设k为正整数,记 A1=A，A2=AA，Ak+1=AkA。叫做方阵A的幂。特别规定A0=I。性质4 设A,B是n阶方阵，m、k 是非负整数，则(1)Am Ak=Am+k；(2)(Am)k=Amk；一般地，(AB)m AmBm。,矩阵多项式：,设,则定义,这里，一般,但,例11 设矩阵：,从而对于任意的正整数n，要证的等式成立。,六、方阵的行列式,定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式

11、，记作|A|或det(A)。,运算性质,3 可逆矩阵,一、逆阵的定义,我们知道在数学上有很多运算是成对出现的那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当 a0时，x=a-1b。那么矩阵方程AX=b，是否也有X=A-1b呢？,如果不存在满足(*)式的方阵,则称方阵A是不可逆的。,即逆矩阵是唯一的。,证毕,方阵的A逆阵记为A1。,由逆阵的定义知：单位阵I是可逆的，且I的逆阵就是I本身。更一般地，对角矩阵,其逆矩阵是,二、方阵可逆的充分必要条件,定义2 设A是n阶方阵，Aij 是行列式|A|中元素aij的代数余子式，则矩阵,若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A

12、|0，则称A为非奇异(非退化)矩阵，否则称为奇异(退化)矩阵。,此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵求它的逆阵。,如例1 中，,因为|A|=20，所以A可逆，且,推论 设A，B是n阶方阵，且AB=I，那么，BA=I，即A，B都可逆，且B-1=A，A-1=B。,证：由条件A，B都是n阶方阵，且AB=I，得|A|B|=|I|=10；所以|A|0，从而由定理2可知A，B都可逆。再由条件AB=I可得，BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=I。由定义1知：且B-1=A，A-1=B。,三、可逆阵的性质设A，B为同阶可逆矩阵，是非零常数，则,

13、例3 设A，B为三阶方阵，I是三阶单位阵，且满足：AB+I=A2+B，又知,(*),例4 设方阵A与B满足AB=AB，证明A+I可逆,且求出它的逆阵.,解 由条件AB=AB可得，A+IBAB=I，(A+I)(A+I)B=I，于是(A+I)(IB)=I。所以，A+I 可逆，且其逆阵(A+I)1=IB。,注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！,例题选讲,例1 若方阵A满足A23A10I=0，证明A、A-4I均可逆，并求其逆。,例3 已知3阶矩阵A的逆矩阵：,试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。,4 分块矩阵,对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块

14、，以这些子块为元素所构成的矩阵称为分块矩阵。,在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将阶数较高的矩阵的运算化成一些阶数较低的小矩阵的运算。,一、分块矩阵的概念,例如：,矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。,又如,二、分块矩阵的运算,1.设矩阵A与矩阵B的行数和列数，且采用相同的分块法，则,分块矩阵有着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。,2.数与矩阵相乘,即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，又要把其中每一个子块转置。,例如：,分块对角矩阵有下列性质：

15、,解,，使AX=I,所以，A可逆，且A-1=X。,例11 利用例10结论求方阵,解,计算得：,于是,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运,算,它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨,中都可起重要的作用.,5 矩阵的初等变换,引例 求解线性方程组,(1),解,量,剩下的 x3 选为自由未知量,于是解得,至此消元结束,且得到(1)的同解方程组(B5),(B5)是方程组(1)的所有同解方程组中最简单的,一个,其中有 4 个未知量 3 个有效方程,应有一个,自由未知量,由于方程组(B5)呈阶梯形,可把每个,台阶的第一个未知量(x1、x2、x4)选为非自由未知,令 x3=k,(k 为任意实数),则方

16、程组的解可记作,即,换:,在上述消元过程中,始终把方程组看作一个整,体即不是着眼于某一个方程的变形,而是着眼于整,个方程组变成另一个方程组.,其中用到以下三种变,1)交换方程的次序;2)某一个方程乘以不等于 0 的常数;3)一个方程加上另一个方程的 k 倍.由于这三种变换都是可逆的,因此变换前的方程组,和常数进行运算,未知量并未参与运算.,因此,若记,在上述变换过程中,实际上只对方程组的系数,组的同解变换.,与变换后的方程组是同解的,这三种变换都是方程,那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵,初等变换.,述三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种,B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.,把

17、方程组的上,(第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri+krj).,初等变换的定义,定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,(i)对调两行(对调 i,j 两行,记作 ri rj);,(ii)以数 k 0 乘以某一行中的所有元素,(第 i 行乘以 k,记作 ri k);,(iii)把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应,的元素上去,把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列,变换的定义.,矩阵的初等行变换与初等列变换,统,称初等变换.,两个矩阵的等价关系,1.定义 如果矩阵 A 经有限次初等行变换变,成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 行等价,记作,如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成

18、矩阵 B,就称,矩阵 A 与 B 行等价,记作,如果矩阵 A 经,有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B,等价,记作 A B.,2.等价关系的性质(i)反身性 A A;(ii)对称性 若 A B,则 B A;(iii)传递性 若 A B,B C,则 A C.数学中把具有上述三条性质的关系称为等,方程组等价.,价,例如两个线性方程组同解,就称这两个线性,行阶梯形矩阵,t1 t2 tr.,一个非零元素所在的列号为 ti,i=1,2,r,则,(2)设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第,零行(元素全为零的行)的标号;,(1)非零行(元素不全为零的行)的标号小于,行阶梯形矩阵:,1.定

19、义 满足下面两个条件的矩阵称为,例如,行阶梯形矩阵的特点:阶梯线下方的元素全为零;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.,2.重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的行初等,梯形矩阵.,具体的例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶,这个定理我们不作一般的证明,下面通过几个,变换化为行阶梯形矩阵.,行最简形矩阵和标准形矩阵,定义 一个行阶梯矩阵若满足(1)每个非零行的第一个非零元素为 1;(2)每个非零行的第一个非零元素所在列,矩阵.,其它位置的元素都为零,则称这个矩阵为标准形,定义 如果一个矩阵的左上

20、角为单位矩阵,的其它元素全为零,则称之为行最简形矩阵.,行阶梯形矩阵 其特点是：阶梯线以下的元素全是，台阶数即为非零行数,竖线后面的第一个元素为非零元.,行最简形矩阵 其特点是：非零行的第一个非零元为，且这些非零元所在的列的其它元素都为.,标准形矩阵 其特点是：左上角为一单位矩阵,其它位置上的元素全都为 0.,定理 任何矩阵都可经过单纯的行初等变,换化为标准形矩阵.,换化为行最简形矩阵.,任何矩阵都可经过初等变,一个矩阵的行最简形矩阵和标准形矩阵具有唯一性。这导致了矩阵的秩的概念。,利用初等变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和,形矩阵.,知,要解线性方程组只须把增广矩阵化为行最简,行最简形矩阵,

21、是一种很重要的运算.,由引例可,(1)初等对换矩阵Eij：将单位矩阵的第i,j行(或列)对换；,将单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵，三类初等矩阵为:,(2)初等倍乘矩阵Ei(c)；将单位矩阵第i行(或列)乘c;Ei(c)=diag(1,1,c,1,1)；,(3)初等倍加矩阵Eij(k)：将单位矩阵第i行乘k加到第j行，或将第j列乘k加 i 列。,初等矩阵及其性质,定理：三种初等矩阵左乘矩阵A是对A作相应的初等行变换,三种初等矩阵右乘矩阵B是对B作相应的初等列变换。,例如,Ei1(c)=Ei(1/c),Eij1(k)=Eij(k),Eij 1=Eij,性质：初等矩阵都是可逆矩阵,且

22、逆矩阵都是同类初等矩阵。,因为对初等矩阵再做一次同类型的初等变换都可化为单位矩阵。,Ei(1/c)Ei(c)=E,Eij(k)Eij(k)=E,EijEij=E,例 设4阶初等矩阵P1=E13,P2=E14(c),P3=E2(k),求P1P2P3 和(P1P2P3)1,解 P1PP3=E13E14(c)E2(k),E14(c)E2(k)是 E2(k)的第1行乘c加到第4行。,(P1P2P3)1=P31 P21 P11=E2(k 1)E14(c)E13,P2P3=E14(c)E2(k)=,P1P2P3=E13P2P3,是 P2 P3的第1行与第3行对换，所以,E14(c)E13是E13的第1行乘

23、c加到第4行,定理 可逆矩阵可以经过若干次行初等变换化为单位矩阵。,证明 利用初等变换可以把A化为行最简形矩阵；当A可逆时，它的行最简形矩阵就是单位矩阵I，即 PsP2 P1 A=I。,由PsP2 P1 A=I 得,A1=PsP2 P1=PsP2 P1 I,和,初等阵的逆矩阵仍然是初等阵,初等变换的性质,结论：,(1)可逆矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积；(2)对A做若干初等变换，将A化为单位矩阵I时，同样的这些初等变换将单位矩阵I化为A1。,也可用初等列变换求A的逆矩阵,用初等行变换求A的逆矩阵,例4用初等行变换求矩阵A的逆矩阵。,解,解 因为BX2X=BX2IX=AT,即(B2I)X=AT

24、,定理 设 A 与 B 为 m n 矩阵，那么,阵 P，使 PA=B；,阵 Q，使 AQ=B；,阵 P，及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ=B.,上述两个定理 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法.,定理表明，如果,即 A 经一系列,初等行变换变为 B，则有可逆矩阵 P，使 PA=B.,那么，如何去求出这个可逆矩阵 P?,由于,PA=B,P(A,E)=(B,P),因此，如果对矩阵(A,E)作初等行变换，那么，当,把 A 变为 B 时，E 就变为 P.,特别地，如果 B=E，则 P=A-1，,即

25、,我们可以采用下列形式求 A-1：,并排放在一起，组成一个 n 2n 矩阵(A,E).,对矩阵(A,E)作一系列的行初等变换，将其左半,部分化为单位矩阵 E，这时其右半部分就是 A-1.,即,(A,E),行初等变换,(E,A-1),将 A 与 E,利用初等行变换求矩阵方程AX=B的解。,即 对矩阵方程AX=B,若A可逆，则,对 作初等行变换，,当左边子块A化为E时,右边子块即为,若A可逆，构造分块矩阵,【例4】设矩阵,，,求X，使AX+B=X,解：,由AX+B=X,B=X-AX=(E-A)X,且,所以E-A可逆，由此得,例 2 和例 3 是一种用初等行变换求 A-1 或 A-1B,的方法，当

26、A 为 3 阶或更高阶的矩阵时，求 A-1 或,A-1B 通常都用此方法.,这是当 A 为可逆矩阵时，,求解方程 AX=B 的方法（求 A-1 也就是求方程 AX,=E 的解）.,这方法就是把方程 AX=B 的增广矩,阵(A,B)化为行最简形，从而求得方程的解.,这,与求解线性方程组 AX=b 时把增广矩阵(A,b)化,为行最简形的方法是一样的.,尚未证明,因此下面用另一种说法给出矩阵的秩的,形矩阵时，所得到的行阶梯形矩阵不惟一，,有行阶梯形矩阵所含非零行的行数是惟一确定的，,这个数就是矩阵的秩.,定义.,但是由于这个数的惟一性,我们知道，用行初等变换把矩阵化为行阶梯,但所,6 矩阵的秩,k

27、阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,定义 3 在 矩阵 A 中,任取 k 行与 k 列,(k m,k n),位于这些行列交叉处的 k2 个元,素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的,式的最高阶数,定义 4 设在矩阵 中有一个不等于 0 的 r,阶子式 D，,全等于 0，,式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),矩阵的秩等于 0,由行列式的性质可知，在 A 中当所有 r+1 阶,子式全等于 0 时，所有高于 r+1 阶的子式也全等,于 0，因此 的秩 R(A)就是 A 中不等于 0 的子,且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）,那么 D

28、称为矩阵 A 的最高阶非零子,并规定零,由矩阵秩的定义可得：,2）若 A 为 m n 矩阵，则,0 R(A)min m,n.,3）R(AT)=R(A).,4）设 A 为 n 矩阵，则当|A|0 时 R(A)=n,当|A|=0 时 R(A)n.,可见可逆矩阵的秩等于矩,阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.,因此,可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵),又称降秩矩阵.,例 4 求矩阵 A 和 B 的秩，其中,行阶梯形矩阵,但两个等价矩阵的秩是否相等呢?,从例 4 可知,对于一般的矩阵,当行数与列数,较高时,按定义求秩的计算量很大.,然而对于行阶,梯形矩阵,它的秩就等于非零行的行数,一看便

29、知,毋须计算.,因此自然想到用初等变换把矩阵化为,下面的定理对此作出了肯定的回答.,定理 若 A B,则 R(A)=R(B).,主要结论,推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ=B，则,R(A)=R(B).,推论 一个矩阵的阶梯形矩阵中非零行的个数就是该矩阵的秩。,根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.,下面用该方法求矩阵的秩.,矩阵秩的求法,例 5 设,求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式.,解,例 6 设,已知 R(A)=2，求 a 与 b 的值.,矩阵秩的性质,0 R(Amn)min m,n;,R(AT)=R

30、(A);,若 A B,则 R(A)=R(B);,若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A);,R(A)=R(-A);,R(A+B)R(A)+R(B).,R(AB)minR(A),R(B).,若 Amn Bnl=O，则 R(A)+R(B)n.,maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)+R(B),特别地，当 B=b 为列向量时，有,R(A)R(A,b)R(A)+1.,证明,因为 A 的最高阶非零子式总是(A,B),的非零子式，所以 R(A)R(A,B).,同理有,R(B)R(A,B).,两式合起来，即为,maxR(A),R(B)R(A,B).,设 R(A)=r，R(B)=t.,把 A 和 B

31、 分别作列变,个和 t 个非零列，故可设,从而,由于,中只含 r+t 个非零列，因此,而,故,即,R(A,B)R(A)+R(B).,证毕,R(A+B)R(A)+R(B),证明,不妨设 A、B 为 m n 矩阵.,对矩阵,(A+B,B)作列变换 ci cn+i(i=1,2,n),即得,于是,R(A+B)(A+B,B),=R(A,B),R(A)+R(B).,证毕,例 7 设,求矩阵 A 及矩阵 B=(A,b)的秩.,例 8 设 A 为 n 阶矩阵，证明,R(A+E)+R(A E)n.,证明,因(A+E)+(E A)=2E，,由,6,有,R(A+E)+R(E A)R(2E)=n，,而 R(E A)=

32、R(A E)，所以,R(A+E)+R(A E)n.,证毕,例 9 证明：若 Amn Bnl=C，且 R(A)=n,则 R(B)=R(C).,证明,因 R(A)=n,知 A 的行最简形矩阵为,并有 m 阶可逆矩阵 P，使,于是,由矩阵秩的,4,知 R(C)=R(PC)，而,故 R(C)=R(B).,证毕,在例 9 中，矩阵 A 的秩等于它的列数，这样,的矩阵称为列满秩矩阵.,当 A 为方阵时，列满,秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵.,因此，,本例的结论当 A 为方阵这一特殊情形时就是矩阵,秩的,4,本例另一种重要的特殊情形是 C=O，这时,结论为,设 AB=O，若 A 为列满秩矩阵，则 B=O.,