利用演绎法解决与三角形有关的几何问题.ppt

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1、,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,目錄,目錄,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄 8.1,目錄,例題演示,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,根據全等三角形、相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。,A),全等三角形,在四邊形 OABC 中，OA=OC 及 AB=BC。證明 OAB=OCB。,目錄,連接 OB，得 OAB 和 OCB，如圖所示。,OA=OC,已知,AB=CB,已知,OB=OB,公共邊,OAB OCB,SSS,OAB=OCB,全等 的對應角,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,重點理解,在圖中，AN

2、 OB，BM OA，BM 和 AN 相交於 P。如果 OM=ON，證明,目錄,8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a)OAN OBM，(b)AM=BN。,返回問題,目錄,(a)在 OAN 和 OBM中，,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,ANO=BMO=90,已知,ON=OM,已知,AON=BOM,公共角,OAN OBM,ASA,AM=OA OMBN=OB ON AM=BN,(b)OAN OBM,在(a)已證,OA=OB,全等 的對應邊,又OM=ON,已知,重點理解,在 ACD，BD AC。E 是BD 上的一點，且 AE=DC 及 BE=BC。,目錄,8.1利用演繹法解決

3、與三角形有關的幾何問題,(a)證明 BA=BD。(b)證明 DAE=BCD 45。,(a)在 ABE 和 DBC中，,ABE=DBC=90,已知,AE=DC,已知,ABE DBC,RHS,BA=BD,全等 的對應邊,BE=BC,已知,返回問題,目錄,(a)在右圖所示，設未知角 x 和 z。在 ABD 中，,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,BA=BD,在(a)已證,x=z,等腰.底角,BCD=BEA,全等 的等應角,x+z=90,外角,x=z=45,DBC ABE,在(a)已證,=z+DAE,外角,=45+DAE,即 DAE=BCD 45,重點理解,目錄,根據相似三角形的性質及判定條

4、件（AAA，三邊成比例，兩邊成比例且夾角相等）我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。,例題演示,B),相似三角形,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,目錄 8.1,在圖中，AEC 和 BED 都是直線。若 AB=4，BC=6，CD=9，AC=8 和 BD=12，證明(a)ABC BCD，(b)ABC=BCD。,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,返回問題,目錄,(a)考慮 ABC 和 BCD。,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,三邊成比例,ABC BCD,返回問題,目錄,(b)ABC BCD,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,ABC=BCD,在

5、(a)已證,相似 的對應角,在圖中，BCD 是一條直線。若 AB=24 cm，BC=18 cm，CD=14 cm 及 AC=21 cm，,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a)證明 ABC DBA；(b)求 AD 的長度。,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,公共角,兩邊成比例且夾角相等,(a)在 ABC 和 DBA 中，,ABC=DBA,ABC DBA,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b)ABC DBA,在(a)已證,在相似的對應邊,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在圖中，M 和 N 分別是 AB 和

6、AC 的中點。MC 和 NB 相交於G點。證明,(a)AMN ABC；(b)GMN GCB；(c),返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a)在 AMN 和 ABC 中，,已知,M 是 AB 的中點。,即,已知,N 是 AC 的中點。,即,公共角,兩邊成比例且夾角相等,MAN=BAC,AMN ABC,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b)AMN ABC,相似 的對應角,AMN=ABC,MN/BC,在 GMN 和 GCB中，,AAA,GMN GCB,在(a)已證,同位角相等,MGN=CGB,對頂角,GMN=GCB,內錯角，MN/BC,GNM=G

7、BC,內錯角，MN/BC,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(c)AMN ABC,相似 的對應邊,在(a)已證,GMN GCB,在(b)已證,即,相似 的對應邊,重點理解,目錄,例題演示,C),等腰三角形,目錄 8.1,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在 ABC 中，AB=AC。D 是 AC 上的一點，使 BD AC。證明 BAC=2DBC。,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,即 ACB=90 x,設 DBC=x。,BDA=90,已知,在 BCD 中，,DCB+x=90,外角,DCB=90 x,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有

8、關的幾何問題,在 ABC 中，,AB=AC,已知,ABC=ACB,BAC=2DBC,等腰 底角,即 ABC=90 x,BAC+ABC+ACB=180,內角和,BAC+(90 x)+(90 x)=180,即 BAC=2x,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,在圖中，D 是 AB 上的一點，AD=12.5 cm，DB=10 cm 及 BC=15 cm。,(a)證明 ABC CBD。(b)若CBD=CDB，證明 ABC 是等腰三角形。,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(a)考慮 ABC 和 CBD。,ABC=CBD,公共角,ABC CBD,兩邊成比例且夾角相

9、等,返回問題,目錄,8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題,(b)在 CBD 中，,CBD=CDB,已知,CB=CD,等角對邊相等,ABC CBD,在(a)已證,相似 的對應邊,即 AB=AC,ABC 是等腰三角形。,重點理解,目錄,參看各圖中的 ABC：,三角形內一些特殊的線,8.2 三角形內一些特殊的線,i.角平分線 是將一個內角平分的線段。例如：圖中的 AD 是A 的角平分線。,目錄,三角形內一些特殊的線,8.2三角形內一些特殊的線,ii.垂直平分線 是垂直且平分一條邊的直線。例如：圖中的 DE 是 AC 的垂直平分線。,iii.中線 是連接頂點與它對邊中點的線段。例如：圖中的 BD

10、 是一條中線。,目錄,三角形內一些特殊的線,8.2三角形內一些特殊的線,例題演示,iv.頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。例如：圖中的 BD 是一條頂垂線。,目錄,8.2三角形內一些特殊的線,如圖中，P、Q、R 分別是 ABC 中 AB、BC、CA 上的點。已知 PQ=PR，且 PQ BC 及 PR CA，證明 CP 是 BCA 的角平分線。,返回問題,目錄,在 CPQ 和 CPR 中，,PQ=PR,已知,PQC=PRC=90,全等 的對應角,8.2三角形內一些特殊的線,即 CP 是 BCA 的角平分線。,已知,PC=PC,公共邊,CPQ CPR,RHS,QCP=RCP,在圖中，AC 與

11、BD 相交於 E，且 AB=BC=CD。若 BE 是ABC 的角平分線，證明 E 是 BD 的中點。,目錄,8.2三角形內一些特殊的線,已知,在 BAC 中，,AB=BC,即 BAC 是等腰三角形。,BE 是ABC 的角平分線。,BE AC,等腰 性質,已知,返回問題,目錄,在 CBD 中，,BC=CD,已知,即 CBD 是等腰三角形。,8.2三角形內一些特殊的線,BEC=90,即 CE 是由 C 至 BD 的頂垂線。,CE 是由 C 至 BD 的中線。,等腰 性質,即 E 是 BD 的中點。,重點理解,目錄 8.3,目錄,例題演示,A),三角形不等式,在三角形中，任何兩邊長度之和必大於第三條

12、邊的長度。例如：在圖中，a+b c,b+c a,c+a b.,8.3 三角形中各線之間的關係,已知三條分別長 3、4 及 5 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？,目錄,由於 3+4 5，4+5 3 和 5+3 4，所以這三條線段可以構成一個三角形。,8.3 三角形中各線之間的關係,已知三條分別長15、4 及 7 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？,目錄,由於 15+4 7，15+7 4，但 4+7 15，所以這三條線段不可以構成三角形。,重點理解 8.3.1,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,1.三角形的三條角平分線必定共點，它們的交點稱為三角形

13、的內心。以內心為圓心，可作一圓（內切圓）與三角形各邊只相交於一點。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,三角形三條邊的垂直平分線必定共點，它們的交點稱為三角形的外心。以外心為圓心，可作一圓（外接圓）通過三角形的各個頂點。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,B),三角形中特殊線的關係,3.三角的三條中線必定共點，它們的交點稱為三角形的形心。形心將每條中線分為兩段，它們的比是 2:1。,三角形的三條頂垂線必定共點，它們的交點稱為三角形的垂心。,目錄 8.3,例題演示,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,在圖中，AI、BI 及 CI 是 ABC 的三條角平分線，三線的交點 I 便是 ABC 的內心。,8.3 三角形中各線之間的關係,目錄,在圖中，PO、QO 及 RO 是 ABC 三邊的垂直平分線，三線的交點 O 便是外心。,在圖中，L、M 及 N 是 ABC 三邊的中點，而 AL、BM 及 CN 是中線，三線的交點 G 便是形心。,重點理解,8.3 三角形中各線之間的關係,