山大刘希明辅导物理竞赛.ppt

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1、2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,1,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,2,山东省中学生奥林匹克物理竞赛夏令营,2008年7月14日 济南 山东大学,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,3,著名理论物理学家维格纳说,一个公式你要是不懂的话，抄上十遍你就懂了。,山东大学物理学院 刘希明139 5416 1397,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,4,力学基本定律,加速度,作用力,万有引力,库仑力,运动轨道椭圆、抛物线、双曲线,洛伦兹力,圆周运动,弹性力,电磁相互作用,动静摩擦力、安培力、核力.,能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多,20

2、23/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,5,力学动量、角动量、动能三大定理,动量定理角动量定理动能定理,冲量定理,冲量矩定理,力学的守恒定律,动量、角动量、能量守恒,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,6,力学的物理模型,质点、质点组、刚体,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,7,【例题】如图在光滑水平面上有质量为M的均匀分布的、半径R的圆环。质点质量m(mM)沿环的内壁做无摩擦的滑动，开始时圆环静止，圆环中心在O点，质点位于坐标(0,R)处，速度沿着x方向，大小为v0。(1)求证质点不会离开环内壁(2)求地面坐标系中质点m的运动方程。,x,y,O,R,M,v0,m

3、,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,8,【解】质点m与环内壁之间的作用力是一对作用反作用力，没有摩擦这个力就是与半径方向一致的支持力，这个力不等于零，则质点就不会离开环的内壁。,环的质量集中在环心O，初始时系统的质心C位于y轴上，离环心的距离是OC，长度为,O,C,m,M,质心C到质点m与环心O的距离分别是,(1),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,9,整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作用力是一对内力）,因此动量守恒，求出质心的速度,可见系统的质心沿着x轴做匀速直线运动。质心是惯性坐标系。,(2),在质心惯性系中，开始时质点m与圆环M相对质心的速度分别是,

4、2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,10,可见M与m相对质心的速度方向相反，两者只能够绕着质心做圆周运动。圆周运动的角速度分别是,(3),这个结果表明，质点m与圆环环心M相对质心C做角速度相同的圆周运动，圆周运动的向心力只能来自两者之间的相互作用力，又忽略摩擦，这个力沿着圆环的半径方向。因此质点m不会脱离环的内壁。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,11,(2)给出质点m相对水平面的运动方程,质点m在质心坐标系做圆周运动，坐标与时间的关系是,(4),系统的质心C相对地面做匀速运动，在地面坐标系中，质心的坐标是,(5),C,由此得到质点m相对地面坐标系的坐标,2023/

5、5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,12,(6),改写为,质点m一边跟随质心匀速平动，一边绕着质心做匀角速度转动。,半径为R的圆柱面沿水平面纯滚动，圆心速度为v,转动角速度w,满足关系v=Rw.顶端一点A，相对水平面的运动方程是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,13,A点的轨迹是一条摆线,如图所示。,y,x,方程(6)描述的轨迹不是一条摆线。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,14,【例题】如图,在竖直平面内有一半径为R的固定的绝缘的光滑圆环，在圆环外侧有一个光滑园槽。空间中有垂直环面的水平均匀磁场B。一个质量为m的带电为q0的质点，初始时位于圆环最高点a处，以

6、初速度v0沿水平方向向左运动，如果在以后的运动中质点能够沿圆环外侧不脱落圆环，达到圆环最低点b。试计算(1)质点在a点不脱落圆环，初始速度满足的条件(2)质点在b处不脱落圆环，初始速度应该满足什么条件?(3)质点在0qp的运动过程中不脱落圆环，初始速度应该满足的条件(4)质点在左半圆环，到达b点，再由右半圆环回到a点，初始速度应该满足的条件。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,15,v0,a,b,R,q,mg,O,【分析求解】(1)质点受到重力、圆环约束力N,方向沿着半径指向外，以及洛伦兹力作用，不脱落圆环的条件是。在最高点a点不脱落的条件是,整化为,利用求根分解因式,解此不等式

7、,得,N,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,16,其中方程的两个根分别是,题目给出初始速度v00的限制，因此初始速度满足的条件是,(1),(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守恒得到,(2),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,17,同样按照条件。这里法向动力学方程得到,整理为,求根分解因式得,得到不等式,其中两个根分别是,(3),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,18,可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方,把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件,但其中,(4),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,19,因此质点到

8、达最低点b处不脱落，初始速度满足的条件是,(5),(3)质点在左半圆环q处不脱离，设此处速度为v,仍然按照条件 讨论.机械能守恒得到,不脱离的条件是,同样的方法得到不等式,(6),(7),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,20,其中两个根分别是,讨论：如果 则上面的解（8)式改为,把(6)式机械能守恒代入，以及v00的要求，得到,(9),讨论：如果 则上面的解,（8)式改写为,(10),(8),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,21,把(10)式进一步利用机械能守恒(6)式得到,把v1代入该式左端得到,又因为，所以上式中,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞

9、赛,22,因而左端,这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是(),代进v2的表示得到这个条件是,这个条件对于两种角度范围都成立。,为了满足质点在左半圆环都不脱离，(12)式右端应该取最小值。易见q=0满足最小值条件。得到初始速度满足的条件是,(12),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,23,(11),(4)质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这个条件就是(11)式。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,24,【例题】在天花板的O点悬挂一个光滑的轻质小环P,小环可绕固定点O自由转动，长度为l的轻绳穿过小环P，其两端分别连接质量为m1与m2的小球A1与A2，已知m1

10、m2。设两个小球同时做圆锥摆运动，在任意时刻两个小球均在同一个竖直平面内，旋转的角速度是,(1)计算两个小球到p的距离l1与l2.,P,l1,l2,m2,m1,f2,f1,O,(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。,(3)计算系统对P点的角动量。以及守恒角动量的大小。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,25,【解】如图所示，两个小球连线与竖直方向夹角分别是f1与f2，小球m1与m2的分别受到重力mg与绳子张力T的作用，两球通过绳子连接受张力相等。满足方程,P,l1,l2,m2,m1,f2,f1,O,T,mg,f,由此得到,因为角速度相同，进而得到,(1),(2

11、),(3),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,26,结果表明两个小球到P点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系,改写成为,(4),联立(3)(4)得到,(5),但存在关系,(6),利用(5)(6)求出,(7),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,27,P,l1,l2,m2,m1g,f2,f1,O,【解】(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。两个小球的重力对P点的力矩方向相反。设指向外面为正方向，则按定义,利用(7)式摆线长度的结果得到,利用(2)式可求出,方向指向内,方向指向外。,则,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理

12、竞赛,28,已知m1m2,则 力矩的方向指向外为正，得到,至于绳子张力因为力的作用线过P点，力矩为零。,进而求出,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,29,【解】(3)系统对P点的角动量,按照角动量的定义,P,l1,f1,m1,v1,对于质点m1如图可知,图示位置速度v1方向指向版面内，l1的方向由P指向质点，则角动量方向如图所示,J1,同理可以求出m2相对P的角动量,质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,30,P,l1,f1,m1,v1,J1,角动量在竖直方向的分量是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,31,由以上

13、分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。,P,l1,f1,m1,v1,两个质点角动量的水平分量方向相反，总的水平分量是,虽然这个分量的大小不变，但方向在改变，因此角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不为零！,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,32,【例题】如图两根不可伸长的柔软的细绳，长度分别是l1与l2，且l1l2，其上端各有小圆环A与B挂在水平横杆上可以滑动，静摩擦系数分别是m1与m2，其下端联结于C处，悬挂一个质量m的质点。试求各种m1与m2取值下系统达到平衡时AB之间的距离。,A B,C,m,l1,l2,力学系

14、统处于平衡状态的条件：所受合力为零，所受合力矩为零，系统处于静止状态。进一步还要讨论系统平衡的稳定性。,静摩擦系数可能的取值是m=0或者m0.需要通过受力分析与讨论，得到可能的平衡状态，进一步求出AB的长度。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,33,【解(1)】如图AB=0时(A与B重合)，AC连线沿竖直线方向，此时细绳AC拉直，BC松弛。重力mg与绳子AC的张力T相等。这种平衡与摩擦系数的取值无关！,A B,C,m,l1,l2,当小环B离开A到达横杆右边某位置时，如果满足条件,A B,C,m,l2,l1,由于细绳BC没有质量，系统受到小球的重力mg与绳子AC的张力T相互平衡外，

15、没有任何其他外力作用，系统仍然处于平衡状态。这种平衡与小环的摩擦系数无关。,(1),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,34,设小环B再向右移动一段小距离Dx,上面条件(1)不再满足。AB长度表示为,小环B受到沿细绳BC方向张力作用T2,张力T2在竖直方向分力、向左的水平分力以及静摩擦力分别是,A,m,C,T2,q2,如果小环B在水平方向的力满足关系,B,F2,f2,N2,平衡被破坏，质点B返回向左运动。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,35,利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系,时，小环B将返回左向运动，系统的平衡状态被破坏。,A,B,m,C,T2,q2

16、,同样小环A受到沿着AC方向张力T1作用，其平衡状态同样与张力T1以及摩擦力f1之间的关系决定。但T1近似沿着竖直方向，其水平分力小于静摩擦力，因而不发生滑动。对于一种极端情况：m1=0,此时小环将沿着AB杆滑动。平衡状态被破坏。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,36,总之在条件,系统的平衡状态是：AC连线沿竖直方向,AB 之间距离范围是,或者,【解(2)】问题成为，讨论在以下条件时系统的平衡问题,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,37,如图所示系统处于平衡状态。分别分析环A与B的受力情况。,A D B,q1,f1,q2,f2,T1,T2,C,m,环A受到张力、水

17、平分力与摩擦力作用,分别是,当AB距离继续增大，达到条件,可见当杆AB距离再变大(距离DC变小时)时,使得tgf1的值满足上面条件时环A将沿着杆向内滑动而不再静止,系统不再平衡。,F1,f1,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,38,同理分析环B的受力情况.得到环B发生滑动的条件是,进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,39,如图夹角f1与f2在几何条件下相互联系，用h表示C到AB杆的距离，则,A D B,q1,f1,q2,f2,T1,T2,C,m,h,由正弦定理得到,当AB距离增大时，夹角q1与q2都减少，夹角f1与f2则随着

18、增大,其正切函数值也增大。而环和环首哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,40,设环开始滑动时,h用hA表示,则得到,A D B,q1,f1,q2,f2,T1,T2,C,m,h,设B环开始滑动时,h用hB表示,同样得到,可以通过比较杆AB增长过程中，通过距离hA与hB来判断哪个环首先滑动，进而求的AB的长度。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,41,A D B,q1,f1,q2,f2,T1,T2,C,m,h,(1)如果,首先达到A球滑动的条件。由以上各式得到关系,以及关系,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,42

19、,进一步求出AB的长度是,总之，在条件,系统保持平衡状态，AB的长度限制为,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,43,(2)如果,由以上各式得到关系,小环B首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系,以及关系,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,44,进一步求出AB的长度是,总之，在条件,系统保持平衡状态，AB的长度限制为,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,45,讨论：如果满足条件,则给出关系，两个小环将同时滑动,此时AB的距离是,保持系统力学平衡的条件是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,46,【例题】质量M的宇航站载有质量m的卫星一起绕地球做

20、半径nR的圆周运动，R是地球的半径，n=1.25。在园轨道某位置上，沿着运动方向卫星被射出后做椭圆运动，其远地点到地心的距离为8nR,卫星绕地球一周后正好与宇航站相遇，问两者的质量比值m/M多大？,nR,R,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,47,【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为u,(1),设在圆周轨道上C点，卫星m被射出后，卫星速度为v，宇航站M的速度为V，则动量守恒,(2),此后卫星与宇航站分别以速度v与V绕地球做椭圆运动。假设两者速度方向相同。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,48,万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论,半径R0园运动的能量

21、与运动方程分别是,M,m,求出园轨道的能量,椭圆轨道的能量与长半径有关是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,49,在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系,M,m,这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到,如果质点的速度有所减少，总能量减少。园轨道成为椭圆轨道。但是，这个位置是椭圆轨道的远地点，且,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,50,因为Mm,则Vv。即C点是M的远地点，是m的近地点。用rm表示椭圆轨道的近地距，rM表示远地距，存在基本关系：,R,nR,8nR,v,V,C,用r表示M的近地距离，其远地距为圆周轨道半径，则

22、长半径是,(3),卫星的近地、远地距分别是nR与8nR,则,(4),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,51,椭圆运动的周期与长半径之间关系为,为了达到卫星运转一周后在正好与宇航站M相遇的要求，周期之间必须满足,(k正整数),(5),(6),利用以上各式，得到长半径之间的关系,(7),上式化整为,(8),继续利用守恒定律才能够得到预期结果。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,52,对M与m分别利用角动量守恒与能量守恒于近地点与远地点处。,(9),(10),利用(9)式消去V1得到V的表达式，同样利用(10)式求出v,(11),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理

23、竞赛,53,把(1)式的速度u以及(11)式代入(2)式,利用(8)式得到,(2),(12),进一步的讨论是对M的近地距r的限制，不能够撞击地球！,(8),结合(8)式,得到k满足的条件,已知,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,54,最后得到,因为k取正整数，得到,由此得到质量比值,最后当M与m反向运动时，动量守恒成为,质量比值为,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,55,以上计算位于C处的卫星与宇航站的速度，也可以按照下面方法计算。先计算卫星新轨道的几何参数,v,nR,8nR,计算卫星位于C点的能量,求出速度,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,56,【

24、例题】设赛车道的动摩擦系数与静摩擦系数m均为与速度无关的常数，在90与180 平面转弯处，可以沿着大半径R的圆弧外车道或小半径r的圆弧内车道。把赛车看作质点，忽略空气阻力，在通过弯道前后的加速、减速运动的加速度相等，转弯时的速度大于，沿着内外车道哪个车道有利？,R,r,内车道,外车道,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,57,【解】(1)沿圆弧曲线运动时的速度受侧向摩擦力的限制。圆周运动的向心力由最大静摩擦力提供。满足关系,(1),赛车的直线运动时的速度V比圆周运动的速度v大，进入圆周轨道前做减速运动，速度由V变为v;同样离开圆周轨道做加速运动，使得速度由v变为V。减速运动的力就是

25、摩擦力,(2),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,58,按照已给条件，加速运动的加速度与减速运动的加速度相等。求出需要的时间以及通过的位移是,(3),至于做四分之一圆周运动需要的时间是,(4),由以上结果可知，圆周运动的速度，加速、减速通过的位移与所需要的时间，四分之一圆周运动需要的时间都与圆的半径有关的！,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,59,(2)讨论90转弯所用时间,R,r,A,B,b,a,C,D,F,E,通过简单的几何关系可知,外车道AB段为减速过程,BD曲线为半径R的四分之一圆周运动,DE则是减速过程，而EF为匀速V运动。所用时间为,(5),沿内车道运动

26、,ac是匀速V运动,cb是减速运动,bD是半径为r的圆周运动,DF则是减速运动,所用时间是,(6),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,60,R,r,A,B,b,a,C,D,F,E,进一步分析几何关系。内道运动的减速cb与加速过程DF的长度都由(3)式得到,外道运动的AB与DE的长度则是,这得到外道匀速运动的长度,(7),而内道匀速运动的长度,(8),内外道匀速运动所用时间也是相等的。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,61,最后得到沿着外道与内道运动所需要时间差是,可见沿着外道所用的时间较少，是最有利的选择。,(9),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,

27、62,(3)讨论沿原路返回时的情况,A,B,D,F,沿着外道运动过程：AB减速、BD半圆弧匀速运动、DF加速运动，所用时间是,(10),沿着内道运动：ac匀速V运动、cb减速、bd半径r的匀速半圆弧、de加速、ef匀速V运动。,a,c,b,d,e,f,R,r,利用几何关系求出,所用时间是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,63,当，选择外道。,(11),求出两种轨道所用时间差,(12),当，,选择内道。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,64,【例题】如图所示，椭圆长短半径分别是a与b,设长半径竖直放置。一个质量为m的质点，可沿着椭圆的“直径”下滑。求质点沿着哪个直

28、径下滑用时间最短？,x,y,b,a,q,A,B,【解】如图示直径AB，极角为q,质点受重力mg与直径的约束力N作用。,q,mg,N,沿着直径AB方向加速度是,O,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,65,按照直角、平面极坐标基本关系,代入椭圆方程,得到用(rq)表示的椭圆方程,(1),进一步得到r与q的关系为,(2),质点做加速运动，通过直径AB一半长度的时间是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,66,(3),要求时间t的极小值，可以通过求上式分母的极大值得到。为此令,因为已知ab,所有当该式括号中第一项为零时，取极大值。所用时间最短。,2023/5/18,山东大学刘

29、希明辅导物理竞赛,67,由此得到质点沿着任意直径下落用时间最短的直径是,讨论：由于,所以长短半径应满足条件,(4),得到条件,(5),而如果,(6),则不存在极值。在条件(5)满足时，把(4)式代入(3)式得到时间的极小值。,这个条件对应着对称的两个极角所表征的直径。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,68,讨论当 满足时，在 范围内，时间t随q单调变化，没有极值。,在，时间，在,由上式求出时间的极小值是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,69,时间t随极角q变化的示意图,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,70,【例题】水塘里有一只青蛙停在一片荷叶的中

30、央，青蛙质量为m,荷叶质量为M，看成半径为R的园。,(1)若青蛙能够一次跳离荷叶，那么青蛙应做多少功？,(2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。,设青蛙跳离或者跳落荷叶时，荷叶均不产生竖直方向的运动，只能够在水面上无阻力的滑动。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,71,【解1】设青蛙起跳后瞬间相对地面的水平速度与竖直速度分别是vx与vy,荷叶后退的速度为v,则起跳过程中青蛙所做的功是,(1),系统在水平方向动量守恒,(2),在荷叶参考系中，青蛙起跳后相对荷叶的水平速度是,(3),按照题目要求，

31、青蛙要离开荷叶，即青蛙相对荷叶中央的位移必须满足条件,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,72,容易求出,进而利用 整理给出关系,求出青蛙竖直速度满足的条件,(4),把(2)(4)代入(1)式，得到青蛙做功的限制,(5),进一步利用公式，改写(5)式,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,73,(6),因此青蛙能够跳出荷叶，所做的功至少应是,(2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,74,【解2】设青蛙起跳后瞬间相对水面的速度v,竖直分量

32、与水平分量之夹角为q.则可以利用抛体公式处理射程问题。到达另一片完全相同荷叶的中央，水平射程是,由此求出起跳时速率的表示,(1),青蛙起跳时与荷叶系统在水平方向动量守恒,(2),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,75,设青蛙跳到另一片荷叶中心后，两者具有共同的水平速度V，再次利用水平方向动量守恒得到,(3),青蛙起跳时做的功是,(4),青蛙的机械能损失是,分别代入(2)(3)(4),得到,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,76,进一步求出比值是,因为,所以这个比值的范围是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,77,【例题】如图一辆以速度v0运动的车子A撞

33、上一辆静止的车子B，碰撞后两车一起运动直至停止，历时10秒。在这个过程中原来放在车子B车尾的1米长的物块刚好移动到车A的车顶。已知两车质量相等，物块的质量是一个车子质量的1/140，物块与车顶的摩擦系数是车与地面摩擦系数的69倍，求车A初始速度v0多大？,A,B,v0,C,A,B,C,v,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,78,【分析与解答】,车子A与发生完全非弹碰撞，可以忽略一切常规力；利用动量守恒解决。,AB碰撞瞬间作为一个整体运动，而物块C相对车子发生相对滑动，在时间t1内相对滑动停止，物块恰好移动到车子A的前端。利用相对运动解决。,A、B、C三者作为整体向前继续运动，在摩

34、擦阻力作用下，逐渐减速直到停止，这段时间为t2.且总的时间是t=t1+t2=10s.,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,79,A与发生完全非弹碰撞，设共同速度为v.动量守恒给出两者向前运动的速度,(1),设物块质量为m,车的质量M=140m,车子与地面之间的摩擦系数为m,物块与车之间的摩擦系数为m1,则m1=69m.两车在地面及物块向后的摩擦力作用下的减加速度是,(2),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,80,按牛顿三定律物块受到车子向前的摩擦力，相对地面的加速度是,(3),而物块相对车子的加速度则是,(4),物块在这个相对加速度下做匀变速运动，在t1时间内速度变为

35、零，通过的距离为l=1m.可以利用运动学关系求解。首先给出箱子相对车子的初、末速度。初速度就是车子相对地面速度，但方向相反，末速度为零停止。,f,f1,f1,v,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,81,l=1m,利用运动学公式,(5),以及运动学公式,求出,(6),相对车的物理量,经过t1时间后，箱子相对车子静止，此时两车(以及物块)相对地面的速度v1，在这个时间内由运动学给出,由(1)式得到物块的初速度,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,82,由t1时刻起，三者以初速度v1在地面摩擦力作用下做减速运动，直到经过t2时间停止。加速度是,(8),(9),利用关系 代入

36、数据求出,利用运动学公式求出,(10),(7),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,83,【解2】据前分析，得到AB碰撞后共同速度为,(1),由此开始，车AB一起向前运动，箱子C则向左相对滑动运动。经过10秒时间三者都停止。在这个过程中，箱子与车之间摩擦力做功损耗能量，这个摩擦力做功的数值为m1mgl,另一方面系统受到地面摩擦力作用同样损耗能量，这个地面摩擦力作用时间是t=10s.可以看成系统受到一个冲量作用：m(2M+m)gt,设箱子与车之间摩擦力做功使得三者的速度减少为v1，得到关系,(2),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,84,系统此时具有的动量是 在地面摩擦

37、力冲量作用下最后变为零，按冲量定理得到,(3),利用以上3式可以求出与m有关的初速度,事实上，以上3个方程包括4个量:v、v0、v1与m，显然需要进一步列出有关方程。利用相对运动关系得到,则问题全部解决。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,85,【例题】如图所示，固定的半径R竖直放置的圆环，有一个质量m的珠子套在圆环上，两者之间摩擦系数为m.初始时珠子位于圆环的最低点P，在一个附加的切向力作用下，以不变的速度v从P点到达最高点Q。求该过程中摩擦力做的功。,P,Q,m,【分析与求解】质点在运动过程中始终保持恒定速率v，做圆周运动的向心力是重力mg与支持力N两者合力提供，因此N的大小

38、与方向与圆周运动的速度有关。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,86,mg,N,A,N,P,Q,x,B,O,qB,q,设如图，珠子在任意q处，受到重力mg以及正压力N作用，则有方程,(1),上式中余弦函数cosq会取负值，如果珠子的速率v足够大，环对珠子的支持力N的方向始终指向圆心。如果珠子的速率v不是足够大，可能出现N=0的位置qB,继续向上运动时，N会改变方向，方向背离圆心。,这个速率的临界值可由在最高点Q处的N=0来确定。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,87,mg,N,A,N,P,Q,x,B,O,qB,q,在最高点Q处正压力N=0，则有,(2),设珠子的速

39、率满足条件,利用(1)式求出N=0的位置qB如图所示,(3),当珠子由p到B的运动过程中，利用(1)式的N表示式得到摩擦力,通过任意小位移DS摩擦力做的功是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,88,q,Dq,Ds,Dx,利用基本几何关系,得到珠子由q=0到q=qB摩擦力做的功,利用了基本关系,进一步计算珠子由qB到Q时摩擦力做的功，此时N改变符号，但摩擦力仍然与运动方向相反。,(4),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,89,(5),利用以上(4)(5)以及(3)得到摩擦力做的总功为,(6),对于另外一种情况，中间不存在N=0的点，则摩擦力做的总功是,2023/5/1

40、8,山东大学刘希明辅导物理竞赛,90,【例题】质量很大的车厢相对地面以速度v0匀速运动，车厢内一半径为R的固定光滑的半圆柱面，顶部有一个质量为m的物块，开始时静止，因为受到一个扰动，物块在图示平面内下滑，直到离开柱体，试求在此过程中圆柱面支持力N对物块所做的功。,R,q,v,m,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,91,【分析与解】在车厢惯性参考系，支持力始终与物块位移垂直，因此支持力也不做功。应该在地面参考系考虑做功问题。,首先在车厢惯性参考系求解物块离开圆柱时的位置与速度。此位置支持力为零。机械能守恒与圆周运动方程为,(1),解出物块脱离圆柱时的夹角与相对车厢的速度是,(2),

41、2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,92,q,v0,设物块向右滑动脱离圆柱。物块相对地面的速度为V，则有关系,(4),利用功能原理得到物块能量的改变，即支持力做的功,(5),联立以上5式，得到,(6),V,如果物块向左滑动离开圆柱体，则,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,93,x0,x,A,y,z,E,O,q,【例题】如图所示，xy平面是绝缘、刚性平面，坐标轴Oz轴竖直向上.在A(x0,0,0)处一带负电的质点,电荷量为-q.外加均匀电场强度为E的电场,E与x轴垂直,与z轴夹角为q。质点用一穿过坐标原点O的细线牵引，质点与刚性平面的动摩擦系数与静摩擦系数都为mtgq,

42、不计质点的质量。,质点在刚性平面上缓慢的移动，任何时刻都可以认为处在力平衡状态。质点的轨道是一条二次曲线,求出这条二次曲线的方程。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,94,x0,x,A,y,z,E,O,q,【分析力】质点在电场力F、细绳拉力T、摩擦力f以及刚性面支持力N共同作用下在刚性平面上作力平衡下缓慢运动。其中被动力摩擦力的方向与速度方向相反（即轨道的切线方向),由此可以得到质点的轨道方程。,把均匀电场投影到y、z方向，如图得到关系,(1),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,95,质点受到的摩擦力与N有关，正好与电场力相等，表成为,摩擦力的方向决定于质点运动的方

43、向。,质点受到电场力分解到y、z方向,(2),在z方向还受到桌面向上的支持力N作用，与电场力相平衡，得到关系,(3),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,96,质点在电场分力Fy,摩擦力f以及细绳拉力T作用下在Oxy平面缓慢运动。任意时刻三个力相互平衡，如图所示受力平衡方程为,(4),整理(4)式得到关系,(5),注意到摩擦力f的大小与电场力Fy的大小相等,(5)式化成为,该方程的解是,(6),舍去T=0的无意义解。,x,y,f,Fy,T,f,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,97,考虑到夹角范围 则(6)式的,把这个结果代入(4)中，得到摩擦力的表示,因为摩擦力始终

44、沿着轨道的切线方向，因此(8)式给出了轨道切线方向的斜率。由此可以得到轨道方程。下面做出讨论，给出质点轨道方程是园。,(7),进一步求出,(8),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,98,当f=p/2时，与Oy轴对应。k=,一般情况是质点运动到y轴上后，沿着y轴运动到坐标原点O,这不是二次曲线轨道，与题意不符。因此必定是轨道在坐标原点的切线与x轴垂直。,讨论：当f=0时，对应图中OA线，即开始的起点。k=,即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直。,x,y,A,O,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,99,二次曲线中，曲线上两点切线相互平行(与x轴垂直)，只能是园或椭圆。而A

45、、O两点的切线与连线AO垂直，因此连线ox坐标轴就是轨道曲线的轴线，另一轴线在OA的垂直平分线上且与oy轴平行，二次曲线与这个轴线交点的切线斜率为0。由(8)式得夹角,(9),因此轨道曲线是园。其方程是,x,y,A,O,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,100,【例题】如图所示,带正电小球质量为0.10kg,电荷量为810-4C.从水平地面上A点以与x轴正方向成300夹角的初速度v0抛出(v0位于Oxy竖直平面内),小球到达最高点B时(最高点位于Oy轴上),在全空间立刻产生一个匀强电场E,强度为2.50103N/C,方向平行与Oxy平面,且与x轴负方向成q夹角,当带电小球再次通过

46、y轴时,匀强电场立刻消失,试分析讨论当夹角q改变时(0q1800),带电小球的运动情况,并画出带电小球在各种情况下的运动轨迹略图。,A,30,x,y,q,B,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,101,【分析】带正电小球到达最高点加入匀强电场后，受到两个力作用，重力mg与电场力qE,由于电场力在x与y方向的分量与q角有关系。按照提供的数据得到,小球自B点进入电场，初始速度是,小球在电场区受到的力分别是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,102,【1】当电场力y分量与重力相等：，按照题设具体数据，要求q=300,带电小球仅受到在x轴负方向的电场力作用，而小球在最高点B处

47、具有x轴正方向的速度v0cosa,因此小球先沿着x轴正向匀减速运动，到速度为零时，再反向作初速度为零的匀加速运动。到达最高点B时，电场消失，仅受重力作用，带电小球作初速度-v0cosa的平抛运动，轨迹与开始时相同，但运动方向相反。,a,fx,X方向加速度与最大位移分别是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,103,【2】设夹角,小球通过最高点B后,电场力与重力满足,小球在y方向受力与初速度是,小球水平方向的初速度与电场力是,B,v0cosa,可见在负y方向作加速运动，在x方向作减加速运动。按照两个方向上能否同时到达坐标原点的不同情况，可以分成三种情况。,2023/5/18,山东大学

48、刘希明辅导物理竞赛,104,在x方向往返一次回到坐标原点的时间是,满足该条件时，质点在两个方向能够同时到达O点.,竖直方向作自由落体运动，到达y=0所需要的时间,(1),（2）,(1)令此两式相等，得到夹角满足的条件,进一步解出,(3),(4),2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,105,（2）当 时，,质点先在y方向到达y=0,而x方向没有到达x=0,因此质点在O点右侧到达x轴.,（3)当 时，如上述情况刚好相反，质点已经在x方向到达坐标原点，在y方向继续运动，因此质点在O点左侧到达x轴。,三种情况的图像如下图所示。,(1)同时到达原点,(2)先y后x到达原点,(2)先x后y到达

49、原点,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,106,【3】当夹角在 范围时，电场力y分量与重力满足关系。,在y方向受力与初速度是,在x方向受力与初速度是,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,107,小球到达最高点B以后，在水平方向作减加速运动，直到速度为零后，在负x方向作加速运动。而沿着y轴正向一直作加速运动。当小球到达y轴时，小球具有正y方向的速度以及负x方向的速度。小球开始作斜抛运动。,B,x,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,108,【4】当夹角在 范围时，带电小球受到y轴正方向的电场力 作用，在x方向则受到正方向的作用力 作用。,小球到达最高点B以后

50、，在水平方向作加速运动,在y轴正向作加速运动。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,109,【5】当,时，受力与初速度分别是,小球到达最高点B以后，在水平方向作匀加速运动。y方向不运动。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,110,【6】当夹角在,范围时，存在关系,小球y与x方向受力与初始速度,小球到达最高点B以后，在水平方向作加速运动，在y轴负向作加速运动。,2023/5/18,山东大学刘希明辅导物理竞赛,111,m1,m2,两个小球都受到重力作用，它们之间又有弹性力作用，可以直接求解，也可以利用两体方法求解，为了相互比较，下面采取不同的办法求解。,2023/5/18