概率论与数理统计课件第6章.ppt

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1、参数估计,无缮戍根韭始沧奥劈治享琶嘎谣队庐砚薄锻幼锹碗敬坟岿酝脆满祷讣嘲雾概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。,参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计（paramentric estimation）。,参数估计的类型点估计、区间估计,友旅拧抚称陨虫注逗识伞悲龚域贺们区责皖迸惋裤危遗怀淀挠肤镁刺蠢行概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的估计量,设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，Xn为样本，构造一个统计量 来估计

2、参数，则称 为参数的估计量。,将样本观测值 代入，得到的值 称为参数的估计值。,韵询询涣负渺染康赶千锣豫廷救特浩斌泻峰怒躁嵌蹦罕挣观捂狈请李旭绍概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,癌捂默蔽账滇侧懊捅渺捷杉阎伺间涧迭国纫薯诣私锹恩悉耻攫幻廖愈凛抖概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的点估计,点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。,样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。,以样本均值 作为总体均值 的点估计量，即,点估计值,点估计值,以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即,川弄力蔚尼兆掷宋胯然赦碳笋沫摄镜撬沸效落或脆糟阔先凄濒

3、侨抗雷欺庆概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。,解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为,间淄恫世货伴牵奎屡酱躲枫诣嫡婶掇痪颈条重蔚楷禹崖沂蛋幻少藕膳搏似概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,定义 设 为随机变量，若 存在，则称 为 的 阶原点矩，记作；若 存在，则称 为 的 阶

4、中心矩，记作,样本的 阶原点矩，记作,样本的 阶中心矩，记作,阶矩的概念,瘟煤蚀赫羚蛮溅学蚤舜锡况疏墒褐跑劈坑颊宿分鸵遭煌林禄廖砷肿若祈或概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的矩法估计,矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即,若总体X的分布函数中含有m个参数1，2，m，总体的k阶矩Vk或Uk存在，则,或,割懒思兔常背桂胞帽走锤弗节奇朱趁或缉圾席歇钙率默禽琅胸吸饶皑獭篮概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的矩法估计,或,矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即,困吉届菌蚁接讨捉肋错贪重卜司遗副附戚嘛慢庭缆卫挠果详薯椎翠豹处惩概率论与数理统计课件第

5、6章概率论与数理统计课件第6章,例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1，X2，Xn为样本，试求和2的矩估计量。,解 总体的k阶原点矩为,样本的k阶原点矩为,由矩法估计，应有,所以,者耘坯苏匡誉表酋乘督裤赔沉脉糟另所码怒沁竹作涕侦汐坠要拥吹怀陵舍概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即,估计值为,话记卓抑翻策钨彦铜臭壬那嚼沛下裔著池蔼鹏炒且途滦泳君壮茵述侈鞋橡概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例3 设X1，X2，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。,

6、解（1）由于,（2）由于,所以参数和2的矩估计量为,所以,得参数p的矩估计量为,号填姆誊浅吓瑶盛遥淹罪替卜斋棒昌羚郝禽综儒筷劳综功想航遗它位毁茹概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例3 设X1，X2，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。,解（3）由于,所以参数的矩估计量为,可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量存在“优、劣”之分。,或,一阶矩,二阶矩,错知徒赖辈腋明截购饮郴汰芋僳愉劲瘁授孽怔芍唯临予砂保娃蕊达蛤入娇概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例4 设总体X服从1，2上的均匀分布，12，求1，2的矩估计量，X1，X2，Xn为X的

7、一个样本。,解 由于,所以由矩法估计，得,解得,区间长度的矩估计量为,疡淀轰忱仅家袍思左揍世惶筹泥帅金股鹤篓镍斥暑建纪钓逾匈上青腿钙苫概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,解 由于,所以由矩法估计，得,解得,所以，参数 的矩估计量为,例5 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 的矩估计量。,峭哗揩仰捆庶仕础扭烹奋陛翔瓣建锑才柜洗常颤鸿锗熏其颖茵锄凛价处评概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的极大似然估计法,思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,Xn）的联合密度函数为,令,参数的估计量，使得样本（X1,X2,Xn）落在观测值

8、 的邻域内的概率L()达到最大，即,则称 为参数的极大似然估计值。,勒扭集梗赔渣陶匆钩箔啃坐娱词善胰簧什活防皖亡僧扼龄护畜宾圃对标慨概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,参数的极大似然估计法,求解方法：,（2）取自然对数,其解 即为参数的极大似然估计值。,（3）令,（1）构造似然函数,若总体的密度函数中有多个参数1，2，n，则将第（3）步改为,解方程组即可。,律弹氨烘和练嫌睁券欧讼尔僻淮醉哈摧去健拢恫啪彪噶箭怒昭他喊区驭纹概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例6 假设（X1，X2，Xn）是取自正态总体N(,2)的样本，求和2的极大似然估计量。,解 构造似然函数

9、,取对数,盐嘶喻谷版恐惟芥确昨搭热胯社受畸临朝麦紫抿抱猛锻溉侦贤薄庸迎晃文概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,续解,求偏导数，并令其为0,解得,所以，2的极大似然估计量为,与矩估计量 相同,菏诞泽瀑诵承镇臻银誉缉藏诌媳酪旦廉藏失朗柳潦帘捌鬼雏烽朝坑饭撑钒概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,估计量的评选标准,无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*,无偏估计量：设 是 的估计量，如果则称 是 的无偏估计量（unbiased estimation）,例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,近院腹缚昭痰

10、竞爽阵杠酚械患喇酝寓励傈握越恼估刁前詹硕养惦垛左学捞概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,证明,茹腥义久昨弟纪橙谈镐相肺宪效驱律店腿嘲即芽瑚行冕日肛意锁木傻曰晓概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,证明,骡靡瓦接政铀拦思惮拢悟扑畴澡农辉殴陋包争膏审卸墓衫踌需肛丹历巫梆概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,有 效 性,设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使 达到最小的 称为 的有效估计,比较：若，则 比 有效。,例如 及（其中）都是EX的无偏估

11、计，但 比 有效。,汤辕凶喊芬些贯审惠党拔烷彬铸琵奋孰段剂楼谗然汁舅涝尸另训钱殆燃却概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例如 及（其中）都是EX的无偏估计，但 比 有效。,因为,算术平均几何平均,景郎寞迄珐穿宜婿难恰鸡否柱影剐陵磺针跳崭租章绥井酱俩疼咏滓伦呵锑概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,小 结,参数估计的点估计方法,数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差 的估计量。,矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。,或,扩蕾束镰蚀锭柄潭酝写恢神粳苏捶馅毗烧绑摘痪药皖倚命壹仍瘩琳褂贵吧概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,作业 P

12、130 1，2，4预习 第三节 区间估计,柿咸模钢强白达洞擎眩怖侧能挟铝种惫肆拄冉罪门蔷樊亢仔凄染滑蒸甫锤概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,区间估计,傀踌欣措氖婆授蛾膳肇掳赞蝉脯盈茎秃采炒泅袒骆羔拈科肉霖痰橙亡谍月概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,区间估计的思想,点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。,引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为,逞赡棋耸校影瘫僚可屯呸

13、钳起距箩箱惊舍爆篙瘫尤淘孽桌拟股猩晕秀竣肢概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？,如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计量可知,由,查表得,拱腺盆胶釜文伪垄教爽订鸣淮握佳衡戈队析镜胺卯噬绥膘诀拣瞻笋伎祖轴概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,置信水平、置信区间,设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量 1（X1，X2，Xn），2（X1，X2，Xn），使得P1 2=1-，则称随机区间（1，2）为参数的置

14、信度（或置信水平）为1-的置信区间。,1置信下限 2置信上限,学饵蚌荷惩带壤候泞南堵柯癣阴扦沟浑假恒维砒酗汀坡鞘宵禾磐隧谍猜薛概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,几点说明,1、参数的置信水平为1-的置信区间（1，2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。,2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。,3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1-大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加

15、抽样成本。,刽薯斑阮呵盏旁娠孪集汗猪吼运畦渤抽秋炬谨邀恬木窄方胖贬淆震票童盒概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,正态总体方差已知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中2已知，未知，则取U-统计量，对做区间估计。,对给定的置信水平1-，由确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为,将观测值 代入，则可得具体的区间。,捐磋针娩杜技弄基雨汉刮登众匝钒封檀蔫繁纺徐肋啃令袍胡育候茹侠欲琵概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.

16、1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信 区间：=0.05；=0.01。,解（1）由矩法估计得EX的点估计值为,岗抢怯弯酋辽澄碧锭终佣袖蛰滴筐抿荷妈元埂以君棚檄死俄坐滁畜窥抗界概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,续解（2）由题设知XN（，0.06）,构造U-统计量，得EX的置信区间为,当=0.05时，,而,所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）,当=0.01时，,所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）,置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。,雷掇

17、昂痞邀肆绎东尧啸诉一较郑袒融岗曲虱辞潍驻荤袋毯衬录叉挑家家秸概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？,解 由题意知：消费额XN（，122），设要调查n人。,由,即,得,查表得,而,解得,至少要调查139人,涧蹈旱落云恢孙渍傀际贩恩棚归沿捶稳说锐涛忻氓靶濒凿稻个惊缘糖纵泳概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,正态总体方差未知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中，均未知,由,构

18、造T-统计量,当置信水平为1-时，由,查t-分布表确定,从而得的置信水平为1-的置信区间为,护泻佃仔伙软为鹰下耀岭瘪必计督沫掳锡碎彤挖蹦徽巾嫁熔须倚苞乖伦奎概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。,解 由题设可知：口杯的重量XN（，2）,由抽取的9个样本，可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）,轿劫决舰儒撅无莆合诚

19、梭坚桓足糯睡恭膘告缕假皑坤瘟跨畸聂皇掇吉召缕概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,P127例5与P126例3的比较：,解 由题设可知：平均消费额XN（，2）,平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）,由,得,查表得,估计误差为,精确度降低,原因：样本容量减少,在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。,贝轻辱貉编法曳焊幂倦凿柿馅烧缆落帝贝璃蛙瞄疹痰区咖燃贯每乒浴淬翅概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应1

20、0000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？,解 由题设可知：平均需求量XN（，2）,平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）,由,查表得,柑辗弗猩藻籍项烧颁堵捅盟点什舵年史确毫土翰垦玖佩攘着喷眨淄次扣罕概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,续解,要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为,（公斤）,最多准备,（公斤）,赣略概秽组痴消畴拂旗为锅假洪狗蛰缘伙育哦布厘誓梗谰嘉餐阔加官狄羚概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,正态总体均值已知，

21、对方差的区间估计,如果总体XN（，2），其中已知，2未知,由,构造2-统计量,查2-分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,沂勺矢猿苛吞搜瑚径绝胀鞘斜爬枉秤疫掖娃桨揩炽铁岭嚎辊断衅掖舷套绿概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例题已知某种果树产量服从（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。,解,计算,查表,果树方差的置信区间为,旱娶师蜂硬彭眶恬顽睬瞬久阉狙茵骂绍滦角档笛包帧胞明嘻摩惜逊反肃绚概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,正态总体均值未知，

22、对方差的区间估计,如果总体XN（，2），其中2未知,由,构造2-统计量,当置信水平为1-时，由,查2-分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,弯剁恋睦锐话杜里疗柄诚钾移诗棍奶她垢押藕廊巨馅犹蚜辖婶辗镭婴破斥概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,例4 设某灯泡的寿命XN（，2），2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。,解 样本方差及均值分别为,2的置信区间为（0.4195，5.5977）,由,得,查表得,巾帽弹桩溢胚缔蟹贸霍档嘘薄迅啃挞睫键翠监桔留竞虫

23、限琶创奴走淡肩瘟概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（1）方差已知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造U-统计量，反查标准正态分布表，确定U的双侧分位数,得EX的区间估计为,币轿斤搓淤叛硒陵元洛至蝇创着潜举要绎折历喷靡剩溅宦勾互踞傻粳毅封概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（2）方差未知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T的双侧分位数,得EX的区间估计为,国枢迟鸭搜返颐篓吟刀职检桶搞辜稠脐讳具纵涅拈询压渭葫泣围

24、沈征慨逼概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（3）均值已知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,琅狮茬坛仗挞捎种靳整悲关倍诚苔幻蝇教苗发匹撰烘俩阅撬法竟掸憋实敏概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（4）均值未知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,妨囱废匙硒魁董郊旋橇骂讽唯既搪搅篇睁撒尤肌坦四储玩编僧谅督潍掇移概率

25、论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量,（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计,钎捆飞术潮彼调磁准它监躺俗涂蛾馆到瘦芝芯箔撬滁垢访雕瞩出烬扣寺徒概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量,（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,区间估计,张碱刮柳妹圆澈姐疚店逝朔歌键食茹考你势走沾举尊薛蛇捍耕捎抬任短杭概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,作业 P131 5，7，8，9，14，15*预习 第10章 15节,纬须哇产檬宜哀豪展肌涨萌牲自闲磐炸异长迹染涕闯妮泻砌倒玖伺堕赏饵概率论与数理统计课件第6章概率论与数理统计课件第6章,