复变函数第5讲.ppt

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1、1,复变函数第15讲,本文件可从网址http:/上下载,2,复变函数讲到今天结束,3,分式线性映射公式:,4,现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.,5,O,6,解 所设的两个圆弧的交点为-i与i,且相互正交.交点-i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形

2、区域,张角等于p/2.,此点在第三象限的分角线C1上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.,7,映射的角形区如图所示,O,C2,C1,O,u,v,(w),8,例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性映射.,O,1,-1,x,y,l,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),9,解法一 将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周.因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1.由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0,10,从而所求的分式线性映射具有下列形式:,其中k为常数.,11,反之,形如上式的分

3、式线性映射必将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1.因为当z取实数时,即把实轴映射成|w|=1.又因为上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.2)必将Im(z)0映射成|w|1.,12,也可以在x轴上与在单位圆周|w|=1上取三对不同的对应点来求:解法二 在x轴上任意取定三点:z1=-1,z2=0,z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1,w2=i,w3=-1,则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同,由(6.3.1)式得所求的分式线性映射为,化简后即得,13,注意:如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于(6.3.3)的分式线性映射.此可见,把上半平面映射成单

4、位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多.这从(6.3.2)中的q可以任意取实数值即可明白.(6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的.如果以l=i,q=0代入(6.3.2),则,这也是一个把上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1,且将点z=i映射成圆心w=0的映射.,14,例3 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.解 由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得,因为,故有,15,从而得所求的映射为,16,例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1

5、的分式线性映射.,x,1,y,(z),O,O,u,v,(w),1,a,17,解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0.这时与,18,由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1上的点z=1代入上式,得,所以|k|=1,即k=eij.这里j是任意实数.,19,因此,将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是,反之,形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:,同时单位圆|z|1内有一点z=

6、a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1.,20,例5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0,w(1/2)0的分式线性映射.解 由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|1的中心.所以由(6.3.5)得,21,22,例6 求将Im(z)0映射成|w-2i|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为,23,2i,(z),O,(z),2i,(w),w=2(i+z),24,25,4 几个初等函数所构成的映射,26,1.幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是,因而当z0时,所以,在z平面内除去原点外,由w=

7、zn所构成的映射处处共形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍,27,O,(z),q0,O,(w),nq0,w=zn,(z),(w),O,O,上岸,下岸,w=zn,28,例1 求把角形域00.又从上节的例2知,映射,29,(z),O,O,(z),1,(w),z=z4,30,例2 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.,31,O,(z),1,32,解 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=,并使月牙域映射成角形域0argzp;再把这角形域通过映射w=exp(ij0

8、)z转过一角度j0,即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射.将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:,其中k为待定的复常数.,33,34,例3 求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,35,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,O,(z1),C,B,D,ih,-h2,C,O,B,D,(z2),C,O,Bh2,D,(z3),O,(z4),C,B,D,-h,+h,z1=z-a,z2=z12,z3=z2+h2,w=z4+a,36,解 不难看出,解决本题的关键显然是要

9、设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先,把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.第二,再应用映射z2=z12,便得到一个具有割痕-h2Re(z2)+,Im(z2)=0的z2平面.第三,把z2平面向右作一距离为h2的平移:z3=z2+h2,便得到去掉了正实轴的z3平面.,37,38,2.指数函数 w=ez 由于在z平面内w=(ez)=ez0所以,由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射.设z=x+iy,w=reij,则r=ex,j=y,(6.4.2)由此可知:z平面上的直

10、线x=常数,被映射成w平面上的圆周r=常数;而直线y=常数,被映射成射线j=常数.带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa.特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.,39,ai,O,x,y,(z),arg w=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,40,由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa.因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数.,41,例4 求把带形域00.而根据(6.3.4)又知:,42,例5 求把带形域a0的一个映射.解 带形域aRe(z)b经过映射,后可映射成带形域00.因此所求映射为,43,O,(z),a,b,(w),O,pi,(z),O,w=ez,44,作业 第六章习题,第246页开始第12题 第14题,