第四节幂级数的应用.ppt
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1、上节问题,幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数.,问题:,2.f(x)若能展开成幂级数,是什么?,3.展开式是否唯一?,1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?,7.4 幂级数的应用,7.4.1 泰勒级数,定理7.14 如果函数 f(x)在 x0的某一邻域,内具有任意阶导数,的幂级数,则其系数,且展开式是唯一的.,且在 内能展开成,证,即,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,所以,f(x)的展开式唯一的.,令 x0=x0,即得,则幂级数,如果函数 f(x)在 内有任意阶导数,称为 f(x)在点 x0处的泰勒级数.,特别地,当x0=0时,称幂级数,为函数 f(x)的麦克劳林级数.
2、,记为,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)?,?,其中 介于x与x0之间.,若函数 f(x)在 x0的某邻域内有n+1阶导数,则,由泰勒公式:,(1),(1)式对任意的n 都成立,定理7.15 函数 f(x)在点 x0的泰勒级数,在 x0的,某邻域 内收敛于 f(x)的充分必要条件是:,当 f(x)在 x0 处有任意阶导数时,推理 设函数 f(x)在 内有定义,使得,恒有,则 f(x)在 内可展开成点x0的,泰勒级数.,若,1.直接展开法求函数 f(x)的麦克劳林级数,(2)写出泰勒级数,并求出收敛半径R;,7.4.2 函数展开成幂级数,则级数在收敛区间内收敛于f(x).,(1)求,
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