－反常积分.ppt

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1、(1)f(x)在区间a,b上连续;,(2)f(x)在区间a,b上有界，有有限个间断点.,(1)区间a,b换为无穷区间？,(2)f(x)在区间a,b上无界？,5-4 反常积分,无穷限的反常积分无界函数的反常积分,一、无穷限的反常积分,的计算：,例2.计算反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地，可定义,注：对于,只有当,均收敛时，方称原积分收敛；否则，为发散。,类似地，可计算,例3.计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例4.证明第一类 p 积分,证:当

2、 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地，可定义：,说明:,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,间断点,则本质上是常义积分,而不是反常积分.,，其瑕点只有x=0.,问题：以下积分为定积分还是广义积分？,又例:,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a

3、,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:若瑕点,下述解法是否正确:,积分收敛,例1.计算反常积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.讨论反常积分,的收敛性.,例3.,当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业:,第256页:1.(3)(6)(9)(10);2,