第十五量子力学基础.ppt

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1、量子物理基础,第十五章,引言,十九世纪末，经典物理已相当成熟，对物理现象本质的认识似乎已经完成。,但在喜悦的气氛中，还有两朵小小的令人不安的乌云：,量子论,第一朵乌云：迈克尔逊的否定性实验，涉及以太和有质量物体之间的相对运动；这里引出的是第三章讲到的相对论。,第二朵乌云：黑体辐射，涉及关于分子体系的能量按自由度均分的MaxwellBoltzmann定律的失败。,跳出传统的物理学框架！,这迫使人们跳出传统的物理学框架，去寻找新的解决途径，从而导致了量子理论的诞生。,早期量子论,量子力学,相对论量子力学,普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说康普顿效应玻尔的氢原子理论,德布罗意实物粒子波粒二象性薛定

2、谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系,狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合,第十五章 量子物理基础,15-1 黑体辐射、普朗克量子假说,15-2 光的量子性,15-4 粒子的波动性,15-5 测不准关系,15-6 波函数薛定谔方程,15-8 量子力学对氢原子的处理,15-7 薛定谔方程在几个一维问题中的应用,15-11 原子的壳层结构,15-3 玻尔的氢原子理论,15-10电子自旋,15-9斯特恩盖拉赫实验,分子(含有带电粒子)的热运动使物体辐射电磁波。这种与温度有关的辐射称为热辐射(heat radiation)。,热辐射的电磁波能量对频率有一个分布。,温度不同，热辐射的电磁波能量不同

3、，频率分布也不同。,例如加热铁块，随着温度的升高:开始不发光,15-1 黑体辐射 普朗克量子假设,一、热辐射 绝对黑体辐射定律,同一个黑白花盘子的两张照片,室温下，反射光,1100K，自身辐射光,（与温度有关、热辐射）,热辐射的一般特点：,(1）物质在任何温度下都有热辐射。,(2）温度越高，发射的能量越大，发射的电磁波的 波长越短。,平衡热辐射,任一时刻,如果物体辐射的能量等于所吸收的能量，称为平衡热辐射。此时物体具有恒定的温度。,单色辐射本领（单色辐出度）M（T）：,单位时间内从物体单位表面发出的波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量 M（T），称为单色辐射本领或(单色辐出度)。,M（T）是

4、温度T和波长的函数。它反映了在不同温度下辐射能按波长分布的情况。,辐射本领（辐出度）M（T）：,从物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射功率，称为物体的辐射辐出度。,如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体称为绝对黑体，简称黑体。,绝对黑体单色辐射本领按波长分布曲线,M（T）只和温度有关,1、斯忒藩玻尔兹曼定律,黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）,（即曲线下的面积）,当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出射度最大值向短波方向移动。,2、维恩位移定律,峰值波长,二、普朗克量子假设,1.普朗克公式,1900.12.14.-量子论诞生日。,普朗克黑体辐射公式：,c 光速,k 玻尔兹

5、曼恒量,h普朗克常数,当时根据黑体辐射实验得出 h=6.358 10-34 Js,2.普朗克量子假说,(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，并和周围的电磁场交换能量。即物体发射或吸收电磁 辐射只能以“量子”方式进行。,(2)这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值，是最小能量 的整数倍,这个最小能量称为能量子。,玻尔对普朗克量子论的评价：,“在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的,产生如此非凡的结果。,基本作用量子一样在仅仅一代人的短时间里,这个发现将人类的观念,不仅是有关经典科学的观念，而且是有关通,普朗克本人在若干年内也有过很多的困惑和彷徨,能量不连续的概念与经典物理学是

6、完全不相容的！,常思维方式的观念的基础砸得粉碎，”,“在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是,以伟大的创造性观念造福于世界的人。”,为了满足智力上的快感；有人是为了纯粹功利的,目的，而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那,些普遍的基本规律，他成了一个,M.V.普朗克 研究辐射的量子理论，发现基本量子，提出能量量子化的假设,1918诺贝尔物理学奖,回顾,1、斯忒藩玻尔兹曼定律,2、维恩位移定律,绝对黑体单色辐射本领按波长分布曲线,3.普朗克量子假说,15-2 光的量子性,一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律,光电效应 光照射到金属表面时，有电子从金属表面逸出的现象。,光电子 逸出的电子。,光电

7、子由K飞向A，回路中形成光电流。,应用：有声电影、电视、闪光计数器、光敏电阻、光电池自动控制中都有着重要应用。,实验规律,1、饱和光电流与入射光的强度成正比。,2、存在遏止电势差，且遏止电压Ua与入射光频率 呈线性关系,对于最大初动能有,0,对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。,4、光电效应瞬时响应性质,实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光电子出现只需要 的时间（立即产生）。,3、存在红限频率0,*经典物理学遇到的困难,1、按照波动理论，只要光强足够大，对于任何频率的光，光电效应都会发生，不应出现截止频率。,3、光波的能量分布在波面上，连

8、续不断地传来，电子积累能量需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生。但当时并没有发现任何可以测得出的延迟时间。,2、按照波动的能量传播规律，光强越大，电子可获得的动能越大，截止电压的数值也越大，但实验表明截止电压与光强无关。,爱因斯坦光电效应方程,*爱因斯坦光子假说与光电效应方程,光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）,光子的能量,金属中的单个电子可吸收一个光子能量h(一个光子只能整个地被电子吸收或放出)以后，一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功A，一部分转化为光电子的初动能。,h为普朗克常数 h=6.62617610-34 Js,3.从爱因斯坦方程可以看出：光电子初动能和照射光 的

9、频率成线性关系。且应有红限频率0。,爱因斯坦对光电效应的解释,2.电子只要吸收一个光子就可以立即从金属表面逸出，无须时间的累积。,光强大，光子数多，单位时间内从 阴极逸出的光电 子数也多，所以光电流大。,A.爱因斯坦 对现代物理方面的贡献，特别是阐明光电效应的定律,1921诺贝尔物理学奖,例 根据图示确定以下各量1、钠的红限频率2、普朗克常数3、钠的逸出功,解：由爱因斯坦方程,其中,截止电压与入射光频关系,从图中得出,从图中得出,普朗克常数,钠的逸出功,二、康普顿效应,1922年间康普顿观察X射线通过物质散射时，发现散射波的波长发生变化的现象康普顿效应。,石墨的康普顿效应,.,.,.,.,.,

10、.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,(a),(b),(c),(d),(埃),0.700,0.750,1.散射X射线的波长中有两个峰值,与散射角有关,3.不同散射物质，在同一散射角下波长的改变相同。,4.波长为的散射光强度随散射物质原子序数的增加而减小。,光子理论对康普顿效应的解释,高能光子和低能自由电子

11、作弹性碰撞的结果,1、若光子和外层电子碰撞，光子有一部分能量传给电子,光子的能量减少，因此频率变低，波长变长。,2、若光子和内层电子碰撞，碰撞前后光子能量几乎不变，故波长有不变的成分。,4、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。,3、轻原子中的电子一般束缚较弱，而重原子中只有外层电子束缚较弱，因此，原子量小的物质康普顿散射较强，重原子物质康普顿散射较弱。,光子的能量、质量和动量,由于光子速度恒为c，所以光子的“静止质量”为零.,光子的动量：,光子能量:,康普顿效应的定量分析,（1）碰撞前,（2）碰撞后,（3）动量守恒,碰撞前，电子平均动能（约百分之几eV），与入射的X

12、射线光子的能量（104105eV）相比可忽略，电子可看作静止的。,由能量守恒:,由动量守恒:,康普顿散射公式,电子的康普顿波长,1927诺贝尔物理学奖,A.H.康普顿 发现了X射线通过物质散射时，波长发生变化的现象,光的波粒二象性,表示粒子特性的物理量,波长、频率是表示波动性的物理量,表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，即具有波粒二象性。,光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动,康普顿散射实验的意义,(1)有力地支持了“光量子”概念。也证实了普朗克假设=h。(2)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。(3)证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒 定律仍然成立。,康普

13、顿的成功也不是一帆风顺的，在他早期的几篇论文中，一直认为散射光频率的改变是由于“混进来了某种荧光辐射”；在计算中起先只考虑能量守恒，后来才认识到还要用动量守恒。,*光电效应与康普顿效应的区别：,、光电效应是处于原子内部束缚态的电子与光子的作用，这时束缚态的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面；,、康普顿效应则是光子与自由电子的弹性碰撞，光子只是将一部分能量传给电子，因而散射光子的能量（频率）低于入射光子的能量.,可以证明：只有处于束缚态的电子才可能吸收光子，自由电子不能吸收光子。,解：由题知光电子的最大初动能为,例 当波长为3000 的光照射某种金属表面时，光电子的能量范围从0到4.010-

14、19J，在作上述光电效应实验时，遏止电压|Ua|=V，此金属的红限频率 v0。,例 设康普顿效应中入射射线（伦琴射线）的波长00.700，散射的射线与入射的射线垂直，求：（）反冲电子的动能k（）反冲电子运动的方向与入射射线之间的夹角（普朗克常量h6.6310-34，电子静止质量m09.1110-31kg）,解：令p0、0和p、分别为入射与散射光子的动量和波长，v为反冲电子的动量（如图）,根据散射线与入射线垂直，可求 得散射射线的波长,0hm0c0.724A0,由公式,（）根据动量守恒定律,mvcos=h/0,mvsin=h/,tg=0/,（1）根据能量守恒定律,m0c2h0h mc2,Ekh

15、0h,hc(0）0,9.4210-5,=45.960,且 Ek=mc2m0c2,回顾,1、光电效应,2、康普顿效应,一、原子光谱的实验规律,1、光谱的分类,（1）线状光谱 光谱成线状，为原子光谱,（2）带状光谱 谱线分段密集。这是分子光谱,（3）连续光谱 光谱连续变化，谱线密接成一片，如白炽灯的光谱,十九世纪，化学、电磁学都在研究原子结构，而原子发光是反映原子内部结构或能态变化的重要现象。因此，对光谱的研究是了解原子结构的重要方法。,15-3 玻尔的氢原子理论,光谱是电磁辐射的波长成份和强度分布的一种记录。,谱线是线状分立的,光谱公式（波数）,R=4/B 里德伯常数 1.0967758107m

16、-1,巴耳末公式,2、氢原子光谱的规律性,下图是氢原子光谱图，它是分立的线状光谱。各谱线的波长是经光谱学测定的。波长越短、谱线的间隔越小。,广义巴耳末公式,里兹并合原理,3、原子光谱的实验规律,二十世纪初，关于原子光谱的实验规律已总结出：,（1）谱线的波数由两个谱项差值决定。,（2）如果前项整数参量保持不变，后项整数参量取不同值，则给出同一谱线系中的各谱线的波数。,（3）改变前项整数参量值，则给出不同的谱系。,这些实验事实已深刻地反映了原子内部的某种规律，但用当时的经典理论去研究，仍然是茫无头绪。,二、玻尔的氢原子理论,1、原子的核型结构,（2）1912年卢瑟夫以其著名的 粒子散射实验最终地建

17、立起了经典的原子核式模型：原子中央有一个带正电的核，它集中了原子的全部正电荷和几乎全部的质量；电子以封闭轨道绕核旋转；核半径10141015m）；整个原子中正负电荷之和为零。,（1）1803年，JJ汤姆孙提出了一个原子结构模型：一个带正电荷的球体，其中嵌着一些电子。但其不能解释氢原子的光谱和其他一些实验现象。,（3）原子的核式模型与经典电磁理论的困难,2、玻尔理论的基本假设,卢瑟福的原子核式模型能正确解释粒子散射实验，但这个 模型会使原子不稳定，且不能解释光谱的规律。因此,1913 年，丹麦物理学家玻尔正式发表了氢原子理论。,按经典电磁理论，原子应是不稳定系统 原子光谱应是连续的,爱因斯坦的光

18、子说已经指出：原子发光是以光子的形式发射 的，光子的能量正比于它的频率。从能量守恒的角度来看，原子发射一个光子，能量就少了，即从发射前的初态Ek减少到未态能量En，光的频率应为,玻尔频率条件,h,将此式与里兹并合原理相比较，并将其用波数表示为,可以看出，光量子理论与里兹并合原理是完全对应的，即谱线的两光谱项分别对应于原子的初、末态能量。,由于光子能量等于原子两个状态能量之差，而原子光谱是分立的，那么，原子内部各个能量状态也一定是分立的，而不是连续的.,玻尔在分析原子的量子态时,提出了著名的对应原理。玻尔认为，在原子范畴里应该用与经典物理不同的量子规律，但是，经典物理是宏观世界成功的理论，经过实

19、践检验是正确的。因此，量子规律如果是客观规律，则必须在经典物理成立的条件下与经典规律相一致，这就是对应原理。对应原理是建立新规律的指导性法则，玻尔把这些思想揉进了原子的核式模型，提出了他的氢原子理论的三大假设：,1、定态假设,原子系统存在一系列不连续的能量状态，处于这些状态的原子中的电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量。这些状态称为稳定状态，简称定态。对应的能量E1,E2,E3是不连续的。,玻尔原子理论的三个基本假设：,2、频率假设,原子从一较大能量En的定态向另一较低能量Ek的定态跃迁时，辐射一个光子,跃迁频率条件,原子受激从较低能量Ek的定态向较大能量En的定态跃迁时，吸收一

20、个光子,3、轨道角动量量子化假设,轨道量子化条件,n=1，2，3为正整数，称为量子数,基本假设应用于氢原子：,(1)轨道半径量子化,第一玻尔轨道半径,（n=1,2,3),(2)能量量子化和原子能级,基态能级,激发态能级,氢原子的电离能,最稳定,(3)氢原子光谱,氢原子发光机制是能级间的跃迁,R实验=1.096776107m-1,(4)吸收光谱和发射光谱 由于能级的不连续，原子中的电子每次吸收（辐射）的能量只能是本原子系统的两个能级之差，不满足的不能被吸收，因而每类原子有自己的特征标识吸收光谱和发射光谱 同类原子的吸收光谱和发射光谱是重合的。,注意：一个原子在一次吸收(或辐射)时，只能有一条吸收

21、(或发射)谱线。一般情况下物质中包含的原子数足够多,因而一定能看到它的全部谱线。,氢原子光谱中的各种线系，从能级的观点看，同一线系的光谱线:就是从几个不同的高能级跃迁到同一低能级所发射的谱线。,三、玻尔理论的缺陷,1.把电子看作是一经典粒子，推导中应用了牛顿定律，使用了轨道的概念，所以玻尔理论不是彻底的量子论。,2.角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。,3.无法解释光谱线的精细结构。,4.不能预言光谱线的强度。,玻尔理论在人们认识原子结构的进程中 有很大的贡献。,玻尔理论中关于定态（能量有一定值），关于能级（能量量子化），关于频率条件，关于角动量是量子化的等

22、概念,至今还是正确结论。,虽然轨道概念不适用了，但是借用它仍然可以得到一些有意义的结论。,例如，可以估计原子的大小；可以估计原子中电子速度的大小；n 越大,离开原子核越远；,N.玻尔研究原子结构，特别是研究从原子发出的辐射,1922诺贝尔物理学奖,例（1）将一个氢原子从基态激发到n=4的激发态需要多少能量？（2）处于n=4的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？,解：（1）,（2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有6条谱线。,由图可知，可见光的谱线为n=4和n=3跃迁到n=2的两条,例

23、根据玻尔理论，氢原子在n=5轨道上的角动量与在第一激发态的角动量之比为(A)5/2.(B)5/3.(C)5/4.(D)5.,答：根据玻尔理论，其轨道角动量为,所以在n=5和n=2的轨道上的角动量之比为5/2，即选（A）,例具有下列那一能量的光子,能被处在n=2能级的氢原子吸收?,(A)(B)(C)(D),解:,故选（B）,回顾,1、氢原子光谱规律,2、玻尔的氢原子理论,三个基本假设,能级与谱线系,基态能级,最稳定,一、德布罗意波,1、实物粒子具有波粒二象性.,自然界在许多方面都是明显对称的。既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电子，是否也应具有波粒二象性？,1924年法国青年物理学家德布罗意

24、在光的波粒二象性的启发下提出了此问题。他认为：19世纪物理学家对光的研究只重视了光的波动性而忽视了光的微粒性,而在实物粒子(即中子,质子,电子,原子,分子等)的研究上可能发生了相反的情况,即过分重视了实物粒子的微粒性,而没有考虑实物粒子的波动性,因此他提出实物粒子也具有波动特性的假设。,15-4 粒子的波动性,德布罗意物质波的假设：任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离。,运动的实物粒子的能量E、动量p与它相关联的波的频率 和波长之间满足如下关系：,德布罗意关系式,表示自由粒子的平面波称为德布罗意波(或物质波),有限空间能稳定存在的波必定是驻波。,导师朗之万把德布罗意的

25、文章寄给爱因斯坦，,他用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的 轨道量子化条件：,经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。,论文答辩会上有人问:“这种波怎样用实验来证实呢？！”,德布罗意答：“用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”,爱因斯坦对此论文评价极高，说：“他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！”,二、物质波的实验验证,1、1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。,衍射最大值：,电子的波长：,电流出现峰值,戴维孙革末实验中,例如，对d=0.91 的镍片,使650，当加速电压U=54V时,电流有第一级极大,布拉格公式,算得,2、汤姆逊(1

26、927年)做的电子通过金多晶薄膜的衍射实验,德布罗意公式,算得,陆续有实验证实原子,分子,中子，质子也具有波动性.,一个重要应用：电子显微镜,其分辨本领比普通光学仪器要高几千倍,如我国制造的电子显微镜,其放大率高达万倍,其分辨本领达1.44,可分辨到单个原子的尺度,为研究分子结构提供了有力武器.,L.V.德布罗意 电子波动性的理论研究,1929诺贝尔物理学奖,C.J.戴维孙 通过实验发现晶体对电子的衍射作用,1937诺贝尔物理学奖,三.一切实物粒子都有波动性,一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？,估算：质量m=0.01kg，速度 v=300m/s的子弹 的德布洛意波长为,波长小到实验难以测量的程

27、度(足球也如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。,物质波的波速 u 并不等于相应粒子的 运动速度v，它们之间的关系是,证明：,波速为，,根据德布洛意公式，相应粒子有,两式相乘得,光波的波速 等于光子的运动速度，两者都等于c。,注意1：,注意2：,有,而物质波波速,在有些情况下，我们可由粒子的动能求 德布罗意波长。可利用相对论公式,注意3：,相对论情况,非相对论情况,自由粒子速度较小时,电子的德布罗意波长为,例如：电子经电势差 U加速后,这说明德布罗意波的波长一般很短,因而在普通的实验条件下难以观察出其波动性.,四、德布罗意波的统计解释,1926年,玻恩提出了物质波是一种概率波的观点。

28、,爱因斯坦光量子：光强的地方，光子到达的概率大；光弱的地方，光子到达的概率小。,玻恩认为微观粒子也一样。,物质波是一种既不同于机械波,又不同于电磁波的一种概率波。,经典物理：粒子是分立的,集中在一定的范围内,而波是连续的,是弥漫在整个空间的。二者如何统一起来呢?,物质波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一。,用电子双缝衍射实验说明概率波的含义：,(1)强电子束入射 衍射图样是许多电子在同一个实验中的统计结果。,1961年琼森（Claus Jnsson）将一束电子加速到50Kev，让其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为d=2.010-6m的双缝

29、,当电子撞击荧光屏时,发现了类似于双缝衍射.,(2)弱电子束入射 电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用的结果。,底片上出现一个一个的点子。显示出电子具有粒子性。开始时底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样。衍射图样来源于“一个电子”具有的波动性。,一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。,单电子双缝衍射实验：,7个电子,100个电子,3000,20000,70000,说明衍射图样不是电子相互作用的结果,它来源于单个电子具有的波动性。,衍射图样对一个电子来说，每个电子到达屏上各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的统计结果。,德布罗意波（物质波）也称为概率

30、波。,应该注意，概率本身是一个统计概念。,微观粒子所呈现的统计规律性和以前分子动理论中大量经典粒子所呈现的统计规律性是不同的。,微观粒子的波粒二象性是单个粒子所具有的本性。,实物粒子的二象性就统一在“概率波”上。,微观粒子在某些条件下表现出粒子性,在另些条件下表现出波动性,而两种性质虽寓于同一体中,却不能同时表现出来。,实验说明电子的干涉图样是大量电子的一种统计运动的结果。对于单个电子,在某一时刻,它到底是通过那一个缝,过缝后落在屏上那一点是随机的，无规律的；对于大量电子(或一个电子的多次行为)来说，它们到达光屏上的位置则是遵从某种统计规律的。,德布罗意波的统计解释是:微观粒子在某点处附近的小

31、体积元内出现的概率,正比于该处物质波振幅的平方.,(3)概率波的干涉结果。,M.玻恩 对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释,1954诺贝尔物理学奖,（2）波动性,指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、“衍射”、等现象。,但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场等）的波动。,（1）粒子性,指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。,但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有确定的轨道，在屏上以概率出现。,应抛弃“轨道”的概念！,怎样理解微观粒子的二象性：,例 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同（1）它们的动量大小是否相同？为什么？（2）它们的（

32、总）能量是否相同？为什么？,答(1)电子和光子的动量大小相同因为 对两者都成立，而相同，故p相同,(2)电子和光子的能量不相等,由（1）知，电子和光子的动量相等,即,E1Em1m,E1E,=cv,m1vmc,电子的能量 E1m1c2 光子的能量 E mc2,例为使电子的德布罗意波长为1A 需要的加速电压为 V,解:,例能量为15eV的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长。,解：远离核的光电子动能为（非相对论效应）,光电子的德布罗意波长为,一、测不准关系,对于宏观粒子,某时刻可以用粒子确定的坐标、速 度、能量等来描述它在这个时刻的运动状态。（自然 也

33、就导致了轨道的出现）。,由于德布罗意波的存在，使我们不得不接受一个经 典概念无法理解的测不准原理，这是一个普遍原理，形式多样。,微观粒子具有波粒二象性,如果我们也把经典力学表征宏观粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子,那么粒子的波动性就会不可避免地要对这种描述加以某种“限制”.,15-5 测不准关系,微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。,X方向电子的位置不准确量为：,理论和实验都证明：波动性使微观粒子的坐标和动量（或时间和能量）不能同时取确定值。,电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.,X方

34、向的分动量px的测不准量为：,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：,经严格证明此式应为：,这就是著名的海森堡测不准关系式,如果对电子的坐标测量得越精确(x越小)，动量Px就越不精确；反之亦然。,W.海森堡 创立量子力学，并导致氢的同素异形的发现,1932诺贝尔物理学奖,测不准关系式的理解,1.用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制。,2.可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。,普朗克常数作为经典理论和量子理论的判据.与h同量纲的物理量(如角动量等)的数值远大于h时,这时h可忽略不计,则粒子的行为可用经典理论来处理.反之,只

35、能用量子理论的方法来处理.,V h宏观,原子处于激发态的平均寿命一般为,这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。,于是激发态能级的宽度为：,*测不准关系是微观粒子二象性的必然结果，源于微观粒子的（概率）波动性，并不是测量仪器的不精确或技术问题。,3.对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间t 之间也有下面的测不准关系：,所以坐标及动量可以同时确定,1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？,电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？,例 设电子的动能=10eV，试说明在原子中电子的 运动不存在“轨道”。,速度的不确定程度,速度的不确定程度

36、与速度本身数值属同一数量级，故轨道概念不适用。,解：因能量很低，故属非相对论效应，所以速度为,式中x=0.5310m,由测不准关系，,15-6 波函数 薛定谔方程,单色平面简谐波波动方程,一、波函数,描述微观粒子运动状态的概率波的数学式子,若系统能量为确定值而不随时间变化,只与坐标有关而与时间无关，振幅函数,波函数的物理意义,在某处发现一个实物粒子的概率与波函数平方成正比,t时刻在(x,y,z)附近小体积元dV中出现微观粒子的概率为,波函数的平方表征了t 时刻，空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度,说明：代表粒子概率分布的不是波函数本身，而是波函数模的平方。波函数的物理意义是：波函数在某点处

37、的强度等于粒子出现在某点处附近的概率密度。,体积元dv内粒子出现的概率,则在体积v内出现的概率,波函数归一化条件,波函数的标准条件：单值、有限和连续,在一般的原子现象中，可以不考虑粒子的产生与湮灭现象，故在整个空间范围内去搜寻它是一定能够找到的,也就是说,粒子在整个空间范围内出现的概率等于1,物质波与经典波的本质区别,经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。,可测量，具有物理意义,1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般是不可测量的。,2、物质波是概率波。,等价,对于经典波,解：利用归一化条件,例：求波函数归一化常数和概率密度。,二、薛定谔方程,微观粒子具有波粒二象性,因此对于其动力

38、学问题,牛顿方程已不再适用,必须另建一套处理微观粒子问题的方法.1926年奥地利物理学家薛定谔在德布罗意波假说的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程.,薛定谔方程既不能由经典理论导出,也不能用严格的逻辑推理来证明,它是薛定谔在旧的波动方程的基础上改造而来,它的正确与否只能用实验来验证.,1、一般的薛定谔方程,微观粒子的运动状态用波函数(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这个波函数应该是适用于微观粒子波动（微分）方程的一个解。,方程必须能满足德布罗意波公式的要求.,方程必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理(因为物质波能够干涉),这就是一般的薛定谔方程,薛定谔运用物理学中类比的方法，

39、提出了波函数(x,y,z,t)所适用的（在非相对论的）动力学方程：,（）,表示微观粒子受到的作用势，它一般是 的函数,（）m是微观粒子的质量,引入哈密顿量算符,哈密顿量代表粒子的总能量E(注意t),用哈密顿量表示的薛定谔方程为,处于定态的微观粒子的波函数称为定态波函数（或称为能量本征函数），这时常用小写的 表示，即,定态波函数所满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程，,式中是粒子的总能量，又称为能量本征值,、定态薛定谔方程,如果微观粒子受到的作用势不随时间变化，亦即 U=U(x,y,z),此时系统的能量不随时间变化，这种状态称之为定态。,3、薛定谔方程的意义,一维定态薛定谔方程,即微观粒子在外势场

40、中作一维运动，这时该方程为,薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿定律在经 典物理中的地位相当。薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有 什么更基本的原理可以证明它的正确性。薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事 实去验证。薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。,E.薛定谔 量子力学的广泛发展,1933诺贝尔物理学奖,15-7 薛定谔方程在几个一维问题中的应用,一、一维无限深势阱,金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动,势能函数为：,对区：,通解为,方程的通解为：,波函数连续,对区：,粒子的能量,称为能量本征值,*:和经典力学显著不同的是：,1、经典力学中首要的是受力分析,力函数不同,牛

41、顿方程的形式就不同。而这里首要的是寻找势 能函数,势能函数不同,薛定谔方程的形式就不同,它们的运动状态亦不同.,2、待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中是完全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。,1、处在势阱中的微观粒子,其德布罗意波只能是驻波.,这是因为在阱壁处（即x=a/2,x=-a/2处）其(x)=0，只能是波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端来回反射,必定形成德布罗意驻波。,二、方程解的物理意义,、概率密度,即其波长必须满足,相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。,相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。,48个Fe原子形成“量子围

42、栏”，围栏中的电子形成驻波.,三、能量本征值,（n=1,2,3,.）,1、能量取特定的分立值(能级).能量量子化，整数n叫主量子数。,2、最低能量(零点能)波动性,成功：从定态薛定谔方程出发,利用波函数应遵守的标准化条件(边值条件中隐含着函数连续单值),可自然地得出能量的量子化条件。,n1时，称基态能级（零点能）,基态能不为零，是经典物理不能解释的.,如n=0，则E0，粒子动能为零，不运动，这不可能。也与德布罗意假说相矛盾，因为=h/p。,3、能级间距,可看出,能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比.,微观粒子若限制在原子尺度内运动时,2ma2 即阱宽很小时,这时能量的量子化是很显著的,因此必须

43、考虑粒子的量子性;,若在自由空间(相当于阱宽无穷大)运动,其能级间距也非常小,可认为能量变化是连续的。,量子 经典(玻尔对应原理),一维无限深势阱中的粒子,当n时，量子 经典,例 粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为,若粒子处于 n的状态,、粒子出现概率最大的位置、粒子出现概率最小的位置、当n很大时，两相邻概率最小的位置之间的距离、n=1时，在区间(0a/4)发现粒子的概率是多少?,解：n=2时,、最大的位置,、最小的位置,除x=0，x=a 处外，,、n很大时，,、当n=1时，在区间(0a/4)发现粒子的概率是多少?,=0.091,回顾,1、波函数,物理意义：波函数在某点处的强度等于粒子

44、出现在某点处附近的概率密度。,（n=1,2,3,.）,2、薛定谔方程在一维无限深势阱中的应用,得到,满足归一化条件和标准条件,15-8 量子力学对氢原子的应用,氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。,电子势能函数,电子的定态薛定谔方程为,由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。,定态薛定谔方程为：,由于是定态问题(是驻波）,故对波函数进行变量分离,令,将其代入上式,并运用待定系数法,经整理可得三个分别只含的三个常微分方程,即为,于是，解方程的结果,可得到描述粒子运动状态的三个重要的量子数,主量子数n,角量子数

45、l,磁量子数ml,解上述方程时，()的方程只有对某些 ml 值方程才有解。,然后把ml 代入()的方程，这时只有某些 l 的值方程才有可接受的解。,再把符合上述()方程的 l 代入R(r)就会发现，只有对于某些总能量E才有可能的解。,1、能量量子化（主量子数n）,(1)若 E0 即E=Ek+U0 说明 EkU 这时电子已不再受氢核的束缚,处于电离状态,可近似视 为自由电子，能量可取连续的任何值。,二、方程解的物理意义,若 E0,即E=Ek+U0 则 EkU 根据其波函数必须满足的标准条件,解得,n=1,2,3,.,n 称之为主量子数 n=1,2,3,其决定着氢原子能量的取值.,这些结果显然与玻

46、尔的结论一致,但这是解方程的结果,无须人为地假设,故这是一个自洽的理论体系.,n=1,称之为基态,代入有关数据,算得,n=2.3.4 称之为激发态,它们的能量为,2、角动量量子化,氢原子核与电子之间的相互作用势函数为 U(r)=-ke2/r,(1)角量子数l,解上述方程可得轨道角动量的大小为,即轨道角动量 L的大小是量子化的,式中l是角量子数.,计算表明,当主量子数 n 确定后,角量子数可取 l=0.1.2.3.(n-1)角动量L共有n个分立的值,这与玻尔理论不同,在玻尔理论中,具有球对称性,即具有转动不变性,由此可推知,电子的运动状态也应具有某种转动不变性。我们不妨把电子运动状态的这种转动不

47、变性想象为一种轨道运动.,(2)角动量不同态的名称,由于在光谱学中常用 s p d f 等字母,分别表 示 l=0,1,2,3.(n-1)电子的状态,现仍沿用这些称号,例如，n=2,l=0,1 就分别称之为2s 态和2p态,其对应关系 详见下节教材。,(3)简并现象,简并态,简并度,上面计算表明,对应于一个主量子数n,可有n个不同的值,即在同一能级，电子可取n个不同的角动量,对应若干个 不同的运动状态,这种现象就称作“简并”现象.,简并态:指不同运动状态的粒子,对应于同一能级的状态.,简并度:指一个能级所能允许的不同的状态数.,3、角动量空间量子化,索末菲认为:玻尔的轨道平面不仅轨道半径是量子

48、化的,而且轨道平面在空间的取向也是量子化的。,即，轨道角动量的大小是量子化的,而对于一个给定的角动量 L,其在z轴方向的投影Lz也是量子化的。,计算表明：,m 称为磁量子数 其决定电子角动量在空间的可能取向,对于一个给定的l m=0.1.2.3l 这时L在空间可以有(2l+1)可能取向.,例：当l=2时，L 与z轴的夹角可有如图的几种形式.,L 矢量永远不能与z轴重合,而只能有某些分立的夹角.,Lz与L是矢量的分量与矢量的模的关系,故 ml l.,ml=0.1.2,说明:“Z方向”的问题.在氢原子中,电子在库仑场中的势函数具有球对称性,因此可选取任何一个方向为Z轴.但当原子处在外场中(磁场或电

49、场)时,球对称被破坏,这时外场就是一个特殊方向,这时,一般选取外场方向为Z轴方向.,ml=0，表示L与z轴垂直,“”表示 L对z轴正负向的投影。,对于氢原子中的电子简并度,角动量的大小是量子化的,角动量在z轴的分量Lz也是量子化的,那么，对应于每一个能级En，电子可以取的状态数有,对应于每一个能级有n2个简并态,对一个给定的能级n,1、主量子数n,决定着氢原子的能量,2、角量子数l,决定轨道角动量大小,3、磁量子数ml,决定轨道角动量的空间取向,而对应于每一个电子状态,需要三个量子数来描述,证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。即角动量在空间的取向是量子化的。,1、电子的轨道磁矩,电子磁矩大

50、小,15-9斯特恩盖拉赫实验,电子的角动量L=,电子在有心力场中运动，角动量守恒,角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影,L,磁矩在z轴的投影,载流线圈在外磁场中受力矩作用,力矩做功,相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）,磁场在z方向不均匀，载流线圈在z方向受力,结论：原子射线束通过不均匀磁场，原子磁矩在磁力作用下偏转。,1921年，斯特恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。,实验现象：屏上几条清晰可辨的黑斑,结论：原子磁矩只能取几个特定方向，即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。,斑纹条纹数=2l+1,从斑纹条