不等式的证明及其运用毕业论文.doc

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1、 本科毕业设计（论文）( 2013 届 )题 目： 不等式的证明及其运用 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09数学与应用数学 姓 名： 王乃泽 学 号： 09205013247 指导教师： 欧建光 职 称： 副教授 完成日期： 2013年4月20日 不等式证明及其运用王乃泽（温州大学瓯江学院，浙江温州，325027） 摘要：不等式证明及其应用在数学中有着不可或缺作用和地位，从初等数学到高等数学，不等式一直同我们形影不离，它的应用范围非常广泛，是数学教学容重要组成部分。在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容，本篇论文主要介绍几个著名不等式之间证明，运用，以及联系

2、，帮助大家区分解决如何合理有效的运用这些不等式来达到自己所想要的预期效果。这几个不等式也是我们经常在学习中所要用的，具体的来说，就是通过凸函数的相关定义及其性质，进而引入Jensen不等式，由Jensen不等式推导所要的holder不等式，从holder不等式中我们看出，只要稍加变形就是大家广为熟知的柯西不等式。而柯西不等式是本篇论文讨论的重点内容，我们将着重讨论柯西不等式的几种主要表现形式及相关的证明，应用举例等等。在此之后我们还将通过柯西不等式推导著名的均值不等式，从均值不等式回到Jensen不等式的相关内容。至此，为本篇论文所论述的重要内容。 关键词：凸函数；不等式；Inequality

3、 proof and its applicationWangnaizeOujiang College, Wenzhou University，Wenzhou, Zhejiang，325027 Abstract：Inequality proof and its application in mathematics has a indispensable role and status, from elementary mathematics to higher mathematics, inequality has been and we were like peas and carrots,

4、its application range is very wide, is an important part of the capacity of mathematics teaching. In the inequality proof process need to use many mathematical thought, combined with many important mathematical content, this paper mainly introduces several famous between inequality proof, use, and c

5、ontact, help you distinguish between solve how to reasonably and effectively use the inequality to achieve their desired expected effect. These a few inequality is we often in the study will use, concrete, it is through the convex function related definition and nature, and then introduce Jensen ine

6、quality, Jensen inequality is derived by the holder inequality, from holder inequality we see, as long as everyone is a widely known as the deformation of Cauchy inequality. And Cauchy inequality is discussed in this paper the key content, we will mainly discuss the Cauchy inequality several main fo

7、rms and relevant proof, examples of application and so on. After that we will through the Cauchy inequality is famous mean inequality, from mean inequality back to Jensen inequality related content. So far, this paper discusses the important content. Keywords: convex functions; Inequality; 目录前言41 凸函

8、数的性质及其应用51.1凸函的定义及性质51.2 由Jensen不等式推导holder不等式的相关证明72 柯西不等式92.1柯西（Cauchy）不等式92.1.1柯西不等式几何证明92.1.2柯西不等式的主要形式102.2柯西不等式的应用举例14 2.2.1应用柯西不等式求最值142.2.2柯西不等式推导点到直线的距离公式152.2.3柯西不等式求解有关三角形的问题152.2.4 由柯西不等式求解方程组162.2.5 由柯西不等式求解有关三角函数不等式问题172.3由柯西不等式推导均值不等式的部分相关证明183 均值不等式的应用193.1均值不等式的应用举例193.2 由均值不等式推导Jen

9、sen不等式的个例22致谢23参考文献24前言数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。自从著名数学家H. Hardy,J. E. Little wood 和 G. Pl ya 的著作 Inequalities 由 Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。20世纪80年代以来在中国大地上出现了研究不等式热潮。 杨路等教授对几何不等式研究

10、的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平;祁锋教授和他所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文一个不等式及其若干应用针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。20世纪90年代以来，我国一大批学者如杨必成，徐利治教授等对不等式及其证明方法与研究方面取得了举世瞩目的成果。由于这些结果在理论

11、和实际运用方面都有重大意义，引起一系列广泛研究，当中取得各式各样的进展，成果在众多报刊杂志上被发表。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的发展成果。例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求 。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的矩阵论中不等式。除此之外,国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。 不等式不但是证明在自然学科和人文社会学科以至我们的日常生活中的应用都在不断的深化和发展，而且是研究高等数学不可或缺的一项重要内容，无论是在证明还是计算中经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学分析中主要研究的问题

12、之一，可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。不等式的研究主要包括以下四个方面，推广和改进现有的不等式，建立新的不等式，扩大不等式的应用范围，探索不等式的证明方法。本文主要探讨几个著名不等式之间的内在联系，通过他们的联系探索不等式的证明方法。本人通过收集整理资料发现，由于不等式分布范围之广，大多学科都有涉猎，但是很少有给出以我们现阶段所学的这些著名不等式为文章的主要脉络或是零散的给出个别著名不等式，展开挖掘它们的内在联系，基于这个前提，因此撰写了本篇论文。 回顾数学学习历程，不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，在证明不等式前，往往需要依据题设和特征不等式的结构特点、内

13、在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，通过揭示问题的本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题。因此熟练掌握不等式证明的几种方法并能灵活运用常用的证明方法，对以后的学习有着非常重要的意义。 1 凸函数的性质及其应用1.1凸函的定义及性质 定义1 设是定义在闭区间上的函数，若对任意，和任意，有则称为上的凸函数.反之，如果有则称为上的凹函数. 性质1 设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为凸（凹）函数的充分必要条件 （）例1 A，B，C为ABC的三个角，证明：证 设，所以有 所以是上凸函数若是ABC的三个角，则有 即 因为 所以 同理可以证明 例2

14、 证明不等式其中a，b，c均为正数。 方法一 证 设由的一阶和二阶导数 可见， 从而 即 又因 ，所以 这个题目还有一种较为简单的做法就是比较法 方法二 证 由于不等式关于的对称性，不妨设, 因为 故原不等式得证。我们将定义拓展为一般情形，即得到（詹森（Jensen）不等式）若在为凸函数，则对于任意,有例3 已知 ， 求证：. 证 设，易知 所以由琴声不等式可得 = 即 成立， 等号成立当且仅当.1.2 由Jensen不等式推导holder不等式的相关证明 定义 我们把这样的不等式称作holder不等式.证法一 令，则，所以在为凹函数，则对于任意,由Jensen不等式可知 从而可得 令 则 整

15、理后即得到holder不等式 证法二，则有 得 由holder不等式我们可以看出当.2 柯西不等式2.1柯西（Cauchy）不等式2.1.1柯西不等式几何证明 柯西不等式在数学中的用途非常广泛且十分重要，我们在对柯西不等式有个概括性了解之前，有必要先对柯西不等式做一个直观的了解，现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出简单的几何解释。（1）二维形式 图2-1如图，可知线段，及的长度分别是 表示与的夹角。由余弦定理，有将，的代入，得到而，故有即 这就是柯西不等式的二维形式。当且仅当，即是零或平角，亦即当且仅当在同一条直线上时等号成立。 （2）三维形式 对于三维情形，设是不同于原点的两个点，则与之间

16、的夹角的余弦有 又因为，得到柯西不等式的三维形式 当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有2.1.2柯西不等式的主要形式，等号当且仅时成立（k为常数，）时成立.方法一证 构造二次函数 = 恒成立即 当且仅当，即 时等号成立方法二证 运用数学归纳法当 当 又因为 所以有 当且仅当 时等号成立. 当且仅当.当且仅当 所以 时不等式成立除此之外柯西不等式还有其他两种主要表述形式 （1）当时，式显然成立。以下设.令t是一个实变数，作向量 记 （1）由（1）可知，不论t取何值，一定有即 （2）取代入（2）式，得即 两边开方便得 当线性相关时，等号显然成立。反过来，如果等号成立，由以上证

17、明过程可以看出，或者。（2）柯西不等式的三角形式 当且仅当时等式成立. 证 因为由柯西不等式 （1） （2）当且仅当时等式成立，由（1）（2）得 所以 当且仅当时等式成立.(3)积分形式的柯西不等式定理 设和是在上的实可积函数，则当且仅当和是线性相关函数时等式成立.证 对任意实数,有 即 即 这个不等式也称为柯西施瓦茨不等式。这个不等式还可以这样证明 引入定义在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中，对于函数定义内积这样定义出来的构成-欧几里得空间 根据以上定义结合我们可以得出2.2柯西不等式的应用举例2.2.1应用柯西不等式求最值例1 设实数解 因为，由柯西不等式， 等号成立当且仅当，当.例2

18、 解 有柯西不等式有 所以有 2.2.2柯西不等式推导点到直线的距离公式 已知点为直线外的一点及直线 求点到直线的距离。解 设点是直线上的任意一点， 记 （1） （2） 点两点间的距离就是点到直线的距离等价于（2）有最小值由西不等式有=由（1）（2）得 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式2.2.3柯西不等式求解有关三角形的问题（1) 我们引用第二章的例子稍加变形来说明证 由柯西不等式有即 （1） 因为 将（3）代入（2）得 将（4）代入（1）得(2) 设p是内的一点，是p到三边a,b,c的距离，R是外接圆的半径。证明 证 由柯西不等式，得 故不等式成立. 2.2.4 由

19、柯西不等式求解方程组求解方程组 解 记方程 结合 （1）（2）两式得 所以有 得 2.2.5 由柯西不等式求解有关三角函数不等式问题例 设 求证：在证明该题之前我们先引入柯西不等式的推论推论 则有 证 因为 由柯西不等式的推论得 又因为 已知 所以 该题得证.通过以上例子，我们可以看出柯西不等式的应用是相当广泛的，对于在不等式中涉及到平方和的积，或是积的平方和问题时，我们往往可以通过条件或是有条件转变而来运用柯西不等式来解决问题。 2.3由柯西不等式推导均值不等式的部分相关证明 在推导均值不等式前我们先了解下均值不等式设由n个正数，则常记为先证由柯西不等式 令 则有 两边除以得两边同时开方得

20、现在来证.由，当且仅当时等号成立。所以当时，命题成立.假设时命题成立，现在来证时成立.当，则分子分母同乘以得 =即 ，则 .所以有，成立.3 均值不等式的应用3.1均值不等式的应用举例在运用均值不等式前，我们应该要知道均值不等式的所谓一“一正，二定，三相等”的原则，即变量都是正数，其次平方和或积为正值，最后含变数的个项均相等，取得最值。我们现在通过一个例子简单的说明下：（1）均值不等式求最值 例 （2）均值不等式易错题型 在求解均值不等式相关问题的时候，往往会忽视等号成立的条件，下面我们就来他通过一个例题简要分析一下。这道题往往容易犯这样的错误，错误解法：分析 这里之所以犯这样的错误是因为特忽

21、略了已知条件和等号成立的条件。正确做法解 （3）运用均值不等式及相关的变形求解不等式（提高题） 例 设a、b、c、d,求证 因为 3.2 由均值不等式推导Jensen不等式的个例 将均值不等式 两端取对数 由观察可设 上式即为我们所证得的Jensen不等式 .致谢首先我要感谢我的指导老师欧建光老师，在他的悉心，耐心指导下，我的论文才得以完成。在完成论文的过程中，无论是在论文的编写、资料的收集和开题报告的书写等方面，欧老师都给了我很大的帮助。老师细心耐心的教导，严谨的治学态度。让我铭记在心。在我的论文完成之际，向欧老师致以真挚的谢意！其次，我还要感谢四年的大学生活，感谢温州大学瓯江学院对我的培养

22、，感谢所有教导过我的老师们，没有你们的培养和帮助，就没有现在的我，最后我要感谢我的父母，感谢他们的支持和帮助，让我安心完成学业。最后，向在百忙之中抽出时间评审本文的各位专家表示最衷心的感谢！参考文献 1徐鸿迟，柯西不等式的微小改动 J，2008，（8），90-95. 2南山，柯西不等式与排序不等式M，第一版，湖南教育出版社，2011,11-15 3华东师范大学数学系,数学分析上）M，（第三版,高等教育出版社,2001. 4华东师范大学数学系,数学分析（下）M,第三版,高等教育出版社,2001. 5张天德，韩振来，数学分析同步辅导及习题精解（上）M，第三版，天津科学技术出版社， 2009. 6叶立军，初等数学研究M，第一版，华东师范大学出版社，2008. 7吕林根，解析几何M，第四版，高等教育出版社，2010，36-38. 8北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数M，第三版，高等教育出版社，2003. 9陈文灯，高等数学复习指导M，北京理工大学出版社, 1997 ，84-86. 10徐图平，柯西不等式的两个推论及其应用J，2006，（8），70-71 11张天德，韩振来 ，数学分析同步辅导及习题精解（下），第三版，天津科学技术出版社，2009. - 25 -