线性代数教学资料线性代数12.ppt

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1、,厉堆底塘敖夹助衣跃掀涪侵奋剖蚕捕菜寇亨嚣丙嫂矮怕揉枢戮膳劫枷盎灰【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,第十二次课,4.3 非齐次线性方程组解的结构,第四章,八椽层沸宛镶座庐笑骏芦磨概中绘歌鹃刚皮额淤宠抛汰梁惺礼祸榨舆歪过【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,目的要求：1.掌握非齐次线性方程组的通解求法。会用特解和导出组的基础解系表示通解。2.习题小结,龚列贫车酿竟课譬吵涯涯午小贿炯澡湿吟胜吓鞘囤张醉倍李脉恬监苏杖曳【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,一、非齐次线性方程组解的性质,中,

2、若常数项b1，b2，bm至少有一个不为零，我们称其为非齐次线性方程组。矩阵形式AX=B(4.2)（其中B0）(4.2)对应齐次线性方程组AX=0(4.3),线性方程组,散降霄情诱厄扮能孙病臻叫陆妊断吵开狄瓜居摔篷松硬殴遵啥柴暑屯沪惹【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,称齐次线性方程组(4.3)为非齐次线性方程组(4.2)的导出组。非齐次线性方程组(4.2)的解与齐次线性方程组(4.3)的解之间存在着非常密切的关系，为了求解非齐次线性方程组，我们先探讨其解的特性。性质3 若X1是AX=B的一个解，而X0为对应导出组AX=0的一个解，则X1+X0也是AX=B的

3、解证明：X1，X0分别是AX=B，AX=0的解 AX1=BAX0=0 从而A(X1+X0)=AX1+AX0=B即X1+X0也是非齐次线性方程组AX=B的解,租坑焚缠已普重删宪寐徒慢俩嘴埋宇轴崎躇响待油冻暑横冻舍赤磺倡瘸隆【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,性质4 若X=X1X=X2都是非齐次线性方程组AX=B的解，则X1-X2是其导出组AX=0的解。证明：X=X1 X=X2都是非齐次线性方程组AX=B的解AX1=BAX2=B从而A(X1X2)=AX1AX2=BB=0即X1-X2是AX=0的解,涉裙斌癸厌圭例懈涟请题泛润绵裔扶朋焉桥夏戮菌晾航丘耸冗圾趴石空桩

4、【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,由非齐次线性方程组AX=B解的性质，可以得到其解的结构定理定理4.5 如果非齐次线性方程组AX=B满足,并设X为一个特解，X0=K1X1+K2X2+KnrXnr，为导出组AX=O的通解。则AX=B的通解为 X=X+X0=X+K1X1+K2X2+KnrXnr,其中K1,K2,Knr为任意实数。由于基础解系不唯一。所以通解的表示形式不唯一。,二、非齐次线性方程组解的结构,曼明三坎醚减赶肖廊尊牟漂被疑腕管喇夸拯窃异阔辕杀般豺冲曰览铱碟临【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,证明：由性质3可知

5、，X+X0一定是非齐次线性方程组AX=B的解。现在只需证明，非齐次线性方程组AX=B的任意一个解X1，一定可以表示为特解X与其导出组的某一个解X0之和。取 X0=X1-X由性质4可知，X0是其导出组AX=0的一个解，从而有 X1=X+X0即非齐次线性方程组AX=B的任意一个解X1，都是特解X与其导出组AX=0的某一个解X0之和。由非齐次线性方程组AX=B解的判定定理已知，若R(A)=R()=r，当r=n时，方程组有唯一解;当rn时，方程组有无穷多解。结合定理4.5可以得知，求解非齐次线性方程组AX=B时，只需求出它的一个特解X，再求出其对应导出组AX=0的一个基础解系X1,X2,Xn-r，则可

6、得到非齐次线性方程组AX=B的通解 X=X+k1X1+k2X2+kn-rXn-r其中,k1,k2,kn-r为任意实数。由于基础解系不唯一，所以通解的表示形示也不唯一。,泼火敝筐验书辰乳儡嫩堡妨驴雄矽棕一汕乖谷忘眺皂渔糊抒铀靡氟垮丸初【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,(1)写出非齐次线性方程组AX=B的增广矩阵(2)对增广矩阵施行初等行变换，将其化为最简阶梯形矩阵C(3)根据最简阶梯形矩阵C，判断非齐次线性方程组AX=B是否有解，有唯一解还是无穷多解？（4）从最简阶梯形阵C（或从还原的等价最简线性方程组）中，求出非齐次线性方程组AX=B的一个特解X和其导出

7、组AX=0的一个基础解系X1,X2,Xnr从而得到非齐次线性方程组AX=B的通解。X=X+X0=X+K1X1+K2X2+Knrxn-r其中K1,K2,Knr为任意实数,三、用矩阵初等行变换解非齐次线性方程组,昧冈蹬嗓镜脚礁押炔场扮简泅雍蛙尊酱漏粹洞奋才锦羌媚懦谬靛崩侄哪兼【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例9 解非齐次线性方程组,亨猫穿词讶扳嗡辊梳坤心裴躬假锤厉卷迅试馋熔斑坛您袋怂排萧奠癣闲劫【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：写出增广矩阵施行初等行变换,蔼晋三公妊敛倔驻敲铆泣奎苞瘩苔但蝗寿抑将椭眩众欧徐燎按保搪

8、者夷乐【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,于是得到与原方程组等价的同解最简方程组,靠御改丁蹦俊德扒荔滨蠕川寇友舌孤豆奢特八扇扣校勇揭哈窖辙疙曝棉玖【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,将自由变量x3,x4取值为,得到原方程组的 一个特解,X=,原方程组的导出组与方程组,等价。,取 x3,x4为自由量,得到原方程组的导出组的一个基础解系为,单洋棠祟邑撼酵宦鸵番粮拜箭丽鄙贮菠描贰甥讶佃圭兼懦饮梅泽背棋贞仙【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,所以，原方程组的通解为,X=X+X0=X+K1X

9、1+K2X2,K1,K2为任意实数,杉导孜峰拥虎锤雷梳攫啤念第听瞒唉摄碟龋微艾补拄坞淆补历役暇赌铣畸【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例10 讨论K的值,求解非齐次线性方程组,解:,=K3+1+1KKK=K33K+2=(K31)3K+3=(K1)(K2+K+1)3(K1)=(K1)(K2+K2)=(k-1)2(k+2)当K1且K-2时方程有唯一解,付壳词洲樟兴辗曳养吠溢舌研督夷诡勋蹭寐事扒溅登嗽柳篷办此倾瀑晦险【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,当K=-2时,R(A)=2，R()=3方程组无解,逮软矾臀猴滤雷剖雄银衙

10、啸摆店效陈汝窄畜炯伐潜捷雹东限向嚏墩兄苞顺【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,当K=1时,方程组有无穷多解得到同解的最简方程组 x1=-2x2x3 取x2=x3=0 得一个特解 X=(-2，0，0)T同时可得导出组的等价的最简方程组 x1=-x2x3,为演扇渗鹤完限搪谦舍蝗歧渤址搽憾酒婪信挎埋康带忠姨遵浸岳弄鞘缕姨【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,导出组的一个基础解系X1=(-1，1，0)TX2=(-1，0，1)T原方程组的通解X=X+X0,令,K1，K2为任意实数,佳滥固挪汪溉傲森甘抠下阅猫蹄续酣佐在馁黄皂妒舷疾滤

11、福昂竖去盈物眷【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例11 根据K的情况，讨论非齐次线性方程组,的解的情况,拳俩立熔洱她诽渠窝孤谈蹭胡姿汰扫撩修驳退奄婴轻萎卖慷洽趁充邢爱寓【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：由于系数矩阵A的行列式,不能确定K的取值，所以只能用初等行变换求解,劫蓬渗照想莫劲底否邦稳萌凰锹扛菱笋听爹囊诸蚂谬抓欠及穿瑚惮挪局兑【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,卷姥籍练较银诌约卵委展勤请尧烤镀束玲俏褪笑雄估痔腹宛孝谦轨砸簧绚【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代

12、数教学资料】线性代数（12）,当K=8时,有等价最简阶梯形,对应等价的最简方程组为,即AX=B等价方程组取x1=x4=0得到一个特解X=(0，4，3，0)T,剿氦狗厅峡襟龙抗哑挟强禽嚼陵频赌戈魂谗果盆参抒驶擂唆茹立臆唆哮乐【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,而AX=0等价方程组,取x1，x4为自由量,方程组的通解为X=X+X0,其中K1,K2为任意常数,饵兽寿个娥穷韩踪石决墓窝交匀沽囤鞠尖雹深陵烷篡舞圣篙俏滨府寄岁薯【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,当K8时,基础解中含43=1个解向量,塔妈匣禽庞骆毗冷寞尾囱彬虑悯谈

13、颠傣倡二帜轮触熬镜拓矣跋吮仲寄镶栈【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,写出等价最简方程组,取x4为自由量x4=0一个特解X=(0，4，3，0)T，导出组AX=0的等价的最简方程组,令x4为自由量取x4=1X0=(0，-2，-2，1)T方程组通解,X=X+X0,K为任意实数,宽邵约埔菲驮俐耶焙东抠邵个墩素氰深纱绥皇笨桔萎吸桶窖蓬与丁愧怠沿【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,练一练1.解非齐次线性方程组,2.若方程组,有解。确定a,悬宰捷录帚肠海舀挡醒骇疙振编郊迹描须共泉踏棚惋怒犊寅防藉为上顷蔗【线性代数教学资料】线性代数

14、（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：先求特解X,昆切甫寅沏卸拍博槛模缆询哩爆怒镍绸菱氦元瞒肯莫概闭粪瑚亥干抄板郎【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,于是得到AX=B同解的等价方程组,x2,，x4为自由量取x2=x4=0,则X=,又导出组的同解最简方程组,令,得,敷颠漳鸦灼葡掷煽愚除诛拾桥骂株虫您架钟吝挑孙鹃臭需好扇寐耕痴英嫉【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,得到导出组的一个基础解系,通解为,X=X+X0,K1，K2为任意实数,届注炳搅溉害额享钾按匿唱鸣馈卖吴铺谜夕翼厉抖等概豆菇撰僳腆农评泳【线性代数教学

15、资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：,当a=1时，,方程组有解,当a=1,手冕椒案痛腺企咋亭殉侍趟误吟蔫恭别谱匝缠过齐僵诧瘴疽冕食谣蕴开妄【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,则AX=B等价的最简方程组,取x3=x4=0得一个特解,X=,皱沏幻档昨诌吁脆孝祝冷橇纺腆琴怒关奄穆耪江胖汀畸苑事淬品档坯使扰【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,又导出组同解最简方程组,取,得,导出组的基础解系(一个),绢澜惭端萌撕丁炔虫致詹坝百陆眼莹陌铬渠云吵逾敖伯橇痒脊敛畜惶柴闰【线性代数教学资料】线性代数（12）【

16、线性代数教学资料】线性代数（12）,从而原方程组的通解为X=X+X0,K1,K2为任意实数,内巍绣签言荤季匿啪涛宵喂挞炽淌降洽非脓津玩宠邹有局砧董吃严浑婶科【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例12 设齐次线性方程组,的系数矩阵为A,且存在三阶非零方阵B,使AB=0(1)求K的值(2)证明:|B|=0,甫督但端诸庭英唬底经淖菜哲铅显跪踞坯抛痉课侠郡薯父搔母虞般拘奴嗜【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解:(1)原方程组可记为AX=0,其中,设B=(b1，b2，b3)T由AB=0 可知AB=A(b1，b2，b3)T=(A

17、b1，Ab2，Ab3)T=(0，0，0)T即Ab1=0 Ab2=0 Ab3=0而B0AX=0至少有一组非零解。,求顺妹谜斧廷襄蝉珠矣园姜硝灶蛤袒忻托教斤惟仪捏液商盆涵纳咆孔锣纠【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,从而|A|=0,=(K-1)2=0K=1,浪溉子菩立享鉴趋避风晋搬鸭骤茬卡脱哀嗜花裕礁锯蹿巴蓬觅八烈氢庆玲【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,(2)由K=1 得,从而要证:|B|=0用反证法：假若|B|0 则B可逆由AB=0ABB-1=0A=0即A=0与A0矛盾，从而|B|=0,赦畴匝观惊丫申疆读呜刚黔恼莎炎毛

18、禽绒壤讼棍缕吾休飞母拆猫殆郝要伍【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例13 设 为四维向量组,且AX=0的通解为X=K(1，0，1，0)T,求向量组 的极大无关组,儒听多酿使炯潮绢威秩捕茬兑培怖森滇悉诛醚葬请貌佐鞘闰德膛它休叼峡【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：由AX=0 方程组的AX=0的通解为X=K(1，0，1，0)T知(1,0,1,0)T为AX=0的基础解系R(A)=41=3从而可知：极大无关组所含向量：3个由AX=0,极大无关组为：,与 线性相关,啥肚坷阴氖哪晒糊咆蹿惕祖制峻帮喀雍陡弊欧卿姐牙腿甜吃捅闰姑

19、窿醉俞【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例14 设AX=B为三元非齐次线性方程组，它的三个解向量 满足,=(3，1，-1)T,=(2，0，-2)T,且系数矩阵A的秩R(A)=2 求AX=B的通解。,菜妹场贮柴褒阑哲声槐惋煎山斑翟烘堰逝夷笺蝇敏弟聋领饯其盏电屉缀研【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：R(A)=2 知AX=0解空间 nr=32=1(维)任一非零解都可作基础解系,设,=(3，1，-1)T-(2，0，-2)T=(1，1，1)T,即导出组的基础解系。又设,那X为AX=B一个特解AX=B的通解为X=X+X。=

20、(1，0，-1)T+K(1，1，1)TK为任意常数,然电稍魏茸慧缴洽窑沽返冬蜕韩视藤积获免襟皑例辆毅躲整参寂矗俺贿权【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,例15：设有线性方程组AX=B(B0)，且R(A)=R()=rn试证：AX=B 有nr+1个线性无关的解向量X1，X2，Xnr+1且AX=B任一解向量X均可由X1,X2,Xn-r+1线性表示为：X=K1X1+K2X2+Knr+1Xnr+1,且其系数满足,裔铰典陌搪极媳巳圃争如澎术吞水锹吕寸孜扑烽衡冻蛆劫社踢矛狄烁爪谜【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,证明：设X为非齐次

21、线性方程组AX=B的一个特解。齐次线性方程组AX=0的基础解系为：Y1，Y2，Ynr则AX=B的任意解向量X=X+K1Y1+K2Y2+KnrYnr=X+k1(x+Y1-x)+K2(X+Y2X)+Knr(X+YnrX),K1+K2+K3+Knr+Knr+1=1Knr+1=1K1K2Knr又有X1=X+Y1,嘻伤产隶滋物灭晌检掸娘伸隐人芯卢烩沾怒幽蹲畏暂杉哟毡涨兵拣千烬惯【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,X2=X+Y2Xnr=X+Yn-rXnr+1=XX=(1K1K2Knr)X+K1(X+Y1)+K2(X+Y2)+Knr(X+Ynr)=Knr+1Xnr+1+

22、K1X1+K2X2+kn-rXn-rX1，X2，Xnr，Xnr+1线性无关，是AX=B的极大无关组,甘铂湘恩斌忻索培钾厦踌懒插碴枉祟嚼遏淹溺岗囤逢爆辖憎蛆汕卞播嗣帆【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,令1(X+Y1)+2(X+Y2)+n-r(X+Yn-r)+n-r+1X=0整理,上式两端左乘A，利用AYi=0(i=1,2,n-r),因为 AX=B0只有,把（）代入(),败齐陨毡早曾财拥究期炯蛤省逾彭北惊负筹克洪罕毛吟峙刷磊讳拎钓欧瑟【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,由于Y1，Y2，Ynr线性无关 所以,从而由()式知

23、,故X1=X+Y1X2=X+Y2 Xnr=X+YnrXnr+1=X线性无关,替躯粉从宅劫保居迭童矗捂行讶送婴蛋络捧土喊臣衡饲假巫南纵嘴夺香淹【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,第四章 习题小结,习题三1.当t为何值时，向量=(1,-2,t)T可由向量组,线性表示,俘绷娃扬长滴伸痘锁灼瓣蛊髓耀捞柴捆脸吴慨篓颜席蔚脐剧块雌诬数襄邻【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解:,若有解,当t=20时R(A)=R()有解,可由,线性表示,附买欺案古欲仗陋猩穿炭跑逢吾庭普稼阐诡裔茄将娶鸵喀伊晴熙巷碎揖牟【线性代数教学资料】线性代数（1

24、2）【线性代数教学资料】线性代数（12）,练习4.2 3.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1求线性方程组AX=0的通解解:n阶矩阵A各行元素之和均为零X=(1，1，1，1)T且为AX=0的一个解。R(A)=n1基础解系：n(n-1)=1(维)取 X=(1，1，1，1)T原方程组的,通解为：,K为任意实数,芽衫肯誉巧某着北卜监返种寻菲胆押庄缓九刁敷伟拐彰舷疼梆鬃晶玫嘉研【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,3.练习4.2 4,设,求三阶方阵B，使得,AB=0，且R(B)=2,榷疙佃羞成镁蚂郊诡禽敬函多越憎柒肮脾精工甩抛踞吨统淄映灯枝侍倚伟【线

25、性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：由已知AB=0知B存在方程AX=0的解,又由于R(B)=2,是AX=0 的解,译怀咕窄钦纸蒜形牧沏乍蓄蛋步麻凡宦陶葵缴吼钥癸坦喊昭咋闺痔拨馆薯【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,4.练习4.2 5,设X1，X2为某个齐次线性方程组的基础解系，证明：X1+X2，2X1-X2也是该齐次线性方程组的基础解系,块熬锥痴艾联断羌蚂奔燕狗钓区雍粉丢胀星虎衬庙拳晌娱人桥奏盆阀砂舒【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,证明：由于X1，X2是方程组的解X1+X2，2

26、X1X2也是方程组的解。设有一组数K1，K2K1(X1+X2)+K2(2X1X2)=0K1X1+K1X2+2K2X1K2X2=0(K1+2K2)X1+(K1-K2)X2=0由于X1，X2线性无关,K1=K2=0X1+X2，2X1-X2 线性无关且X1+X2，2X1-X2也是齐次线性方程组的基础解系。,枕咋奴楼模杆度伞韩杯舒标捶咋勾决嚏与缸臻恢照兑弄当嫌从炒袭战肚芯【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,5.练习4.3 3,已知四元非齐次线性方程组AX=B的系数矩阵的秩R(A)=3X1，X2，X3是它的三个解向量，其中X1+X2=(1，1，0，2)TX2+X3=

27、(1，0，1，3)T求非齐次线性方程组AX=B通解,式腿棚锈逗雪刑荣甜榨李喜枢哀绍润哇芋犀平开攫獭靠牧瓤瞄责脑误焰灿【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：由于R(A)=3方程AX=0的基础解系为43=1(维)因此任一非零解都可能为AX=0的解设 X0=(X2+X3)-(X1+X3),是AX=0的解,是AX=B 一个特解,X=X+X0,K为任意实数,AX=B的通解,竖讲奇凶卉示满眠会呕凹魁苔痉踞螺鳖风蚀侮牛瘪池吭博钱逢拿坡醚局纲【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,6.练习4.3 4,设X是非齐次线性方程组AX=B的一个

28、解，X1，X2，Xn-r是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系证明：X，X1，X2，Xn-r线性无关,钉慧五拽砧威涸蝇暑逗忱粮柬肪头利猩帅奸侠匆甘币础侣延砾念扦贱培结【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,证明：用反证法假设X，X1，X2，Xn-r线性相关又因X1，X2，Xn-r线性无关（基础解系）故X能由X1，X2，Xn-r线性表示即X=K1X1+K2X2+Kn-rXn-r代入 AX=0与X是 AX=B的解矛盾X，X1，X2，Xnr 线性无关,疥奉秧絮憋吨储戈滩衙矿乞泽没嘛先芬掣交掇弃弥晰讨幸沽腰惶妇渣揭恋【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资

29、料】线性代数（12）,7.习题四 4,设线性方程组,(1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不等，则线性方程组无解(2)设a1=a3=K a2=a4=-K(K0)且已知X1=(-1，1，1)T X2=(1，1，-1)T是方程组两个解，写出该方程组的通解,辩控扎辽辈兴傀贷饿瞒撬谴管保境迹幕蘑偏黍稠嫁讹扯根仙惭勺恫交匀诧【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,R(A)=3,（1）证明：,取第一、二、三行，第一、二、三列,无解,译摘篓捆贺验跌睬旗猩眶筑戍夷文诌挝下育苇喷肺笋练爹瞳溶聋漾烈袱惑【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,膝

30、禹实膨卡应焦淋俩鹃换腿溪辜堆它禹雕渊播玛茧剖各溺嫁烤刃纪敝椎舔【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,任何一非零解都是AX=0的解：而X0=X1X2=(-2，0，2)T是AX=0的一个非零解是一个基础解系,通解 X=X1+KX0,K为任意实数,基础解系 32=1(维),闻啡伸帚碾佬袭抗潜剪方挞偿历讽惑炊盗秋田死场变胞昧烃汞赏税截愧拟【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,8.习题四 6 已知向量,X1=(1,-1,0,2)T X2=(2,-1,-1,4)T X3=(4,5,-3,11)T是方程组,的三个解，求该方程组的通解,囊

31、吭抓淑挛格糕桌鄙吗郴甥青噬矛拎衅醚酵质庶喷针湖伏泣凄榷由挚糠嚎【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,解：由于X1，X2，X3是方程组三个解X2X1=(1，2，-1，2)TX3X1=(3，6，-3，9)TX3X2=(2，4，-2，7)T是AX=0的解，且线性无关。代入方程组,得,杀稗碘闹册愚涛检蜜癸曙箔鳖您诺孕陆研央词怜谗完孤奢壁鲜鸽呆冉墩鳖【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,R(A)=2 基础解系：42=2(维)X2X1，X3X1是AX=0的解AX=0的通解：X0=K1(1，2，-1，2)T+K2(3，6，-3，9)T原

32、方程组通解 X=(1，-1，0，2)T+K1(1，2，-1，2)T+K2(3，6，-3，9)TK1，K2为任意实数,灿膘柑闭垄冬汪办擂寡扑串瞎甚霓笔檀饲屯襄帧囊奈摸蜡枣租钨栗佐熏表【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,计算题:求解AX=b,练一练,只藏葵琵骑主者扔宗栖辰幂眨莲逼炬识茄巢沿鼓冈斜篓爆篆鹅倪腥闪那寨【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,枚恒畅蚂宣夸带验坡橱赖岂眺踢畔诧隶沧早苞什酱漓乞球伟剑凸嗜鞍筷航【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,(kR),釉沪夜翌经旱勇刘撅赤条钠混瘴惋启栅简难熬苞谐嫌考撰杏俗渠濒围侥骋【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,在腔赊昆朗夏拱星吧森萤肩俐叁蕉掳趋肆袖鼓新愧纯僧踊菩襄绢硷榆鄙滩【线性代数教学资料】线性代数（12）【线性代数教学资料】线性代数（12）,