函数值域的求法大全.doc
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1、函数值域的求法大全题型一求函数值:特别是分段函数求值例1已知f(x)(xR,且x1),g(x)x22(xR).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求fg(3)的值.解(1)f(x),f(2).又g(x)x22,g(2)2226.(2)g(3)32211,fg(3)f(11).反思与感悟求函数值时,首先要确定出函数的对应关系f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,对于fg(x)型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意fg(x)与gf(x)的区别.跟踪训练4已知函数f(x).(1)求f(2);(2)求ff(1).解(1)f(x),f(2).(2) f(1),ff(1)f().5.已知函数f(x
2、)x2x1.(1)求f(2),f();(2)若f(x)5,求x的值.解(1)f(2)22215,f()1.(2)f(x)x2x15,x2x60,x2,或x3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f(x)1,f(0)1,则f(5)_.答案6解析f(1)f(0)1112,f(2)f(1)13,f(3)f(2)14,f(4)f(3)15,f(5)f(4)16.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法
3、(9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为x|x0,值域为y|y0;二次函数的定义域为R,当a0时,值域为;当a0,=,当x0时,则当时,其最小值; 当a0)时或最大值(a0)时, 再比较的大小决定函数的最大(小)值. 若a,b,则a,b是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:
4、1、求函数y=3+的值域 解:由算术平方根的性质,知0,故3+3。函数的值域为. 2、求函数 的值域 解: 对称轴 1 单调性法例3 求函数y=4x(x1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为y|y4/3。小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数y=3+的值域。(答案:y|y3)2 换元法例4 求函数
5、的值域 解:设,则 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数y=的值域。(答案:y|y3/4 求的值域;例5 (三角换元法)求函数的值域解: 设 小结:(1)若题目中含有,则可设 (2)若题目中含有则可设,其中(3)若题目中含有,则可设,其中(4)若题目中含有,则可设,其中 (5)若题目中含有,则可设其中3 平方法例5 (选)求函数 的值域解:函数定义域为: 4 分离常数法 例6 求函数 的值域由 ,可得值域小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)
6、内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。练习求函数 的值域 求函数 的值域01 求函数 y=的值域;(y(-1,1)) -10134-4xy例7 求 的值域解法一:(图象法)可化为 如图, 观察得值域解法二:(不等式法) 同样可得值域练习:的值域 例8 求函数 的值域解:(换元法)设 ,则 原函数可化为 例9求函数 的值域 解:(换元法)令,则10xy 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 例10 求函数 的值域解:(图象法)如图,值域为 (换元法)设 ,则 例13 函数 的值域解法一:(逆求法) 2解法二:(换元法)设 ,则 解法
7、三:(判别式法)原函数可化为 1) 时 不成立2) 时,综合1)、2)值域解法四:(三角换元法)设,则 原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一:(判别式法)化为1)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法)令,则 所以,值域例15 函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法)1)当时,2) 时,综合1)2)知,原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当时取等号,故值域为例17 (选) 求函数的值域解:(换元法)令 ,则原函数可化为。小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用
8、判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为(选)的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法,但在教学过程中,很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做,二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法,哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、 求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解:由得:(y-1)x
9、2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是关于x的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题:一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验例:求函数的值域。错解:原式变形为 (),解得。故所求函数的值域是错因:把代入方程()显然无解,因此不在函数的值域内。事实上,时,方程()的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解:原式变形为 ()(1)当时,方程()无解;(2)当时,解得。综合(1)、(2)知此函数的值域为二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例2:求
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