学案7离散型随机变量的均值与方差、正态分布.ppt

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1、考点1,考点2,考点3,考 纲 解 读,返回目录,考 向 预 测,返回目录,求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点.,返回目录,1.离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列为：,返回目录,则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量.（1）E（aX+b）=.（2）若X服从两点分布，则EX=.（3）若XB（n,p），则EX=.2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为：,取值的,平均水平,aEX+b,P,np,则（xi-EX）2

2、描述了xi(i=1,2,n)相对于均值EX的偏离程度.而DX=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记作X.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度.（1）D（aX+b）=.（2）若X服从两点分布，则DX=.（3）若XB(n,p)，则DX=.,返回目录,取值偏离于均值的平均程度,越小,a2DX,p(1-p),np(1-p),3.正态分布 函数,(x)=x(-,+)，其中实数和（0）为参数.我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.一般地,

3、如果对于任何实数ab，随机变量X满足 P（aXb）=,(x)dx,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作.如果随机变量X服从正态分布，则记为X.正态曲线有以下特点:,返回目录,N(,2),N(,2),（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于 对称；（3）曲线在 处达到峰值;（4）曲线与x轴之间的面积为；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿 平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定.越，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.,返回目录,大,直线x=,x=,x轴,1,小,返回目录,考点1 求期望与方差,20

4、10年高考北京卷某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为,返回目录,（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（2）求p,q的值；（3）求数学期望E().,返回目录,【分析】第(1)问考查对立事件,第(2)问可通过列方程组求出,第(3)问由公式E()=x1P1+x2P2+xnPn求出期望.【解析】事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3.由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.(1)由于事件“该生至少

5、有1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(=0)=1-=.(2)由题意知P(=0)=P(A1A2A3)=(1-p)(1-q)=,返回目录,P(=3)=P(A1A2A3)=pq=.整理得pq=,p+q=1.由pq，可得p=,q=.(3)由题意知a=P(=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=（1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.所以E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=.,返回目录,求期望的关键是写出分布列.,返回目

6、录,2010年高考山东卷某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分.每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局.每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束.,返回目录,假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束

7、时答题的个数，求的分布列和数学期望E().,【解析】设A,B,C,D分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，A，B，C，D分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得,返回目录,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.每题结果相互独立，P(Q)=P(ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)

8、P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D),返回目录,(2)由题意知，随机变量的可能取值为：2，3，4,则P(=2)=P(A B)=,P(=3)=P(ABC+ABC)=,P(=4)=1-P(=2)-P(=3)=1-=.因此的分布列为,返回目录,考点2 期望和方差的应用,甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为：计算,的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.,【解析】依题意，有E=100.5+90.2+80.1+70.1+60.05+50.05+00=8.85（环）.E=100.1+90.1+80.1+70.1+60.2+50.2+00.2=5.6（环）.D=

9、(10-8.85)20.5+(9-8.85)20.2+(8-8.85)20.1+(5-8.85)20.05+(0-8.85)20=2.227 5,D=(10-5.6)20.1+(9-5.6)20.1+(8-5.6)20.1+(5-5.6)20.2+(0-5.6)20.2=10.24,返回目录,【分析】利用,的分布列，用期望、方差公式计算出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析.,返回目录,所以EE，说明甲的平均水平比乙高，又因为DD，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好.,期望反映运动员的平均水平，方差反映运动员的稳定程度.

10、在实际问题中，应结合实际意义，作出合理的判断.,返回目录,2010年高考大纲全国卷投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望.,返回目录,【解析】(1)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;B表示事件:

11、稿件恰能通过一位初审专家的评审;C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;D表示事件:稿件被录用.则D=A+B C.P(A)=0.50.5=0.25,P(B)=0.50.5=0.5,P(C)=0.3,P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B 5C)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.40.,返回目录,(2)XB(4,0.4),X的可能值为0,1,2,3,4,且P(X=0)=(1-0.4)4=0.129 6,P(X=1)=0.4(1-0.4)3=0.345 6,P(X=2)=0.42(1-0.4)2=0.345 6,P(X=3)=0.43(1-0.4)=0.153 6,P(X

12、=4)=0.44=0.025 6.故其分布列为,返回目录,返回目录,考点3 正态分布,某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：小时)为随机变量X,已知XN(1 000,302），要使灯管的平均寿命为1 000小时的概率为99.7%，问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上?,【分析】因为XN（1 000,302），即X服从正态分布，设灯管最低寿命为1 000-a(a0),由于灯管平均寿命为1 000，依题意，则应P(1 000-aX1 000+a)=99.7%，求得a，即可得出最低寿命1 000-a(小时).,返回目录,【解析】因为灯管的使用寿命XN（1 000，302），为了查表方便，先

13、化为标准正态分布N(0,1);令Y=,即X=1 000+30Y,故YN(0,1).设灯管总体寿命最低为1 000-a,则依题意:P(1 000-aX1 000+a)=0.997.又X=1 000+30Y,所以P(1 000-aX1 000+a)=P(-Y)=P(Y)-1-P(Y)=2P(Y)-1,返回目录,所以2P(Y)-1=0.997,所以P(Y)=0.998 5,即()=0.998 5，由查表知(2.97)=0.998 5,所以=2.97,所以a90，所以X在(910,1 090)内取值的概率为0.997.所以，灯管的总体最低寿命应控制在910小时以上.,返回目录,记住正态分布的3原则是解题关键.,返回目录,2010年高考山东卷改编已知随机变量服从正态分布N(0,2)，若P(2)=0.023,则P(-22)=.【解析】由N(0,2),且P(2)=0.023,知P(-22)=1-2P(2)=1-0.046=0.954.,返回目录,1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性.2.在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在期望相等的情况下再求方差.3.对于正态分布关键是记住3原则.,祝同学们学习上天天有进步！,