学案4基本不等式及应用.ppt

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1、考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,从近几年的高考试题看,均值不等式(a,bR+)的应用一直是高考命题的热点,在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.因此2012年的高考复习,要注意复习方向.,返回目录,1.如果a，bR,那么（当且仅当 时取“=”）.2.如果a，b是正数，那么（当且仅当 时取“=”）.3.通常把 叫做基本不等式.,(a0,b0),a2+b22ab,a=b,a=b,返回目录,2010年高考安徽卷若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满

2、足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).ab1;2;a2+b22;a3+b33;2.,考点1 基本不等式,返回目录,【分析】由基本不等式和其变形式判断,化不等式为基本不等式的形式.,【解析】ab=1，成立.欲证,即证a+b+2 2,即2 0,显然不成立.欲证a2+b2=(a+b)2-2ab2,即证4-2ab2,即ab1,由知成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3a2-ab+b2(a+b)2-3ab 4-3abab,由知,ab 不恒成立.,返回目录,欲证 2,即证 2,即ab1,由知成立.故填.,熟练掌握基本不等式及其几种变形式.应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否

3、符合均值不等式的条件，即a2+b22ab成立的条件是a，bR,而 成立的条件是a0且b0.,返回目录,若a，b是正数，则 这四个数的大小顺序是.,(a，b是正数，而,又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2,，因此.),返回目录,2010年高考重庆卷已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是.,【分析】在x+2y+2xy中2xy与x+2y有联系:x+2y2,故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不等式.,考点2 利用基本不等式求最值,返回目录,【解析】x+2y+2xy=8,x+2y2,8x+2y+,令x+2y=t,则t+8,t2+4t-320,(t+2)236,又x0

4、,y0,t0,t4,即x+2y4.(“=”成立时x=2,y=1)x+2y的最小值为4.,返回目录,（1）利用均值不等式求最值需注意的问题：各数(或式)均为正;和或积为定值;等号能否成立,即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.（2）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值.,返回目录,（3）当多次使用均值不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.,返回目录,2010年

5、高考浙江卷若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.,【解析】由x0,y0,2x+y+6=xy,得2x+y2+6(当且仅当2x=y时,取“=”），即()2-2-60,(-3)5(+)0.又 0,3，即xy18.xy的最小值为18.,返回目录,【证明】当且仅当a=b=c=时,取等号.,考点3 利用均值不等式证明,已知a，b，c(0,+),且a+b+c=1，求证：,【分析】可进行“1的代换”，为使用基本不等式创造条件.,返回目录,(1)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和均值不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,

6、其特征是“执因导果”.(2)证明不等式时要注意灵活变形,多次利用均值不等式时,注意每次等号是否都成立.同时也要注意应用均值不等式的变形形式.,返回目录,(1)已知a0,b0,a+b=1,求证:4;(2)证明:a4+b4+c4+d44abcd.,【证明】(1)a0,b0,a+b=1,(当且仅当a=b=时等号成立).4.原不等式成立.(2)a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd.故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2,且c2=d2且ab=cd.,返回目录,2009年高考湖北卷围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙

7、(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.,考点4 基本不等式的实际应用,返回目录,【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则y=45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360.由已知xa=360，得a=，y=225x+-360（x0）.(2)x0,225x+2=10 800.y=225

8、x+-36010 440.当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.,返回目录,在应用均值不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)建立相应的函数关系式,确定函数的定义域;(3)在定义域内只需再利用均值不等式,求出函数的最值;(4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.,返回目录,已知26列火车以相同速度v由A地驶向400千米处的B地,每两列火车间的距离为d千米,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20(千米/小时)时,d=1(千米).(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计

9、火车的长度,则26列火车都到达B地最少需要多少小时?此时火车的速度为多少?,返回目录,【解析】(1)由题意可知d=kv2,其中k为比例系数,且v0,当v=20时,d=1,1=k202,即k=1400,d=v2(v0).(2)每两列火车间的距离为d千米,最后一列火车与第一列火车间的距离是25d,最后一列火车到达B地的时间为t=,由(1)可知d=v2,代入上式整理得t=25=10,为80千米/小时.,返回目录,当且仅当,即v=80(千米/小时)时等号成立,26列火车都到达B地最少需要10小时,此时火车的速度,返回目录,1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，

10、在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用.2.创设应用基本不等式的条件（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值.（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.,返回目录,3.最值的求法“和定积最大，积定和最小”即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论需注意以下三点：（1）各项或各因式为正；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式能取得相等的值.必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等.4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：(a,bR).(a0,b0).,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,