学案4三角函数的性质.ppt

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1、学案4 三角函数的性质,考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调性,题型以选择题和填空题为主,有时也会出现解答题.,考 向 预 测,返回目录,1.三角函数的图象和性质:,性 质,函 数,R,R,返回目录,-1,1,-1,1,R,返回目录,偶,奇,奇,2.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做.叫做这个函数的周期.把所有周期中存在的最小正数,叫做(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)(0且为

2、常数)的周期T=,函数y=Atan(x+)(0)的周期T=.,周期函数,非零常数T,最小正周期,返回目录,返回目录,考点1 三角函数的定义域,求下列函数的定义域:(1)y=lg(2sinx-1)+;(2)y=.,返回目录,2sinx-10 1-2cosx0的x值,可用图象或三角函数线解决;第(2)小题解不等式组 2+0 tanx0,【分析】第(1)小题实际就是求使,然后利用数轴求解.,返回目录,(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角

3、函数的图象,有时也利用数轴.,返回目录,(1)求f(x)=的定义域和值域.(2)求函数y=的定义域.,(1)由函数 0,得sinx,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是 x|2k-x2k+,kZ.当sinx=cos(-x)=时,ymin=0;当sinx=cos(-x)=-1时,ymax=.所以函数的值域为0,.,返回目录,返回目录,返回目录,求下列函数的值域：（1）y=;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos(+x)+2cosx.,【分析】求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域.,考点2 求三角函数的值域或最

4、值,【解析】（1）y=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-.于是当且仅当cosx=1时,ymax=4,但cosx1,y4.且ymin=-，当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为(-,4).,返回目录,返回目录,（2）令t=sinx+cosx，则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.y=f(t)=t+=(t+1)2-1.又t=sinx+cosx=sin(x+),-t.故y=f(t)=(t+1)2-1(-t),从而知：f(-1)yf()，即-1y+.则函数的值域为 1,+.,（3）y=2cos(+x)+2cosx=2cos cosx-2sin sinx+2cosx=3c

5、osx-sinx=2(cosx-sinx)=2 cos(x+).cos(x+)1,该函数值域为-2,2.,返回目录,(1)能够转化为y=Asin(x+)+B型的函数，求值域时注意A的正负号；(2)能够化为y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型或可化为此型的函数求值，一般转化为二次函数在给定区间上的值域问题.,返回目录,返回目录,若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值.,【解析】f(x)=其中角 满足sin=,cos=.由已知有=4.解之得a=.,返回目录,【分析】化为一角一函求出,再由平移得到y=g(x)解析式,利用整体代换求出y=g(x)的单调增区间.,

6、2009年高考重庆卷设函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到的.求y=g(x)的单调增区间.,考点3 求三角函数的单调性,返回目录,【解析】(1)因f(x)=sin2x+sin2x+cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2,依题意得=,故=.(2)依题意得g(x)=sin3(x-)+2=sin(3x-)+2.由2k-3x-2k+(kZ),解得 k+x k+(kZ).故g(x)的单调增区间为 k+,k+(kZ).,解题（1）时，容易直接由

7、已知得f(x)=sin(2x+)+2而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完整性.,返回目录,返回目录,【解析】方法一：y=cos(-2x+)=cos(2x-),由2k2x-2k+(kZ),得k+xk+(kZ)，即所求单调减区间为 k+,k+(kZ).,求函数y=cos(-2x+)的单调减区间.,返回目录,方法二：t=-2x+为减函数，且y=cost的单调增区间为2k-,2k(kZ),由2k-2x+2k,kZ,得-k+x-k+(kZ).所求单调减区间为 k+,k+(kZ).,返回目录,已知函数f(x)=sin(x+)(0,0)是R上的偶

8、函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0,上是单调函数，求和的值.,【分析】该题可采用顺向求解的解答思路，即将题设条件式子化，获得 和所应满足的等式，应用正、余弦函数的性质导出结果.式子化简的方法有多种，下面写出两种解法.,考点4 求三角函数的奇偶性,返回目录,【解析】方法一：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x),即sin(-x+)=sin(x+),所以-cos sinx=cos sinx对任意x都成立，且0，所以得cos=0,依题设0，所以解得=.由f(x)的图象关于点M对称，得f(-x)=-f(+x).取x=0，得f()=-f()，所以f()=0.,f()=sin(+)=cos,

9、cos=0,由0,得=+k,k=0,1,2,=(2k+1),k=0,1,2,.当k=0时，=,f(x)=sin(x+)在 0,上是减函数；当k=1时，=2,f(x)=sin(2x+)在 0，上是减函数；,返回目录,当k2时，,f(x)=sin(x+)在0,上不是单调函数.所以，综上得=或=2.,返回目录,返回目录,方法二：由f(x)是偶函数和0，知f()=f()，即sin(+)=sin(+)，所以-cos=cos,得cos=0,又0,所以求得=.因此，f(x)=sin(x+)=cosx,由f(x)的图象关于点M(,0)对称，知f()=0,即cos=0,返回目录,由f(x)在区间 0,上是单调函

10、数和余弦函数的性质，知函数的周期T=2，即02.所以，由式得=或=2.,本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.方法二的思维闪光点是得到式后，立即联想到点M的坐标(,0)，自然得到cos=0，于是问题迎刃而解.,返回目录,设函数f(x)=Asin(x+)(其中A0,0).(1)取何值时，f(x)为奇函数；(2)取何值时，f(x)为偶函数.,【解析】(1)xR,要使f(x)是奇函数，即f(x)+f(-x)=0,即Asin(x+)+Asin(-x+)=0,2Asin cosx=0.cosx不恒为0，sin=0,解得=k(kZ).即=k(kZ)时，f(x)

11、为奇函数.,返回目录,返回目录,（2）f(x)是偶函数，f(x)-f(-x)=0,即Asin(x+)-Asin(-x+)=0.得2Acos sinx=0,sinx不恒为0，cos=0,得=k+(kZ).即=k+(kZ)时，f(x)为偶函数.,返回目录,1.利用函数的有界性(-1sinx1,-1cosx1),求三角函数的值域(最值).2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号).4.正余弦函数的线性关系式可以转化为f(x)=asinx+bcosx=sin(x+),特别注意把sin cos,sincos的转化为y=2sin(+)形式时,为特殊角

12、.5.注意sinx+cosx与cosxsinx的联系,令t=sinx+cosx(-t)时,sinxcosx=(t2-1).,返回目录,6.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.7.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(x+)(0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同:(1)y=sin(2x-);(2)y=sin(-2x).8.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性,如:y=sin2x-4sinx+5,令t=sinx(|t|1),则y=(t-2)2+11,解法错误.,祝同学们学习上天天有进步！,