学案3平面向量的数量积.ppt

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1、考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.,返回目录,1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,则 叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是,两个非零向量a与b平行的充要条件是.,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=0,ab=|a|b|,返回目录,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b

2、在a的方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)ea=ae=;(2)非零向量a,b,ab;(3)当a与b同向时,ab=;当a与b反向时,ab=,aa=,|a|=;,|b|cos,|a|cos,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,返回目录,(4)cos=;(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律);(2)(a)b=(为实数);(3)(a+b)c=.,ba,ab,ab,ac+bc,返回目录,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=,由此得到:若a=(x,y),则|a|2=或|a|=.(2)设A

3、(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|=.(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.,x1x2+y1y2=0,x1x2+y1y2,x2+y2,返回目录,已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|a-b|=.,【分析】求|a-b|可先求|a-b|2.,考点1 数量积的计算,返回目录,【解析】|a-b|=,返回目录,求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为,0,180,再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,返回

4、目录,已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos,-sin),且x-,.(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.,返回目录,【解析】(1)ab=cos xcos-sin xsin=cos2x,a+b=(cos x+cos,sin x sin),x,cosx0,|a+b|=2cosx.,返回目录,(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x,cosx1,当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.,返回目录,设向量a,b,c满足a+b+

5、c=0,(a-b)c,ab.若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.,【分析】由垂直的充要条件,寻找|a|,|b|,|c|之间的关系.,考点2 利用向量解决垂直问题,【解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.,返回目录,垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a

6、2),b=(b1,b2),则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.,返回目录,已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求-(其中k为非零实数).,返回目录,(1)证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2k

7、cos(-).又k0,cos(-)=0.而0,-=.,返回目录,已知|a|=1,ab=,(a-b)(a+b)=,求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.,【分析】(1)由(a-b)和(a+b)的数量积可得出|a|,|b|的关系.(2)计算a-b和a+b的模.,考点3 利用向量解决夹角问题,返回目录,【解析】(1)(a-b)(a+b)=,|a|2-|b|2=,又|a|=1,|b|=.设a与b的夹角为,则cos=,又0,=.,返回目录,(2)(a-b)2=a2-2ab+b2=1-2+=,|a-b|=.(a+b)2=a2+2ab+b2=1+2+=,|a+b|=，设a-b与a+b的

8、夹角为,则cos=.,返回目录,公式cos=可求a,b的夹角及夹角取值的范围，应用时，要注意y=cosx在x0,上的单调性.,返回目录,已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45,求使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角的的取值范围.,由|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45,得ab=|a|b|cos45=1=1,(2a+b)(a-3b)=2a2-6ab+2ab-3b2=2+-6.设向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为,则 且cos1,返回目录,由(2a+b)(a-3b)0得2+-60,2或0),2=k=-3k,故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在.当2或-3时,向量(2a+

9、b)与(a-3b)的夹角是锐角.,解得k2=-.,返回目录,已知向量m=(cos,sin)和n=(-sin,cos),(,2),且|m+n|=,求cos()的值.,【分析】从向量的模入手，求出满足的条件.,考点4 以向量为载体的综合问题,返回目录,【解析】解法一：由题意知m+n=(cos-sin+,cos+sin),|m+n|=由已知|m+n|=,得cos+=.又cos(+)=2cos2(+)-1,cos2()=.2,.cos()0.cos()=-.,返回目录,解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos(-sin)+sincos=4+2(cos

10、-sin)=4 1+cos(+)=8cos2().由已知|m+n|=,得cos=.2,.cos()0.cos()=-.,返回目录,本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用.,返回目录,已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).(1)求向量b+c的长度的最大值;(2)设=,且a(b+c)，求cos的值.,返回目录,【解析】(1)解法一:由已知得b+c=(cos-1,sin),则|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).-1cos1,0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos=-1时,有|b+c|max=2,向量b

11、+c的长度的最大值为2.,返回目录,解法二:|b|=1,|c|=1,|b+c|b|+|c|=2,当cos=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,向量b+c的长度的最大值为2.,(2)解法一:由已知可得b+c=(cos-1,sin),a(b+c)=coscos+sinsin-cos=cos(-)-cos.a(b+c),a(b+c)=0,即cos(-)=cos.,返回目录,由=,得cos(-)=cos,即-=2k(kZ),=2k+或=2k,kZ,于是cos=0或cos=1.解法二：若=,则a=(,).又由b=(cos,sin),c=(-1,0),得a(b+c)=(,)(cos-1,si

12、n)=cos+sin-.,返回目录,a(b+c),a(b+c)=0,即cos+sin=1.sin=1-cos,平方后化简得cos(cos-1)=0,解得cos=0或cos=1.经检验,cos=0或cos=1即为所求.,返回目录,1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代.2.要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律(,s,tR).3.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.,返回目录,4.一般地,(ab)c(bc)a即乘法的结合律不成立.因为ab是一个数量,所以(ab)c表示一个与c共线的向量,同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下,(ab)c(bc)a.5.零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.6.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0 ab.7.ab=ac(a0)不能推出b=c,即消去律不成立.8.向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,应为120,而不是60.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,