关于教学设计的思考.ppt

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1、关于教学设计的思考,一、教学理念二、以问题为中心三、定位与路径四、问题与问题串五、课例分析,一、教学理念,数学观、价值观、学习观、方法论,数学观：数学是数学文化背景下的思维活动思维性，突出了数学的创造性本质文化性，突出了数学活动的继承性多角度地（即从过程与结果、从历史与现实、从微观与宏观等方面）、全面地认识教学内容，从而发现它的教学价值。,价值观：对数学教育价值的认识,知识的价值；思维的价值；文化的价值；应用的价值；育人的价值。,学习观：对学习的理解,数学学习：“意义赋予”和“文化继承”即文化意义上的再发现的过程。所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过自身的（思维）活动，重新建构知识

2、的意义，这是一个创造和发现的过程，这就突出了思维的作用；所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的活动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化的观念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导下进行的“再发现”活动，从而体现了文化的作用和学习的社会化性质。,行为规范：方法论,1以问题为中心有效地组织学生投入理性探索活动；2以数学（家）的眼光看世界创造数学文化的氛围。,二、以问题为中心的教学设计,（目标与过程）,以问题为中心的教学设计基本观点：设计目标：把教学过程设计成以问题为中心的教学过程。设计过程：把问题设计看成是教学设计问题的中心。,以问题为中心的含意：数学教学应该围绕着数学问题进

3、行；数学教学过程应该组织为提出问题和解决问题的过程；（方法论）应该把有没有问题，有没有激发出学生的思维活动当成评价教学活动成功与否的一项标准。（价值观）,教学过程,案例：对数函数（1）,1提出问题问题1 指数函数存在反函数吗？特别地，函数y=2X 存在反函数吗？问题1-1 是不是任何一个函数都存在反函 数？具备什么样的条件的函数才具有反函数？问题1-2 如何通过函数的图象来判断一个函数是否具有反函数？回到问题1：指数函数具有反函数吗？,2.解决问题（意义建构）问题2 既然指数函数的反函数是存在的，你能说出它的性质吗？（根据指数函数的性质逐一列出其反函数的性质。如：定义域、值域、单调性、恒过点（

4、1，0）等等）,问题3 指数函数的反函数是一个什么样的函数？你能把它表示出来吗？特别地，你能表示出函数y=2x的反函数吗？问题3-1 表示函数的方法有哪几种？问题3-2 怎样用图象法表示指数函数的反函数？,问题3-3（反思）上述图象是否表示了函数的“三要素”？问题3-4 能用列表法表示这个函数吗？问题3-5 能用解析式表示这个函数吗？,问题4 怎样用解析法表示指数函数的反函数？（设f（x）=2X，其反函数可以抽象地表示为y=f-1（x）。但具体的表示尚有困难。）,问题4-1 解方程：2x=n（n0）。（1）当n=4，1/4时，解出X；（2）讨论n=3的情况。可以肯定，方程的解是存在的、确定的。

5、利用图象可以表示出方程的解，也可以求出它的近似值。,3研究成果（数学理论）给出对数符号和对数函数的定义，进而用新引进的“专用术语”重新表述指数函数反函数的性质。,注意：问题串的设置方法数列的引人（问题情境）1.doc,设计理念的转变,从呈现到生成；从知识（主线）到（思维）活动（主线）到问题为主线从过细到框架从环节到整体以问题为主线的教学设计,教学设计过程,定位与路径,（定位、路径、案例）,定位,对教学的总体认识对教学内容（知识）的理解对教学（习）过程的理解对教学价值的理解本质是对数学的理解用一句话来概括案例：归纳推理（概念、技能、能力、态度）,对“导数”的理解：不能简单地把导数看成是一个概念，

6、一个定义，还要看到它是一个规则，一个过程、一种思想和一段历史。瞬时变化率切线的斜率无限逼近的过程极限的思想以直代曲的思想一个对象,向量的加法的定位,定义、法则；活动（思维）：建构数学运算模型的活动；历史（文化）：物理模型的数学化过程：数学化的过程思想：形数结合思想运算的思想结构化思想 模式化思想基本构想，即按照建立数学模型的一般过程组织教学。,数学模型的建构,归纳推理的定位,概念技能能力态度,把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西。”欧拉：纯粹数学中的观察事例,路径,课的总体构想、框架、过程模式中心

7、问题、形式案例：对数函数向量的加法,模式,形式化；普通语言数学语言案例：函数的增减性、奇偶性、向量的概念、向量的加法（和）、三角函数、导数、数列、概率、独立事件、线面垂直等等命题：正弦定理、余弦定理、等比数列的求和公式，点到直线的距离公式；两角差的余弦公式；方法：加法原理、乘法原理，数学归纳法、,案例：对数函数定位1：对指数函数的反函数的研究路径1：反函数指数函数反函数的存在性性质表示对数函数。定位2：一种新的数学模型的建构路径2：应用型问题解决问题对数函数的原型对数函数性质应用发现与指数函数的联系,案例：函数的增减性,教材定位：数学模型的建构和应用知识：刻画变化趋势的数学模型（定性）过程：普

8、通语言到数学语言的转换的过程-不断形式化的过程。路径：,从普通几何语言到精确的分析语言的转换,确定中心问题：什么叫做“随着时间的增大气温逐步升高”？怎样用数学语言来刻画它？提供背景，设置初始问题；说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或逐步下 降的进而形成问题串,f(t)，t0，24,怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？,案例：函数的单调性,问题1：说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或逐步下 降的？主问题2：什么叫做“随着时间的增大气温逐步升高”？怎样用数学语言来刻画它？问题3：对于任意的t1，t24，16时，当t1t2时，是否都有 f（t1）f（t2）呢？问题4：

9、类比单调增函数的概念，你能给出单调减函数的概念吗？,问题5（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？问题6：证明F（X）=1/X在区间（0，+）上是单调减函数（体会形式化的作用）,案例：函数的奇偶性（1）,1。问题情境（1）观察图片（蝴蝶、对称的建筑、图案等）；（2）观察下列两組函数图象，从对称的角度你发现了什么？（图象对称）2。学生活动观察函数值表，你看出了什么？,3。意义建构 探究：图象关于Y轴对称的函数满足：对定 义域內的任意一个X都有f(-x)=f(x).反之也成立吗？利用几何画版演示，学生观察演示过程，突出X的任意性，产生建构定义的倾向。4。数学理论

10、 通过讨论，得到定义。（下略）,用操作代替思维，掩盖了思维活动,没有问题，也就没有思维活动,1。问题情境观察下列两組函数图象，从对称的角度你发现了什么？（图象对称）函数 y=X4+1 的图象关于y轴对称吗？为什么？图象的对称性在函数解析式上有什么体现？（主问题）,案例：函数的奇偶性（2）,2。意义建构什么叫做“图象与Y轴对称”？（导向性问题）怎样用分析的语言来表示“如果点P在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？怎样表示点P（X，Y）关于Y轴的对称点？（-X，Y）怎样表示“点P（X，Y）在图象上”？怎样表示“点P（X，Y）关于Y轴的对称点在图象上”？解决问题的问题串,案例：函数的奇偶性

11、（2）,怎样用分析的语言来表示“如果点P在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？猜想：如果函数 y=f(x)的图象关于Y轴对称，则对于定义域内的任何x,总有f(x)=f(-x)，反之亦真。列表，电脑演示，验证猜想。（下略）,由框架到具体的设计,从普通几何语言到精确的分析语言的转换,问题与问题串,（初始问题、问题的呈现、问题串、问题串的结构、案例）,初始问题,初始性（源头、动力）生成性（活动的载体）结构性（联系、整体）合理性（逻辑、理性）,应用性初始问题 产生于实际问题中的初始问题；结构性初始问题 从原有的知识结构出发，通过逻辑的或审美的思考，提出的问题。,应用性初始问题具有较好的情境性

12、，而结构性初始问题有更的结构性，更便于意义建构的展开。在实际的教学中，可以同时从应用与拓广知识结构等方面提出相同的研究课题。在备课时，可以从知识的应用中（如：书中的习题或例题）设计应用性初始问题；也可以从新旧知识的联系中，针对知识的增长点，设置结构性初始问题。对数学教学来说，后者更重要！,案例：椭圆的标准方程,问题：扁了的圆是椭圆吗？解决问题的思路：比较扁圆与椭圆的方程，进而做出判断。建立扁圆的方程；建立椭圆的方程；结论。,实质仍然是一个语言变换的过程！,案例分析：诱导公式,角的三角函数与-的三角函数有什么关系？的终边、180+的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此推出与180+的三角函数的

13、关系吗？我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？,案例分析：诱导公式,由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样的特殊关系呢？三角函数是以圆周运动为原型抽象出来的数学模型，圆的对称性在三角函数中，得到了什么样的体现呢？,初始问题的确定取决于对教材的定位，体现了教师对教学内容的理解,案例：两角差的余弦（初始问题与定位）,1。求值2。周期运动的叠加初始问题的确定取决于教学定位,重视提出问题的过程,波利亚教师提出的问题，应该是“学生自己可能提出的

14、问题”！这应该是对每一个教师的要求！提出问题是理性的活动！问题应该是是自然的，合理的！为什么要研究这个问题？怎么想到提出这样的问题的？要重视提出问题的过程！数列的引人（问题情境）1.doc数列的引人（问题情境）.doc,问题情境设计中的若干倾向,情境的“泛生活化”；（圆、椭圆）以“满堂问”代替满堂灌；繁杂的情境；（平均变化率”实验“）脑筋急转弯式的问题；（能一歩跨出3米吗？）随心所欲的问题；低认知问题；“精心设计”的问题；（数列的引人）根源：教育观念的偏差；对教学内容理解的偏差；,问题情境就是指能触发问题，有利于问题产生的环境，或者直接就是指问题被解题者意识到的问题。在教学中，问题情境的设置是

15、为了更好地提出问题，创设问题情境的目的是为了让学生感受到问题！进而能从中自己提出数学问题！,需要什么样的问题？,一个好的问题应该是一个高级组织者，它为紧随其后的回应提供一个框架。问题应该是用来激发学生进行思考以及根据他所组织的材料进行行动的工具。有效问题是那些学生能够积极组织回答并因此而积极参与学习过程的问题。,对数学教学的启示,1重视提出问题的思维环节，注意介绍问题的背景。让学生从中感受到数学的理性探索精神。2重视问题的概略性解决的思维环节（即大思路），以突出数学观念在解决问题中的作用。淡化问题特殊性解决的环节，淡化特殊的技巧，避开对解题细节的纠缠，降低教学的难度。,案例：点到直线的距离（教

16、学实录）,1已知直线L经过点P（2，1）和S（-1，5），则直线L的方程是；2过点P（2，5）作直线L1L，则L1的方程是；3。直线L和直线L1的交点是_；4点P(2,5)到直线 L的距离 d=_.,启发学生发现“推导公式的一般思路”。,缺少大的课题性问题！限制了学生的思维活动。,调换一下问题编排的次序：问题 已知：点P(X0,Y0)和直线L：AX+BY+C=0，求点P到直线L 的距离.特别地，怎样求点P(2,5)到直线 L：3X4Y+14=0的距离.什么叫做点到直线的距离？求点到直线距离的关键是什么？,两种方案哪一种更合理？更自然？,案例：二项式定理,1。引入今天星期一。那么从明天起第50天

17、是星期几？2。复习提问（1）组合数的两个性质；（2）（A+B）2=?（A+B）3=?,3。探索发现（1）实验；动画演示师：分别取红绿卡片各两张，上面分别写着实数A和B，分别取紅、绿卡片各一张，用它们上面的实数作乘法运算，可得到几个乘积？几个不同的乘积？都是那些？生：,师：分别取红绿黃卡片各两张，两张紅（绿、黃）卡片上分别写着实数A和B，分别取紅、绿、黃卡片一张，用它们上面的实数作乘法运算，可得到几个乘积？几个不同的乘积？都是那些？生：师：（A+B）2或（A+B）3的展开式有几項？（A+B）2或（A+B）3的展开式不同的項有几項？,此刻，你想到了什么？组合数項 是什么？同学们，你们是否意识到，在

18、大家的共同努力下，我们已经获得了一个非常了不起的发现！这就是二项式定理。,怎样呈现问题？,问题应该是清晰的，是学生能够接受的！要提供问题的背景，让学生知道研究这个问题的目的；要展示提出问题的过程，让学生知道是怎么想到要研究这个问题的！问题要有足够大的容量，为学生提供思维空间。（因此经常用问题串来呈现问题）案例：向量的加法。,对数函数中的问题,问题1：什么叫做反函数？什么样的函数具有反函数？问题2：什么叫做指数函数？指数函数具有什么样的性质？我们已经学习了指数函数，也学习过反函数，今天我们就要研究指数函数的反函数。为此，首先就要问：指数函数是否存在反函数呢？这就要求弄清问题1 什么样的函数才具有

19、反函数？问题2 指数函数是否满足具有反函数的性质？,问题串,问题串是由一连串具有逻辑联系的问题构成的问题系列。问题串可以看成是数学思维过程的“路标”，是浓缩了数学思维过程。在教学设计中，教师可以通过问题串设计规划教学的进程，在课堂教学中，则可以灵活地用问题串对学生的思维活动进行调控。因此问题串的设计就成为教学设计的关键。数列的引人（问题情境）1.doc,对问题串的要求,逻辑性；（问题自然、合理、逻辑联系清晰，是学生能夠接受的或自己能够提出的问题）层次性：一般性解决-功能性解决-具体解决启发性：揭示本质，针对要害包容性：照顾到不同层次的学生,问题串是课堂教学的一种新的组织形式。,知识生成的逻辑链

20、学生的思维链教学活动链,教学过程,案例：向量的加法（提出问题的问题串）,问题1：游船先从景点O到景点A，然后再从景点A到景点B，这里的位移OA、AB、OB之间有什么关系呢？（具体问题）问题2：两根拉索对塔柱的拉力分别为F1、F2，它们的合力是F，那么F1、F2和F之间有什么关系呢？（具体问题）,先行组织者：上节课中，我们曾以有向线段、位移、力等几何、物理对象为原型，抽象出向量这个数学模型。研究一个数学对象，就要研究它的运算（提出中心问题）你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗？（课题性问题）问题1（导向性问题）问题2（导向性问题）,提供背景，提出问题的根据,“+”是什么意

21、思？（反思性问题）“和”是什么意思？（反思性问题）“合位移”是什么意思（反思性问题）OB的长度等于OA与AB长度的和吗？这说明了什么？,使思考深入下去！,问题3：上述两个问题（包括解决问题的过程）有何共同点？（导向性问题）问题4；你们是怎样求和（即合位移与合力）的？两种方法有何关系？（导向性问题）问题5：对于给定的两个向量，如何确定它们的和呢？（导向性问题）问题6：你们能概括出向量和的定义吗？,三、数学模型的研究(1)给出先行组织者：研究一种运算总要研究它的性质，因为只有掌握了运算性质，才能合理、简捷地进行运算问题10 向量的加法具有哪些运算性质？为了解决这个问题，我们可以把向量的加法和数的加

22、法进行类比：数的加法具有哪些性质？向量加法具有相应性质吗？若有，具体形式是什么？从而提供了研究框架：,提出问题的问题串（结构）,先行组织者（大背景）课题性问题（总问题）导向性问题具体问题（操作性问题）或者通过反思性问题上溯,主问题：什么叫做“随着时间的增大气温逐步升高”？怎样用数学语言来刻画它？为什么要用数学语言来刻画它？你是怎样想到这个问题的？让学生产生形式化的要求！,问题1：说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或逐步下降的？（背景）,问题串分析,问题1：说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或逐步下降的？（背景）问题2：什么叫做“随着时间的增大气温逐步升高”？怎样用数学语言来刻画它？（主问题）问

23、题2-1：怎样刻画“时间增大”？问题2-2：怎样刻画“气温逐步升高”？问题2-3：什么叫做“随着”？问题2-4：怎样刻画“时间段內”？,解决问题的问题串。问题2-12-4实质上提供了一个概略性解决方案,解决问题的过程分析,图象的对称性在函数解析式上有什么体现？（主问题）什么叫做“图象与Y轴对称”？怎样用分析的语言来表示“如果点P在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？怎样表示点P（X，Y）关于Y轴的对称点？（-X，Y）怎样表示“点P（X，Y）在图象上”？怎样表示“点P（X，Y）关于Y轴的对称点在图象上”？,问题串分析,解决问题的问题串，帮助学生,问题串分析,问题：扁了的圆是椭圆吗？解决

24、问题的思路：比较扁圆与椭圆的方程，进而做出判断。建立扁圆的方程；建立椭圆的方程；结论。,怎么想到这个问题的呢？,先行组织者,案例：等比数列前N项的和,用历史典故棋盘上的麦粒创设问题情境，然后提出问题问题1：棋盘上的麦粒数与数列有什么关系？能将麦粒数写成和式表示出来吗?（课题性问题）问题2：这是一个等比数列的求和问题，你能计算出其结果(麦粒总数)吗?（问题的具体化）问题3：数列求和的本质(根本意义)是什么?你能把式子S。12消项化简吗?（问题的具体化）,问题4：回顾刚才的问题，请同学们思考；若将问题改为“在棋盘上第一格赏两粒麦子，第二格四粒麦子，第三格八粒麦子以此类推，每一格上的麦粒数都是前一格

25、的两倍”，这棋盘上的麦粒又是多少?,如何评价问题4？巧妙？失误？问题4自然吗？和前面的问题存在逻辑联系吗？,问题5：我们为什么要对第一个问题中麦粒数加倍?这个“加倍”在这个等比数列中扮演着怎样的角色?（反思性问题）问题(6)：你能推导出一般的等比数列前项和公式吗?数学教学案例分析（2011。7）讲稿.doc,反思：暴露思维过程问题串不能掩盖思维过程！案例,怎样建立刻画上述问题的数学模型?这些问题有什么共同的特点?从数学的角度看,什么叫做”按一定次序排列”的数?数列 3,2,5,1和数列2,3,5,1是同一个数列吗?数列能不能看成一个数的集合?数列既然是特殊的函数它有哪些表示方法?怎样用图象表示

26、数列?怎样用解析式表示数列?,实质:不断地进行形式化,数列（洞察本质）,案例：直线与平面垂直,问题1 现在要在操场上竖起一根旗杆，一般的，对旗杆的位置有什么样的要求？图 中的L符合要求吗？学生可能回答，旗杆L应该与地面垂直。教师追问：这里的垂直是什么意思呢？什么叫做直线和平面垂直？让学生从直观上来回答问题。如果学生提出课本中线面垂直的定义，教师应追问：为什么要这样定义？总之，要让学生从生活经验中，找到线面垂直的外部特征。线面垂直的教学.doc,问题2 那么什么叫“正对着”呢？正对着的具体含意是什么？是什么因素促使我们将“正对着”和垂直联系在一起的呢？是不是生活中的经验呢？那么，这是什么样的经验

27、呢？过去，我们在什么地方碰到过垂直的概念？,2分析问题在平面几何中，我们是怎样定义直线间的垂直关系的？在这个定义中是不是使我们产生了垂直与“正对着”的联系？（分析直线与直线的垂直关系，当Lm时，L与m相交所成的角都相等。这时，L关于直线m成轴对称；而m也关于直线L成轴对称。这正是使我们把垂直与“正对着”联系在一起的原因。,L平面于O L正着平面 L关于平面成轴对称 L和平面中所有的直线所成的角都相等（90）进而，给出线面垂直的定义。（略）3线面垂直的判定定理,一连串的问题挖出了隐藏在直觉后面的观念！,五、课例分析,三角函数的诱导公式任意角三角函数数系的扩充余弦定理,洞察本质,个案分析：三角函数

28、的诱导公式,个案分析：三角函数的诱导公式,重点关注的问题：初始问题的设置公式的导出与证明教学设计1教学设计2教学设计3评述数学教学设计要点（2010。7）讲稿（徐州）.doc,定位与路径,用三角函数的语言表述圆的对称性。,诱导公式中的初始问题,1。求特定角的三角函数值发现规律（公式）证明公式应用（求值）2。你能说出 X/R、-Y/R、或-Y/X 的几何意义吗？（从数到形）2-1。对给定的角，还有哪些角的函数值和它相等？互为相反数？3。当角的终边绕着原点旋转时，三角函数值是否会周而复始地出现？（周期性、从形到数）4。从圆的对称性入手（更好的设计）,揭示本质让学生明白问题是怎样提出来的？多种设置，

29、介绍提出问题的方法！（小结）,如何评价初始问题,初始性、生成性、结构性、合理性自然、简单、深刻、（言简意赅）有趣、富有想象力、出乎意料。能凸显知识的本质有历史背景,诱导公式的本质,背景：诱导公式是在对三角函数周期性研究中提出来的；实质；“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系”。用三角的语言表述的“圆的对称性”。,问题串：诱导公式教学设计1（原稿）,问题1：求390的正弦、余弦值。你是怎样求出来的？（公式一）问题2；如何求sin150的值？问题2-1：你能把把上述结论一般化吗？为什么？（公式二

30、）问题3：若两个角的终边关于原点对称，它们三角函数之间有什么关系？（公式三）问题4：若两个角的终边关于Y轴对称，它们三角函数之间有什么关系？（公式四）,问题4：你能否用简捷的语言概括这几组公式吗？例题1：求下列三角函数的值（略）问题5：由例题1，你对这几组公式的作用有什么认识？问题6：你能归纳一下把任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？问题7：学完这节课，诱导公式知多少？,有什么值得改进之处？,问题串：诱导公式教学设计1（定稿）,问题1：如何求390角的正弦、余弦值？问题2：和30角终边相同的角的同名三函数值都相等吗?问题3：两个角终边相同，它们的同名三函数值一定相等吗？问题4：你能找出和

31、30角正弦值相等，但终边不同的角吗？,问题串：诱导公式教学设计1（定稿）,问题5：两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?问题6：两个角的终边关于x轴对称，你什么结论?两个角的终边关于原点对称呢?,关注问题串的逻辑联系！,知识再发现过程和理性思维过程的统一,明线：探索公式1-4的知识线暗线：研究问题的思想方法线,问题串：诱导公式教学设计（2）,1。先行组织者：三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型。现在要问的是：这样建立起来的数学模型是不是真的能刻画“周而复始”的变化？具体地，周而复始的变化即周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？,问题背景,问题1：在上述变

32、化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗？三角函数值会重复出现吗？问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现？什么时候三角函数值会重复出现？（公式一）问题1-3：角与角+2K（KZ）的三角函数为什么相等呢？,提出问题：从抽象到具体：“远景近景聚焦”,师：我们应该回到定义去！什么叫三角函数？三角函数是怎样定义的？（这一个问题至关重要）问题1-4：这组公式说明了什么问题呢？问题1-5：我们是怎样解决问题1的？,解决问题：具体解决概略性解决（上溯型）,（2）解决问题师：根据三角函数的定义，三角函数值是由角的终边上一点的坐标确定的，因此，为了弄清、的三角函数

33、间的关系，就需要弄清：角A与角的终边具有什么样的位置关系？相应地，角与角的终边上点的坐标具有什么关系？（进而有）角与角的三角函数值有什么关系？,不同的提出问题的方法（分开或集中），对效果有无影响？（下面是又一个例子）,问题2 若角终边绕原点逆时针旋转半周，（如图，为了叙述方便，把旋转前后的角分别称为、）它的三角函数值是否也会重复出现呢？（先行组织者）与的三角函数值之间是否存在着一定的关系呢？具体地，是什么样的关系？为什么？（主问题）,注意两个问题间的逻辑关系！第一个问题是先行组织者！,（师）用公式1可以把第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，这是我们研究了关于y轴对称的两个角的三角函

34、数得到的。那么接下来，大家能想到我们还要研究什么吗?（先行组织者）（生）下面研究关于，X轴对称、原点对称的两角的三角函数。进而提出问题6：两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？（主问题）,问题2：我们知道-、与关于X、Y、原点对称，我们以它们作为与具有对称关系的角的特例，来研究它们的三角函数之间具有什么样的关系？（1）请结合终边的位置（放在第一象限）分别作出-、终边的位置；（2）请在终边上直接找出可以用角的三角函数表示的点的坐标；（点评）（3）利用它们之间的点的关系得出它们坐标之间的关系。（点评）,解决问题的总体计划是什么？操作的目的是什么？怎么想到要这样做的？,

35、（2）证明公式（三）和的终边关系如何？设、-的终边分别交单位圆于点M、N，则点M、N的位置关系如何？设点M（X，Y），则点N如何表示？,应该先给出整体的证明计划（概略性解决）,可以利用框图,思维与历史的契合,个案分析：任意角三角函数的定义,数学学习过程是“意义赋予”和“文化继承”的过程，即文化意义上的再发现的过程。具体地说，这个过程就是以现代数学文化的眼光,在数学观念、思想、方法和思维模式的指导下,去完成当年数学家的创造和发现,去获取当年数学家所获取过的数学思维成果的过程。,个案分析：任意角三角函数的定义,教学设计1（讲稿）教学设计2教学设计3教学设计4教学设计5教学设计6述评数学教学设计要点

36、（2010。7）讲稿（徐州）.doc,基本思路：推广与构建,1。课失败的原因是什么？2。学生不具有必要的“认知基础”吗？建构任意角三角函数概念的认知基础是什么？3。三角函数概念的本质是什么？4。锐角三角函数是学习任意角三角函数的必要基础吗？,任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果（这当然是正确的，但是我们为什么要引人任意角呢？其中一項最重要的原因正在于研究周期性现象的需要！）,比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”,忽略了锐角三角函数与任意角

37、三角函数的本质差异：前者是直角三角形中的边角关系，后者是圆周运动的数学模型,因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念（这种比较是在建立了任意角三角函数的概念后进行的，因此是结果的比较，而不是过程的比较，即两个概念生成过程的比较，既然你选择了发现式学习形式，后者才是更重要的）,要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程,可是这应该是一个“再发现的过程”？,让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸反过来，既然锐角集合是任意角集合的子

38、集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系,这种认识仍然是对概念的静态的分析,学生已经学习过锐角三角函数，是任意角三角函数概念的“生长点”对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的,这样说的根据是什么？,失败原因的分析,初始问题不恰当，没有对学生构成有效的问题情境：学生掌握的停息太少，无法展开有意义的思维活动；对概念（任意角三角函数）的认识和理解存在认识误区；立足于静态的、对形式化后的结果的分析，缺少动态的对生成过程的分析立足于教师（过来人）的分析，缺少站在学生立场（局中人）的分析。路径选择值得改进,

39、最根本的问题是教师没有充分地注意到任意角三角函数的本质，即它是刻画周期性现象的数学模型。体现在教学设计中就是初始问题设计不妥当！,案例分析：任意角的三角函数,一、情境创设,启发探讨：为了回答上述问题，需要将点P表示出来。思考：有序数对（r,）可以表示点P，有序数对（x,y）也可以表示点P，那么，x,y 之间有什么关系呢？二、学生活动：知识回顾：初中时，我们是怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？,在此基础上将锐角三角函数拓展到第一象限的三角函数。分组讨论：如何定义各个象限角的三角函数？给出任意角的三角函数的定义。,问题与问题间有什么联系？,为什么不让学生去解决问题呢？不敢放手让学生活动！,

40、还是教师没有理解教材？,两个初始问题,1。怎样把锐角三角函数推广为任意角三角函数？2。怎样构建周期性变化的数学模型？思考起点：锐角三角函数圆周运动；思考方向：不明确明确 联系：语意性的实质性的 类型：结构性应用性 学习方式：接受性学习（概念同化）发现性学习（概念生成）生成性：不好良好 历史性：,“锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中周期现象而发展起来的。它们研究的对象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角三角函数在锐角范围内的限定”,历史的足迹,天文观

41、测与计算-球面三角学（三角术即锐角三角函数）（古希腊亚历山时期）（静态）周期性现象的研究-三角函数（18世纪、欧拉）（运动）,高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化力学生易于接受的教育形态。课程标准P4,从历史中吸取力量,个案分析：数系的扩充,个案分析：数系的扩充,内容分析教学误区数学实录,数系的扩充内容分析,1。数系扩充的历史回顾；学生的经历（学生回忆）数学史（教师讲解）发展的动力

42、：內部的和外部的；扩充的原则；归纳、概括、理性思考2。复数的建构学生新的经历适度的参与、认可、接受,教学中的误区,在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受。因此要采用“启发探究法”教学法，问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始終，让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类，复数相等的充要条件等。,这种认识符合实际吗？探索能贯穿始终吗？,涉及数学史的引用不能一味地堆砌，重要的是渗透它的德育价值，比如数学家们锲而不舍的钻研精神，严谨的治学态度等。,数学呢？,教学中的误区,教学中的误区,一、问题情境1。通过数据展现祖国60年的辉煌成就，突显数据

43、对于我们生活的重要作用，从而说明研究数的重要意义，2。数学游戏把 6分成两部分，使两者乘积为8；将8分成两部分，使两者乘积为10；将10分成两部分，使两者乘积为40从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步发展，实数需要扩充。,一、问题情境游戏不要说话，默默完成下面的过程：想一个数，在这个数上加上10，乘以2，减去22，乘以3，除以6，加上10，在告诉我现在的结果，我就可以说出你想的那个数是几!奥妙何在?（由此引出方程）我们来看下面的几个方程问题：X+1=0；2X-1=0，X2-2=0，X2+1=0,教学中的误区,1。姜堰二中 黃萍（问题串）2。宿迁中学 陆明明（问题串）评论：问题与问题串的设计

44、始终是最重要的，因为思维是数学活动的本质，文化型的课、讲授法的教学方法，都不可以取消学生的思维活动！数学教学设计要点（2010。7）讲稿（徐州）.doc,教学实录,美是真的光焰,个案分析：余弦定理,注重联系，提高对数学整体的认识。学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系。数学与其学科的联系。例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系;向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；课程标准,解三角形中的初始问题,结构性的切入点 三角形全等的知识 直角三角形中的边角关系 三角形的向量表示应用性的切入点 测量 计算

45、（解三角形）,余弦定理中的初始问题,问题1 如果小张家离学校5KM，小李家离学校10KM，问小张家与小李家相距几KM？问题2 在问题1中，如果还已知A=，则可以用正弦定理求得AB。如果已知C=，又如何求BC呢？问题3 特别地，我们知道当C=90时，C2=A2+B2;可是当C=时，C2=？,个案分析：余弦定理,指导思想，教材分析；初始问题；教学设计（一）“余弦定理”教学设计方案（第一稿）（徐州）.doc教学设计（二）“余弦定理”教学设计方案（第二稿）（徐州）.doc教学设计（三）“余弦定理”教学设计方案（第三稿）（徐州）.doc评述,怎样设置初始问题？,要关注知识发生的历史轨迹；要更关注提出问题的逻辑依据；要注意从对教材的整体把握，突出核心思想；高屋建瓴，提升问题的格调；要注意知识间、方法间的联系；要更有创意、更具想象力、更简单、给学生提供更大的空间，更美！,谢谢！2011。7,