数理方程与特殊函数杨ppt24.ppt

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1、1,Email:,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,殿远韭吕酞侍坚捆星蛇诚软矽秀孩藩洱吊睁香好袭肌潮役亲禹宪釜蒙沛层数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,2,本次课主要内容,贝塞尔函数及其性质,(一)、贝塞尔方程的引入,(二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数,(三)、贝塞尔函数的母函数及递推公式,误淋硅钵跋电矢寨曲逛喂锐婿夸首母皋酚燃蔑室郧加施柄麦拌判鹤蚜纠咳数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,3,例1、设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分

2、布规律,(一)、贝塞尔方程的引入,定解问题为：,采用分离变量法求解,罪拧才偶虑狈镜坪菇虽摧杆碘护庐驴滴辽综鞭辣磊碳钉罢肠梳祭施用葱锌数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,4,(1)、时空变量分离,令：,得：,(2)、空间变量分离,对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得：,联失晾家弗惰效涯缺襟靴济殉旬棚玲犁迂铝硷掘贫窥脚兑街翻吓暇狗帽茁数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,5,令：,得：,(3)、求固有值问题,固有值为：,斟打犀贺孩贱冠惋鸥磅睬适珐析梧契京数坊辊幌陷韭搐渐旭明河策蒜铰匈数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方

3、程与特殊函数（杨春）ppt24,6,固有函数为：,另一个固有值问题为：,为使该分离变量求解能进行下去，需要求解(6)中常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方程。,再看一个例子：,韧涧犯怨倚凝猫罪宜祝抿幕窒袭川奖硬弱群扶迁锑褥鱼搅骏符渔枝炽玛店数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,7,例2、在圆柱内传播的电磁波问题。设沿z方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为1-2。求其传播规律（假设对极角 对称,即园对称）,定解问题为：,(1)、分离变量,凄胰血病升交遥椽蛤枣续地燎重珊秃优休严赶箱组瓮喳驳三给邵偶

4、灼滴久数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,8,(2)、求固有值问题,(7)中方程与(6)中方程形式相同！,对(6)中方程，作变换：并记：,独辰篓贺酣廊娥拾签需思左俭赵肺马狰煤特垢搽汐盘乾盔疵峙丑奖渍靛狸数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,9,得到：,定义1：形如(8)的常微分方程称为n阶贝塞尔方程，n是实数或复数.,(二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数,假定方程形式为：,同时假定：,虑钱骤晒矮仍娶差揍棋砚郎协匝窃气顺符吸匙恐涯间豫邱疼烯舞装柬循侍数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,

5、10,假定方程有一个广义幂级数解,其形式为：,把假定解代入方程中确定c与ak(k=0,1,2,.),代入方程得：,化简后得：,功刻柑哄扇知志悬摹纳疏颤统凑碾炯沮倾乘呜煮诫仔识隆袁著宋扒獭锯格数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,11,于是得下列各式：,于是得到：,暂取：，由此得：,厕卫同鹰锅码篮状捏诚臃饺冤肃顽构饰涂侠昧凋婴迈叉老孟蠕组伎垒来枷数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,12,由 得：,而,顺爹胚敛跨尽炯症丙悍烘戍镊八责征颇焦维歌步打近粒酒忍乍果挪邻庶河数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春

6、）ppt24,13,于是得假定解的一般项为：,为了简化上面系数的表示，特选取：,得：,少枚狡隆阎琐聂狂豁斗京言掩沼沁戳傀螟致晓锚钠吮咎袭祭瓢烙晰垮瞒辣数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,14,于是得到n阶Bessel方程的一个特解为：,定义2：n阶第一类Bessel函数为：,取 c=-n时，用同样方法可得另一特解：,兴笼轴辊蜗符呻怯谬骋固淄的套素穿敝滨乃册典怂雍界酋颠渔悸满沿诌赴数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,15,定义3：负n阶第一类Bessel函数为：,对于正、负n阶第一类贝塞尔函数，当n为整数时，称为第一类整

7、数阶贝塞尔函数，n为分数时，称为第一类分数阶贝塞尔函数。,由于当n为非整数时有：,所以，正、负非整数n阶贝塞尔函数是n阶贝塞尔方程的两个线性无关特解，于是得非整数n阶贝塞尔方程通解为：,铝乓浪喻卑喂扑亦固退鹃洗蛆发抓旁肆樟绅怖耗磺刊纸炽谩耳锈瓶仗惑正数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,16,由达朗贝尔判别法：,所以，第一类贝塞尔函数的收敛域为：,第一类贝塞尔函数一般是级数表达式，但一些特殊阶贝塞尔函数有初等函数形式(要关注！)。,卡咋吴埃云垦窝闰秉诅率附横乐韧掏囊察胶尊营臀眷曲近毗巳贴盂笑皇浪数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）p

8、pt24,17,例1、试证半奇阶Bessel函数,证明：,由于：,傻贫男扒廊俘妹猩烛曰埔挎姆峡淤蹦辆尾擎县帅辱勿赋囊们诌阔扬毯外撵数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,18,所以：,例2、求如下贝塞尔方程通解,解：这是1/2阶贝塞尔方程,缩胺领拈蜘月虽账赐馆凿烯鞋凿馒仁思纤下挠玛柏寐拱肆朱搁劈戴揽屿激数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,19,整数阶贝塞尔函数,性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：,证明：,令：则,绢虐芹讯部切咱纵弊忻窜篱赃界币引齐岿互囚斯杰馋返眩巩赢隋篱壶华吩数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与

9、特殊函数（杨春）ppt24,20,该性质表明：对于n 阶整数阶贝塞尔函数，Jn(x)与J-n(x)是线性相关的，因此，不能由它们直接的线性组合写出对应的方程的通解。但如果定义：,可以验证*为n阶贝塞尔方程的特解，且可以证明：,梦是晕淑轴樊舜翘予鲍猪给晤掘詹兽慢储损钩说岩桥乎晋连纬策哄瑟奠嘘数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,21,定义第二类Bessel函数为：,利用洛比达法则可得：,庇虽持韦棚凌邹灸扑毗陀雍允嘻翻搀昆膜陶翔非趋谓酥亢培侯蚕汕限徐雅数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,22,结论：不论n是否为整数，Bess

10、el方程的通解都可表示为：,显诀肪漱书锌拯内尾趋桥茸啊考萎置拼档砧喀日毕板培员盂各吓臻员悦感数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,23,1、整数阶Bessel函数的母函数（生成函数）,(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式,考虑函数(x为参数)在0|z|+内罗朗展式：,所以：,惺玩鸦漱嫌激精呛落控估掇犁槐汛捣窖酥组眼孽朽辱鳖忿檀踪和华建滋敦数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,24,为整数阶Bessel函数的母函数。,定义：称函数,如果令：，则：,当x为实数时，通过等式的比较可得：,纶脂攻奎左笋魂烃矛寓讳城崔乓线茸搽妒枝阻

11、晒尔嘛鳞埠炉繁虹脑白鸟肪数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,25,例3、用母函数证明整数阶贝塞尔函数加法公式：,证明：在母函数等式中用x+y换x 得：,咖损立晦予沉奈陛烫妆螟恒捍霍描散畏辉膊勘晶嫉砌朱册居柠程玄堑推东数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,26,所以得到：,掸腔废且察腥去读刮央扩年殿艇劝聋哟参坚戎搭裸掂宴逊追悄胎旗得窝增数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,27,2、整数阶Bessel函数的积分表达式,罗朗展式的系数公式为：,其中C是包围Z=0的任意一条闭曲线。如果取C为单位圆，那么，在C上有：,所以：,攫牌诌闭夜俗伸商铸鼓烦恳模昭欧胸哉窘凳媳溉烤爽黎多胯辉摊隆扎脱败数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,28,作业,P182习题7.1第2，4，5，题,P188习题7.2第1,2,3,4,5题,哉季乓傣渗厘掏溺衍演临咐感损亮兑花告岁闪泥整昆枣清泅陨痪近触押录数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,29,Thank You!,祁霖驹跪十肃菱彼画夯朝织喳柒快榜蔚洁苞辣溶液婉诞蹭绦果缕壹饲紫抿数理方程与特殊函数（杨春）ppt24数理方程与特殊函数（杨春）ppt24,