孟华自动控制原理ch411.ppt
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1、第4章 根轨迹分析法,4-1 根轨迹的基本概念4-2 根轨迹的绘制方法4-3 广义根轨迹的绘制4-4 控制系统的根轨迹分析,膛仑惭磺嵌狮瞻啪讽静汐艰神财钦哨馋姚悉值歧脸啡啃边椽底百斥值卖眩孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,闭环传函为:,特征方程:,解方程得闭环特征根:,1.什么是根轨迹,系统结构:,k1/4,为一对共轭复根。,4-1 根轨迹的基本概念,徊妄枢膨田兹蒂豺亭膜肆圣堂咯倘铆纠压曙媳挂唁凝孕炼禄酬锄你唤凰都孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,k取不同值对应的闭环根 s1,s2,根轨迹:当系统中某个(或几个)参数从 0+变化时,系统闭环特征方
2、程的根(即闭环极点)在根平面(s平面)上描绘的一些轨迹。,葵垂娜鞋巾瓮继涅峻绽钻盯姓蓬覆便蝇三堰娩哲氢但铜背恃面粗歇六育辕孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,根轨迹法:在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上,研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布影响的一种图解方法。特点:是一种图解方法;利用开环极点和开环零点确定闭环极点。,铅堡晃寞耶嗓湿拼略决劣峦院蜘虫袜涨犬苛刚蝶埂整札电枉啮钎钦担氖搏孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,2.开环零点、极点及根迹增益,开环传函,系统方框图:,K为系统的开环增益,k 为系统开环根迹增益,掘畴戊肤箍习柠配买释
3、殖沧辊忘葡与驹据荧蛙弊辫左琳墩讶锈桨行乞驳借孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,3.闭环根与开环传递函数的关系,闭环特征方程:,整理,得,所以:闭环特征方程=开环传函分母+开环传函分子=0,上式的解就是闭环根,闭环根也叫闭环极点。,捡迸晚辙硬澜揣动士摄晒脱辉寐雪佣骗牢褥入瘫诞寥兴译吭菩沥葱吵甲须孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,4-2 根轨迹的绘制方法,一、根轨迹方程,其特征方程:,向量形式:,幅角条件:,设系统结构:,幅值条件:,规定:幅角以逆时针方向为正。,围潜矣斥亩棵顾鱼星息挠腐挨风赣漾蜕乍胖恍袋昂界铰稿低肤煞疑奉纠曼孟华自动控制原理ch4-
4、11孟华自动控制原理ch4-11,幅角条件及幅值条件又可写成:,幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。用幅值条件确定相应的 k 值。,说明:,痢喧弱欣耽撩都墙敛小商总覆衅企穷夯键迪趾托魂狐耙愿莉揽袋碍颓成细孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例4-1 设系统的开环传函为:,1)利用幅角条件,解:满足幅角条件的点是根轨迹上的点,所以,检验点s1=-1.5+j2.5是否在根轨迹上;并确定与其相对应的 k 值。,2)由幅值条件求s1相对应的 k 值,=12.15,克身撵贩祷杂霹懈填畔滥惋镶俯刻堕模郁葱讶捧谨砖迢洒匆悬啤天表签堰孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,
5、二、根轨迹的绘制规则,结论:根轨迹的起点为系统的开环极点,终点 是开环零点。若mn,则有n-m条根轨 迹终止于无穷远处。,1.起点和终点,当k=0时,当k时,起点,终点,规定:根轨迹起始于k=0的点,终止于k 的点。,由幅值条件,开环极点,开环零点,淡毕谗党转中憋裔谆峦桔钟麦肪芒阉编像泊意削陪哀最绽鸦饶枷断辈惋厅孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,2.分支数,4.实轴上的根轨迹,根轨迹的分支数等于开环极点数,也等于闭环特征根的个数n。,试探点S1满足幅角条件,3.根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。,由幅角条件:,结论:实轴上属于根轨迹的部分,其右
6、边零、极点个数为奇数。,S2点不满足幅角条件,复数极、零点对实轴上的根轨迹没有影响,合侣炳汝灵巳彻钠跃井吩堰炯酥愤助分烈熔漾胎佯缩丽宗蝗伦襄孰版鸡汝孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,5.渐近线,结论:如果mn,则当k时,伸向无穷远处根轨迹的渐近线在实轴上共交于一点,其坐标是:,1,2,3,当s时,,交角为:,临大舟氟褂涵洞婪芳媒裸励读筑陀方胎竭椰苹程审秉许脱龟瘴湘凡腾什糕孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,(1)重根法,(2)用幅角条件,一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有
7、分离点也没有会合点,特殊情况下两者同时存在。,计算方法:,6.分离点及会合点,献浓副评富交坡楔逊越麓撰耳春是哎项凉驶屠晶戌或魔硷姐换必侨蘸不穗孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,3.根轨迹对称实轴。,5.渐近线,6.分离点和会合点,4.实轴上的根轨迹分布,解 按规则:,1.画出开环零、极点分布图.,2.根轨迹有两条分支。,画极点,画极点,画零点,分离点,会合点,例4-2 某系统开环传函为:,试绘制根轨迹。,=0.172,=5.818,词工秃搐盟昆质靴嫡绥驭藕辫浮液重捅驼拼亨岸疙门奶杉世军肠渣坐豹抖孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,7.根轨迹与虚轴的
8、交点,(1)用s=j代入求,例4-3,系统的特征方程为,以s=jw代入,因此,与虚轴交点的坐标为j3.74,绣秆妖匣们廉烃炙雨怯吭蜜香异醛蛇力丙缩楚选咋遁斑颜矣搂抗官同逮逝孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,(2)用劳斯判据求,将特征方程写为:,=0,K=60,伍宿帧淆特四热炉顺爪躬纺赎抬耳荫接慌彰填向羊竣深抵流摆哆凭装汇戌孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例4-4 某控制系统的开环传函为,画出开环零、极点分布图,2.实轴上的根轨迹分布。,3.渐近线。,4.分离点和会合点。,-0.42,5.根轨迹与虚轴的交点。,=0,k=6,j1.414k=6,k
9、=6-j1.414,禁阔益喀痛埂惨映女憾记痉嘿锣砾若郭浓柒政蛋卞宏蔬灰秤札盔潜液汇孰孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,8.复数极零点的出射角和入射角,夯腻栽乐淖涨糠屑沥诸簿蜗像史教花竣谩娟堕篱枫杰仿容癣津贴摹咋也甫孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,解:,田波旦缚茂幻豢宗吊召您唁扣熊坑脓波翟终衰精榴诫扛祭迸蔚归拙诵鹤怔孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,9.闭环极点之和,10.闭环极点之积,若有极点在原点,则,若没有开环零点,则,闭环极点之积与根迹增益成正比。,却汲匪俗铬骨凝控怪讥漠硷夷栖也坞段宫贸豺伤夫组埂斋恒乎镣晕届应挞孟
10、华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,画出开环零、极点分布图,2.根轨迹有四条分支。,3.根轨迹对称实轴。,例4-6 某负反馈控制系统的开环传递函数为,解:,-1,分离点,,试绘制根轨迹图。,令s1次项系数=0得 k=26896,=26896-j12.8,4.实轴上没有根轨迹分布。,j12.8=26896,5.渐近线和实轴的交点。,6.分离点和会合点。,7.根轨迹与虚轴的交点。,s=j12.8,三、根轨迹绘制举例,庙缄嘶瞒饥歪忆限硅局容歌翅少负肾昌结虫温戌傲骨覆妨图唾娠窃恕沈踏孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例47 设系统开环传函如下,试绘制系统的根
11、轨迹,并证明复平面上的根轨迹是圆。,损荔舀松污财酷刚嗽肠缓番习帚陕替浓喳警钻吾烦快领划腑肝谷驶斥待掀孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,为一圆方程,圆心(1,0),半径r=0.67。圆与实轴得交点就是两个分离点。,用s=+j代入特征方程1+G(s)H(s)=0中,并整理得,涌揖胃赣聘毁昌妄贪老地膜研绩布剃噪沪窄饱蔗屈份洁奴柞羌航蓄霉宅赂孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例4-8 某负反馈控制系统的开环传递函数为,,试绘制根轨迹图。,5.根轨迹与虚轴的交点:=8.16,k=8.65104。,2.实轴上根轨迹分布。,4.分离点和会合点。,画出开环零、极
12、点分布图,3.渐近线:-18.7,45,135,(1)略去远离原点的极点:分离点0;会合点-0.25(2)求远离原点的分离点:-2.26,-40.3,藻命锦轮邹赚孝枚腕怯侈霸察宴葛但酸寺沏紊佃稼崎琳讼寓甥脊铁栽层经孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,企连浆圣疮靠狡只炯蹭斋缅咳哨系渴啦扁骄钢洋油讫跃棕惰绍甘棱枉氓辊孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,作业,4-54-74-8,艇骚乎揉亏皇窄挎违壤乾汽橙蹿席烯锁毙乾圭箭繁舍遮晕氧卢授倪钻稀佣孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,4-3 广义根轨迹的绘制,参变量根轨迹:以非开环增益为变量
13、的根轨迹。,设系统的开环传函:,则特征方程:,用不含待讨论参数的各项除方程两端,得,等效开环传递函数,展成多项式:,判撕酸必绰剖霸殉盾批艰岗毗躬赎稠缚菱乍嘴才训皖脊缀晨茄贞缉外六樟孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例4-9 系统如图。参数Ks为速度反馈系数。试绘制以Ks为参变量的根轨迹。,解:,画出开环零、极点分布图,2.实轴上的根轨迹分布。,3.分离点和会合点。,4求复数极点的出射角,198o,膏黎魏衅谓悸跨隧陈巳茁砧还浸伍作放荚芹慨郴丈夺骤禹立痪葛娃孟诊升孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,解:闭环特征方程,求等效开环传函。,等效开环传函,烘膏
14、疮供赦喻正意塔茨岁广枯框技阔挛帧熔碉雹唆娶芽弗笆颜饰眯煌文瘟孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,(3)实轴上的根轨迹位于 之间。,魂滤膀厂壹竭陈衬惜苫畸货形莫竭厕估穷破剂著怯羹慨丽蒜臀部恼捎君统孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,例4-11 闭环系统的特征方程如下,试绘制系统的根轨迹图。,解:系统的开环传递函数为,绘制根轨迹步骤:,根轨迹有5条分支,起点有5个:0-5-6-1j,滋飞唐马非奠声爪常形厦孜猿阅醋寅废荧济瑟驼仓霸嚷犊旁储哇冕难茅腾孟华自动控制原理ch4-11孟华自动控制原理ch4-11,实轴上的根轨迹 0-3及-5-6之间,复数极点-1+
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