椭圆及其标准方程 (3).ppt

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1、如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,行星运行的轨道,我们的太阳系,2.1.1 椭圆及其标准方程,问题1：圆的几何特征是什么？,平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。,圆的形成,问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？,数 学 实 验,(1)取一条细绳，(2)把它的两端 固定在板上的两 点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上慢慢 移动看看画出的 图形,F1,F2,（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动

2、的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,想一想,F1F2=2c,MF1+MF2=2a,2a2c,思考,若2a2c，则轨迹为。,若2a=2c，则轨迹为。,线段,不存在,平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距,椭圆的定义,椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，_叫做椭圆的焦距想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，

3、点的轨迹是什么？,自学导引,1,距离之和等于常数(大于|F1F2|),焦点,两焦点间的距离,小结（1）：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？,平面上-这是大前提动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C,(2a2c),探究:,感悟:(1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹为椭圆.,(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?,(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?,(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨

4、迹是什么?,椭圆,线段AB,不存在,(3)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹不存在.,(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.,标准方程的推导,探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”,方案一,x,y,以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,P(x,y),设 P(x，y)是椭圆上任意一点,设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0),椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|为定值，设为2a，则2a2c,则：,即：,O,标准方程的推导,b2x2+a2y2=a2b2,它

5、表示：椭圆的焦点在x轴 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）c2=a2-b2,椭圆的标准方程,椭圆的标准方程,它表示:椭圆的焦点在y轴 焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）c2=a2-b2,观察下图，你能从中找出表示c,a,的线段吗？(课本33页思考),因为c2=a2b2所以,c,a,b,思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢,椭圆的标准方程,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 结：,椭圆的标准方程,(ab0),(ab0),(c，0)，(c，0),(0，c)，(0，c),a2

6、b2,2,自学引导,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2=a2-b2（不要与勾股定理a2+b2=c2 混淆）；,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上.,椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2b2c2且ab0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上

7、较大的分母是a2，较小的分母是b2.,2,名师点睛,判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,巩固概念,应用举例,a3,0b9,例、填空：已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,变式：若椭圆的方程为,1、已知椭圆的方程为：，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦

8、距等于_;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,跟踪练习：,课本 42页 练习2,课本 42页 练习1,例椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。,讲评例题,.,解：椭圆的焦点在x轴上设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为,两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点,解：椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，,例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：,设它的标

9、准方程为,又 c=2,所求的椭圆的标准方程为,解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a,b的值.,例2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP。求线段PP中点M的轨迹。,解 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为,则,M,例2.如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么?为什么?,方法归纳:寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹的方程.-叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法),P,M

10、,D,x,y,0,例3.如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交与点M,且它们的斜率之积是,求点M 的轨迹,x,课本 42页 习题 4,活页规范训练,4已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_解析由已知2a8，2c2，a4，c，b2a2c216151，椭圆标准方程为 x21.答案 x21,5已知椭圆 的焦距为6，则k的值为_解析由已知2c6，c3，而c29，20k9或k209，k11或k29.答案11或29,7已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨

11、迹是()A圆 B椭圆C双曲线的一支 D抛物线,解析如图，依题意：|PF1|PF2|2a(a0是常数)又|PQ|PF2|，|PF1|PQ|2a，即|QF1|2a.动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A,10椭圆 的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_倍解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知 0，x13.把x13代入椭圆方程，得y1，即P点的坐标为(3，)，|PF2|y1|.由椭圆的定义知|PF1|PF2|4，|PF1|4|PF2|即|PF1|7|PF2|.答案7,