一_二维形式的柯西不等式.ppt

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1、3.1二维形式的柯西不等式,新课导入,类比不等式a2+b22ab的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系.,分析,把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。,解：,展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2,即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,而(ad-bc)20,因此(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,提示,上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式.,结论,定理1（二维形式的柯西不等式）,若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2

2、)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.,分析,你能否证明,结论,讨论,对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。,设在平面直角坐标系xoy中有向量=(a,b),=(c,d)，与之间的夹角为，0（如图）,根据向量数量积的定义，有.=cos,用平面向量的坐标表示不等式(2)得：,所以.=cos,因为cos1,所以.,结论,定理2（柯西不等式的向量形式）,设，是两个向量，则.,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时，等号成立.,试从不等式(1)推导不等式(2)，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。,观察,如图，

3、在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？,结论,定理3(二维形式的三角不等式),能用柯西不等式证明吗？,x12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2,分析,不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：,请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。,分析,虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小

4、。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。,已知a,b为实数。试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3),根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2,反思,在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算.,分析,利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。,分析,问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.,课堂小结,1.二维形式的柯西不等式的代数形式.,若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.,2.二维形式的柯西不等式的向量形式.,设，是两个向量，则.,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时，等号成立.,3.二维形式的柯西不等式的应用.,随堂练习,习题答案,习题3.1（第36页）,